1.1.4 分式与二次根式-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第1.1章数与式1.1.4分式与二次根式初中要求1了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。2了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根;3了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用计算器求平方根;4了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。高中要求1掌握分式的齐次化变形.2二次根式的简单四则运算；3理解共轭二次根式；4会求解含二次根式的方程与不等式.1.分式的概念一般地，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是AB=A×M3.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”，其一般解题步骤：①去分母；②求解所得整式方程；③验根.3.二次根式一般地，形如a(a≥0)二次根式必须满足：①含有二次根号“”；②被开方数a必须大于等于0.4.最简二次根式若二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，如5，2x2+15.二次根式的性质性质例子(1)若a≥0,则a32(2)(2−π)2a2(3)2∙x−1∙(4)a62=3，【题型1】分式的变形情况1齐次化分式形如ax+bycx+dy(a,b,c,d为常数)的分式的分子、分母均为一次齐次式，我们称之为一次齐次化分式，如形如a1x2+b1xy+对于齐次分式，我们可以怎么处理呢？【典题1】已知正数x,y满足x2−2xy−3y2=0解析由已知有xy2−∴x+2y3x−y=变式练习1.已知y≠0，3x+yx−y答案2.解析3x+yx−y=7分子分母同除以2.已知y≠0，3x答案2或7解析3x解方程得t=2或t=73，即xy情况2分子的降次处理解题技巧提炼我们遇到类似afx+bcfx+d这方法称之为分离常数法.【典题1】把2x2−3x+4解析方法1令t=x+1，则x=t−1，2x方法2利用多项式除以多项式的竖式x+1x+122x−52−5x+49−5x−5∴2变式练习1.把4x+52x−1化为a+答案2+解析4x+52x−12.把3x2−x+5答案3x+2+解析令t=x−1，则x=t+1，3x【题型2】二次根式的运算【典题1】化简(1)12+13−解析112(2)−=−3x=−x∙3x=x∙3x39−4变式练习1.若(5−x)(x−3)2=(x−3)5−x答案3≤x≤5解析依题意得5−x≥0x−3≥0，解得3≤x≤52.化简(1)(3−x)2(2)1(3)7+4答案(1)7−2x(2)6−1(3)解析(1)∵3−x≥0，∴x≤3∴(3−x(2)1=2(3)7+43.先观察下列等式，再回答问题①1+1②1+1③1+1(1)根据上面三个等式，请猜想1+1(2)根据上面各等式反映的规律，试写出含n((3)根据上述的规律，解答问题：设m=1+求不超过m的最大整数[m].答案(1)1120(2)1+1n(n+1)解析(1)观察可得，1+1(2)1+1(3)m=1+=11=1×2012+1=2012+…+1−=2012+(1−1∴不超过m的最大整数[m]是2012.【题型2】含根号的方程【典题1】解方程x2解析移项得x2两边平方得x2解得x1把x1=0，x2=3故原方程的根是x=3变式练习1.解方程2x+14=x+3答案1解析方程两边平方得2x+14=x2+6x+9把x1=1，x2故原方程的根是x=1.2.解方程x+2答案2解析方程等价于x+2两边平方得x+2=9−6x−1代回方程检验可得x=2是方程的根，故方程的根式x=21.小明的作业本有以下四题：①16a4=4a2，②5a⋅10aA.①B.②C.③D.④答案C解析③错，当a>0时，a1a=a22.把二次根式xyA.xyB.xyC.xy答案C解析xy=xy3.若x+yy=179，则答案8解析x+yy4.若关于x的方程2x+ax−2=−1的解是正数，则a的取值范围是答案a<2且a≠−4解析方程2x+ax−2=−1解得依题意得2−a3>0且2−a3≠2，解得5.已知a<0，(1)ab=(2)a答案(1)−a∙bb(2)−bab解析1a(2)a(3)a6.正数x,y满足x2−3y2=2xy，则x−y答案1解析x2−y2=2xy，两边同除以y2得∴x−yx+y=x7.化简11+62=答案3+解析11+628.比较大小：2−35−4(填“>”，或答案>解析方法1比较2−3与5−2大小，等价于比较4与而5+所以5+3<4方法22−3=1显然2+3<5+49.已知x+y=72，且0<x<y，那么满足条件的整数对答案2解析∵x+y∴设x=m2，y=n2，其中解得n=5m=1或n=4m=2，故所求整数对为(2,50)，(8，32)10.把2x2−3x+4答案2x解析令t=x+1，则x=t−1，2x11.已知正数a,c满足a2−ac−c答案13解析由已知有2ca2∴3c+5a12.若x,y是整数，则点P(x,y)叫整点