1.2.2 函数最值-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第1.2章1.2.2函数最值初中要求1掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象及其性质；2会用一次函数、反比例函数、二次函数解决简单实际问题.高中要求1理解函数的最值；2会利用数形结合的方法求解函数最值.1.一次函数、反比例函数、二次函数图象的图象与性质(1)一次函数的图象与性质y=kx+b(k≠0)k>0k<0图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小(b是函数与y轴交点的纵坐标)(2)反比例函数的图象与性质y=k>0k<0图象性质在每个象限，y随x的增大而增小在每个象限，y随x的增大而减大(3)二次函数的图象与性质函数y=a图象a>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x=−顶点坐标−增减性当x<−b2a时，y随当x>−b2a时，y随当x<−b2a时，y随当x>−b2a时，y随最值当x=−b2a时，且ymin当x=−b2a时，且ymax2.函数图象的变换函数图象的变换：左加右减，上加下减.3.函数的最值函数的图象，有上升的部分也有下降的，象过山车一样，图象上升时称函数递增的，图象下降时称函数递减的.如下图，当x<−1或x>2时，函数递增；当那函数图象最高点与最低点对应的纵坐标分别是函数的最大值与最小值.【题型1】函数图象的变换【典题1】指出下列函数图象的变换过程.从y=2x2平移到①y=2x−22；②解析①y=2x2向右平移2个单位②y=2x2向下平移3个单位③y=2xy=2x2向右平移1个单位向上平移6个单位变式练习1.指出下列函数图象的变换过程.(1)从y=3x到①y=3x−6；②y=3x+1(2)从y=2答案(1)①向下平移6个单位；②向左平移1个单位；③向右平移1个单位再向上平移3个单位.(2)①向左平移1个单位；②向下平移1个单位；③向右平移1个单位再向上平移3个单位.【题型2】函数最值【典题1】作出函数y=2x−5(1)图象的对称中心、渐近线、增减性；(2)当0≤x≤4时，求y的最大值和最小值.解析(1)y=2x−5所以y=2−7x+1的图象可以看成由函数y=−7x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如下图一，则函数图象的对称中心是−1,2，渐近线是增减性是当x<−1时函数递增，当x>−1时函数递减；(2)当x=0时，y=−5；当x=4时，y=3由图二可知，函数在0≤x≤4上递增，最大值是35，最小值是−图一图二【典题2】求函数y=x(1)3≤x≤4(2)0≤x≤1(3)0≤x≤3解析y=x2−4x+1=(1)如图一，函数在3≤x≤4上递增，当x=4时取到最大值1，当x=3时取到最小值−2(2)如图二，函数在0≤x≤1上递减，当x=0时取到最大值1，当x=1时取到最小值−2(3)如图三，函数在0≤x≤2上递减，而在2≤x≤3上递增，当x=0时取到最大值1，当x=2时取到最小值−3图一图二图三【典题3】求f(x)=x2−解析fx=x−a①当a<0时，由图①可知，fxmin=f(0)=②当0≤a<1时，由图②可知，fxmin③当1≤a≤2时，由图③可知，fxmin=f(a)=④当a>2时，由图④可知，fxmin=f(2)=3综上所述，当a<0时，fxmin=当0≤a<1时，fxmin=当1≤a≤2时，fxmin=当a>2时，fxmin=3变式练习1.作出函数y=2−x(1)变量x,y的取值范围；(2)当−1≤x≤1时，函数值y答案(1)x≠−32，y≠解析(1)y=2−x自变量x的取值范围是x≠−32，y(2)当−1≤x≤1时，函数递减，当x=1时取到最小值15，当x=−所以y的取值范围是152.求函数fx=2x+1&,x<0答案最大值是1，最小值是−3解析y=2x+1在x<0上递增，y=x2−4x+1=在0≤x<2上递减，在2<x≤3上递增，如图可得当x=0时，函数最大值是1；当x=2时，函数最小值是−33.在−2≤x<4内存在x，使得不等式−2x2−4x+3≤a解析设fx=−2x函数在−2≤x<−1时递增，在−1<x<4时递减，而所以fx>−45，故要满足题意则4.已知函数fx(1)当a=1时，求函数f(x)在−2≤x<3上的取值范围；(2)当a=−1时，求函数f(x)在答案(1)1≤fx≤17(2)解析(1)当a=1时，fx函数在−2≤x<−1上单调递减，在−1<x≤3上单调递增，∴x=−1，fxmin=1∴函数f(x)在区间−2≤x<3上的取值范围是1≤fx≤17(2)当a=−1时，t<12，函数f(x)在t≤x≤t+1上的最大值t≥12，函数f(x)在t≤x≤t+1上的最大值∴函数f(x)在t≤x≤t+1上的最大值(t−1)2+1,t<1.把函数y=−2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3答案y=−2(x+12.将函数y=kx+b的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，又回到原来的位置，则k=.答案1解析经过平移后函数解析式是y=kx−1依题意得1−k=0，解得k=1.3.函数fx=−2x−1+3的图像可以看成反比例函数fx=−2x的图像先向平移答案右，1，上，34.函数y=2x−1在−1≤x≤4上的最小值是答案−3，75.函数y=2x2−4x+3在−1≤x≤4上的最小值是答案1，196.求fx=2x答案最大值12解析fx=2x−5再向上移2个单位得到的.由图易得fx=2x−5x−1在7.已知函数f(x)=x(1)若m=1，求f(x)在−1≤x≤3(2)求f(x)在−2≤x≤2(3)在区间−1≤x≤2上的最大值为4，求实数m答案(1)最大值是16，最小值是0；(2)当m>2时，最小值−4m+5；当−2≤m≤2时，取到最小值当m<−2时，取到最小值f2(3)m=−1或−解析(1)m=1时，f(x)=x∴f(x)在−1≤x≤3上的最大值是f(3)=16，最小值是f(−1)=0(2)∵fx=x①当−m<−2，即m>2时，函数在−当x=−2时，取到最小值f−②当−2≤−m≤2，即−2≤m≤2时，函数在当x=−m时，取到最小值f−m③当−m>