专题20 整体思想专项训练-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

第第页专题20整体思想专项讲练1.了解数学中的整体思想；2.了解五种常见的整体思想求值题型；3.会灵活使用整体思想求整式的值。【思考1】下图是实际生活中整体思想的应用，你还能举出哪些整体思想在生活中的应用呢？【思考2】（1）天太热了，爸爸为涵涵准备了一满杯果汁，涵涵喝了杯，然后加满冰水，又喝了杯，再加满冰水又喝了半杯，再加满水，最后把一杯都喝了，涵涵喝的果汁多还是水多？（2）甲乙两人从两地同时出发，甲每分走60米，乙每分走50米．有条小狗在两人之间往返跑个不停．小狗每分钟99米甲乙两地相距800米，两人相向走来．问两人相遇时，小狗跑了多少米？提示：大家是否都有点似曾相识的感觉（都在小学见过），上面两道数学题如果按照事情发展的过程去逐步分析会很麻烦，但是用整体的数学思想去解决会取得意想不到的惊喜！整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题.这种思想方法在解题中往往能起到意想不到的效果．学生如果能应用整体思想思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。在代数中有一类题目，给出一个含有未知变量的等式，解出未知变量确有很大难度，此类问题用最常规的思维方法来解，必然要先求出未知变量，然后代入所求的式子中进行求解．这种常规方法虽然可以求出答案，但是过程繁琐，计算复杂．而用整体法求解则会截然不同．考点1、整体思想--直接代入法例1．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数：若，则；若，则．例，；已知当，时有，则代数式的值为________．【答案】4【分析】由相伴数的定义分别计算，的值，再计算，最后利用整体思想解题．【详解】解：根据题意得，，则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查新定义计算、已知式子的值，求代数式的值，理解题意是解题关键．变式1．（2023·湖北十堰·统考二模）若，则的值为___________．【答案】12【分析】把代数式变形为，再代入计算即可．【详解】解：，，故答案为：12．【点睛】本题考查了代数式的值，解题的关键是把代数式变形为，利用整体代入得思想求解．变式2.（2022·山东·七年级期中）已知，则的值为__________．【答案】1【分析】把直接代入即可解答．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为1．【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体思想是解题关键．变式3．（2022·福建泉州·七年级期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用．如：已知，，则．利用上述思想方法计算：已知，．则______．【答案】3【分析】先将原式去括号、合并同类项，然后利用整体代入法求值即可．【详解】解：∵，∴===2－（-1）=3故答案为：3．【点睛】此题考查的是整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则和整体代入法是解题关键．考点2、整体思想-部分代入法（配系数法）例1．（2023·江苏苏州·校考二模）若，则（

）A．5 B．－5 C．3 D．－3【答案】A【分析】由题意知，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，∴，故选：A．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．变式1．（2023秋·河南开封·七年级统考期末）若代数式的值是4，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把变形为，再把整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确变形所求代数式和运用整体代入的思想是解答本题的关键．变式2．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）若代数式的值为，则代数式的值为______．【答案】22【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法计算即可得出结论．【详解】解：代数式的值为，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体代入的方法计算是解题的关键．考点3、整体思想--奇次项为相反数（二次代入法）例1．（2022·浙江杭州·七年级期中）当时，多项式的值为2，则当时，多项式的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，把代入多项式，得到，再把代入多项式，变形后计算即可得到答案．【详解】解：把代入多项式，得：，即，把代入多项式，得：，故选A．【点睛】本题考查代数式求值，有理数乘方运算，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解题关键．变式1．（2022·浙江衢州·七年级校考期中）当时，，则当时的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先由当时，代数式，可化为，当时，代数式，再把代入即可得出答案．【详解】解：当时，，即，当时，，故选A．【点睛】本题主要考查了代数式求值，应用整体思想是解决本题的关键．变式2.（2022·广西·七年级期末）当时，代数式的值为3，则当时，代数式值为_______．【答案】-2【分析】把x=-2020代入代数式ax5+bx3-1使其值为3，可得到-20205a-20203b=4，再将x=-2020代入ax5+bx3+2后，进行适当的变形，整体代入计算即可．【详解】解：当x=-2020时，代数式ax5+bx3-1的值为3，即-a×20205-20203b-1=3，也就是：-20205a-20203b=4，∴当x=2020时，ax5+bx3+2=20205a+20203b+2=-（-20205a-20203b）+2=-4+2=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查代数式求值，代入是常用的方法，将代数式进行适当的变形是解决问题的关键．考点4、整体思想--整体构造法例1．（2023秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，则代数式的值为A．38 B．35 C． D．【答案】C【分析】把化成，再代值计算便可．【详解】解：，当，时，原式．故选：C．【点睛】本题考查了代数式求值的方法，还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力，题目有一定难度．变式1．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）若，，则的值为（

）A．6 B．4 C． D．【答案】A【分析】变形为，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵，，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想，将变形为．变式2．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考阶段练习）若，，则式子的值是（

）A． B．16 C．10 D．【答案】C【分析】将进行拆解组合成条件相关式子，然后整体代入即可．【详解】解：将，代入上式得：原式故选C．【点睛】本题考查了求代数式的值，整体思想的利用是解题关键．变式3．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考期末）已知等式，，如果a和b分别代表一个整数，那么的值是___________；【答案】【分析】根据已知等式，两式相减即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．考点5、整体思想--赋值法（特值法）例1.（2022•安丘市七年级月考）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1即可求出a（2）观察等式可发现只要令x＝2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．（3）令x＝0即可求出等式①，令x＝2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．【解答】解：（1）当x＝1时，a0＝4×1＝4；（2）当x＝2时，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；（3）当x＝0时，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，∴a6+a4+a2＝0．变式1．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______．【答案】16【分析】给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得，然后把代入即可计算．【详解】解：给赋值使﹐则，解得，给赋值使，则，∴，∴．故答案为：16．【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键．变式2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）某数学小组在观察等式时发现：当时，.现在请你计算：______________【答案】26【分析】把代入等式，求得d的值；把代入等式，把d的值代入等式，即可求解．【详解】把代入等式，得：；把代入等式，得：；∴；∴．故答案为：26【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体代入求值和代入特殊数据求值．A级（基础过关）1.（2022·江苏九年级一模）已知，那么代数式的值是（）A． B．0 C．23 D．3【答案】A【分析】将8-3x+6y变形为8-3（x-2y），然后代入数值进行计算即可．【详解】解：∵x-2y=5，∴8-3x+6y=8-3（x-2y）=8-3×5=-7；故选A．【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，将x-2y=5整体代入是解题的关键．2.（2022·安徽七年级期末）对于多项式，当时，它的值等于，那么当时，它的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把x=1代入多项式ax5+bx3+4=5，得a+b=1，把x=-1代入ax5+bx3+4得原式=-a-b+4=-(a+b)+4，根据前面的结果即可求出最后的值．【详解】解：把x=1代入多项式ax5+bx3+4=5，得a+b+4=5，即a+b=1，把x=-1代入ax5+bx3+4得，原式=-a-b+4=-(a+b)+4=3．∴多项式ax5+bx3+4当x=-1时的值为3．故选：D．【点睛】本题考查了代数式的求值，解题时要利用x的值是1或-1的特点，代入原式，将（a+b）作为一个整体来看待．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知整式的值是6，则的值是______．【答案】12【分析】把整式的值代入原式计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：12．【点睛】本题考查代数值求值，利用整体代入求值是解题的关键．4．（2023·湖北十堰·统考一模）若，则代数式的值是______．【答案】5【分析】首先根据，可得，然后把化成，再把代入化简后的算式计算即可．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．5．（2023·河北石家庄·校联考二模）若，则的值为_____．【答案】5【分析】根据，得到，整体代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：5．【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握整体思想，是解题的关键．6．（2023·四川广安·统考一模）已知，则代数式的值是__________．【答案】【分析】由得到，再把变形后整体代入即可．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．7．（2022秋·四川内江·七年级校考阶段练习）按如图的程序计算，若开始输入x的值为2，则最后输出的结果是_________；【答案】12【分析】按照程序进行计算，当时，得到4，，继续计算，当时，输出12．【详解】解：当时，，，继续计算，当时，，∵，故答案为：12．【点睛】本题考查了代数式求值，理解题意，结果大于10才输出，理解输出的条件是解题的关键．8.已知a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．【分析】直接利用已知变形得出2b﹣d和a﹣c的值，进而得出答案．【解答】解：∵a﹣2b＝2，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝9，∴a﹣2b+2b﹣c＝a﹣c＝2﹣5＝﹣3，2b﹣c+c﹣d＝2b﹣d＝﹣5+9＝4，∴（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）＝﹣3+4﹣（﹣5）＝6．9.（2022•三明期末）已知a﹣3b＝2，m+2n＝4，求代数式2a﹣6b﹣m﹣2n的值．【分析】先将原式分为两组后，进行变形，再将已知的a﹣3b＝2，m+2n＝4，整体代入即可．【解答】解：∵a﹣3b＝2，m+2n＝4，∴2a﹣6b﹣m﹣2n＝2（a﹣3b）﹣（m+2n）＝2×2﹣4＝0．10．（2022·湖南岳阳·七年级统考期末）已知多项式中，a，b，c为常数，当时，多项式的值是1；当时，多项式的值是2；若当x是和时，多项式的值分别为M与N，求的值．【答案】【分析】分别将表示出、代入多项式，从而得到关于a，b，c的两个等式，可求出，再表示出是和时M与N，从而可以表示出，将化成含即可求解．【详解】解：当时，，当时，，得：，当时，，当时，，．故答案：．【点睛】本题考查代数式的求值，熟练掌握整体代入方法是解题的关键．B级（能力提升）1．（2023春·七年级单元测试）若，，则的值是（）A． B．2 C．0 D．【答案】A【分析】先把方程的左右两边同乘以3得到，然后再同方程相减即可得到答案．【详解】解：∵，∴①，又∵②，∴②-①得：，∴，故选：A．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用所给的代数式变换并进行四则运算得出所求的代数式．2．（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（

）A．2 B． C．－2 D．【答案】D【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．【详解】解：∵，，，∴，，或，，（无解），∴，，∴，故选：D．【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出x，y的值．3.（2022•丹阳市期末）若代数式x2的值和代数式2x+y﹣1的值相等，则代数式9﹣2（y+2x）+2x2的值是（）A．7 B．4 C．1 D．不能确定【分析】由题意可得2x+y＝1+x2，代入所求的式子即可解决问题．【解答】解：∵代数式x2的值和代数式2x+y﹣1的值相等，∴x2＝2x+y﹣1；∴2x+y＝1+x2；∴9﹣2（y+2x）+2x2＝9﹣2（1+x2）+2x2＝9﹣2﹣2x2+2x2＝9﹣2＝7．故选：A．4．（2023·山东菏泽·统考二模）若，，则的值为________．【答案】【分析】②①得，据此计算即可求解．【详解】解：∵①，②，②①得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整体代入求值是解题的关键．5．（2022秋·七年级课时练习）已知，，则____．【答案】6【分析】首先将变形为，然后整体代入求解即可．【详解】∵，，∴．故答案为：6.【点睛】此题考查了代数式求值，解题的关键是将正确变形．6．（2023·甘肃白银·统考一模）按下面的程序计算：若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为______．【答案】22【分析】先把2代入代数式中，求值后若大于11输出答案，若小于或等于11返回第一步再次计算，判定即可得出答案．【详解】解：第一次运算结果为：，第二次运算结果为：，因为22大于11，所以最后输出的结果为22，故答案为：22．【点睛】本题主要考查了代数式求值，根据题意所给程序运算方法进行计算判定是解决本题的关键．7．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）当时，整式的值等于2021，那么当时，整式的值为______．【答案】【分析】由题意得，可得时，整式，然后将整体代入即可．【详解】解：当时，，可得，当时，，故答案为：．【点睛】此题考查了求代数式值问题的解决能力，关键是能进行准确化简和运用整体思想．8．(2022.河北初一期末)已知代数式，当时，该代数式的值为-1.（1）求的值．（2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值．（3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值．（4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小．【答案】（1）；（2）-4；（3）8；（4）【分析】（1）将x=0代入代数式求出c的值即可；（2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值；（3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值；（4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可．【解析】（1）当x=0时，=-1，则有c=﹣1；（2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=﹣1，∴a+b+c=﹣4；（3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=﹣10，即35a+33b=﹣10+1﹣9=﹣18，当x=﹣3时，原式=﹣35a﹣33b﹣9﹣1=﹣（35a+33b）﹣9﹣1=18﹣9﹣1=8；（4）由（3）题得35a+33b=﹣18，即27a+3b=﹣2，又∵3a=5b，∴27a+3×a=﹣2，∴a=﹣，则b=a=﹣，∴a+b=﹣﹣=﹣＞﹣1，∴a+b＞c．【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．已知，求的值．【答案】365.【分析】很难将一的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在x的允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑用赋值法解．【解析】令，由已知等式得，令，得，得．故．【点睛】考查了数字的变化类问题及代数式求值的知识，在解数学题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，再进行运算、推理解题的方法叫赋值法，用赋值法解题有两种类型：常规数学问题中，恰当地对字母取值，简化解题过程；非常规数学问题通过赋值，把问题“数学化”．10．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：(1)若，则_______；(2)已知，求代数式的值；(3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；（2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中计算即可；（3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中计算即可．【详解】（1）解：∵，即，∴；故答案为：；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：∵当时，代数式的值为5，即，∴，∴当，时，．【点睛】本题考查了代数式求值、含乘方的有理数的混合运算，解本题的关键是运用整体代入思想．C级（培优拓展）1．（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）关于x的多项式：，其中n为正整数．各项系数各不相同且均不为．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲密多项式”．当时，．①多项式共有个不同的“亲密多项式”；②多项式共有个不同的“亲密多项式”；③若多项式，则的所有系数之和为；④若多项式，则．以上说法正确的有（）A．① B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】由“亲密多项式”，多项式展开式，可以解决问题．【详解】解：①多项式共有个不同的“亲密多项式”，故①符合题意；②多项式共有个不同的“亲密多项式”，故②符合题意；③若多项式，则的所有系数之和为，当为偶数时，，当为奇数时，，故③不符合题意；④多项式，当时，（Ⅰ），当时，（Ⅱ），（Ⅰ）＋（Ⅱ），得：，∴，故④符合题意．故选：C．【点睛】本题考查“亲密多项式”的概念，求代数式的值，解题的关键是明白“亲密多项式”的定义，以及多项式的展开形式．运用了恒等变换、赋值的思想．2．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据，可得：，所以，据此求出的值为多少即可．【详解】解：∵，∴8m+2n+5=6，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了新定义，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知，，则的值为（

）A． B．2 C．14 D．16【答案】A【分析】直接用减去即可．【详解】∵，，∴，故选A【点睛】本题考查了代数式的求值，能够得到是解题的关键．4．（2022·河北初一期中），那么等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式=3a+7+5b﹣6a﹣2b=3b﹣3a+7=﹣3（a﹣b）+7=﹣8．故选D．点睛：将整式的加减与代数式变形相结合解题是中考中经常考查的知识点．先把此代数式变形为a﹣b的形式，代入数值即可．5．（2023·重庆·七年级专题练习）根据如图的程序计算，如果输入的x值是的整数，最后输出的结果不大于，那么输出结果最多有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【分析】输入的整数，逐个计算得结论即可．【详解】解：①输入→→返回继续输入→→返回继续输入→→输出；②输入→→返回继续输入→→输出；③输入→→返回继续输入→→输出；④输入→→输出；⑤输入→→输出；⑥输入→→输出；⑦输入→→输出；⑧输入→→输出；⑨输入→→输出；输入→→输出不合题意．当输入的值是的整数时，最后输出的结果不大于有六种情况．故选：．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，理解运算程序是解决本题的关键．6．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）已知线段，，且，，则等于____．【答案】【分析】将两个式子相减计算即可．【详解】解：∵，，∴，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查求代数式求值，结合已知条件整体相减是解题关键．7．（2023·湖北宜昌·统考二模）若，则__________．【答案】【分析】将题目所给的两个式子相加即得答案．【详解】解：由于，所以，即．故答案为：．【点睛】本题考查了代数式求值和整式的加减运算，明确求解的方法、灵活应用整体思想是解题的关键．8．（2022·河南周口·七年级期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成是一个整体，则．尝试应用：(1)把看成一个整体，合并的结果是____________．(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）利用合并同类项进行计算即可；（2）把的前两项提公因式3，再代入求值即可；（3）利用已