2019-2020学年人教河北唐山市丰南区九年级第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.抛物线y=-（x+1）2+3的顶点坐标是（）

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)

2.方程(x+1)(x-3)=5的解是(

A.xi=l,X2=-3B.xi=4,X2=-2C.xi=-1,X2=3D.XI=-4,X2=2

3.已知反比例函数7=小图象经过点（-5,2）,则左的值为（）

2x

A.-10B.10C.-20D.-5

4.如图，在△ABC中，M,N分别为AC,3c的中点.则△CMN与△CA5的面积之比是

()

C.1:4D.1:9

5.如图，A8是。。的直径，弦CD_LA3于点E,BE=lcm,CD=6cm,则AE为()

A.4B.9C.5D.8

6.下列事件中，是随机事件的是（）

A.太阳从东方升起

B.任意画一个三角形，它的内心在三角形外部

C.经过有交通信号的路口，遇到红灯

D.任意一个五边形的外角和等于540°

7.在双曲线的任一分支上，y都随x的增大而增大，则下列说法错误的是（）

x

A."的值有可能为2

B.图象位于第二、四象限

C.若图象过点（a,b）,也必过点（-〃，-b）

D.图象与x轴只有一个交点

8.将抛物线>=与2+1绕顶点旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A.y=-2X2+1B.J=-2x2-1C.y=-~x2+lD.y=--^x2-1

9.如图，以等边△ABC的一边A8为直径的半圆。交AC于点O,交5c于点E,若A5

=4,则阴影部分的面积是（）

A.273B.4愿C.MD.2

10.如图，△ABC中NBAC=100°,将△A3C绕点A逆时针旋转150°,得到△AOE,

这时点8、C、O恰好在同一直线上，则NE的度数为（）

A.50°B.75°C.65°D,60°

11.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白

球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放

回盒子，不断重复,共摸球200次，其中40次摸到黑球,则可以估计盒中大约有白球（）

A.30个B.35个C.40个D.50个

12.若二次函数了=。d-2ax-1的图象和x轴两交点间的距离为4,则°为（）

A.gB.gC.-77—D.-1

8324

13.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满：当每间房每

天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每

天支出20元的费用.设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元.则可列方程（）

A.（180+X-20）（50-=8640

B.（x+180）（50-言）-50X20=8640

C.x（50—X；：'。）-50X20=8640

D.（x-20）（50-）=8640

14.如图，已知双曲线y3（k<0）经过直角三角形048斜边的中点O,且与直角边

A5相交于点C.若点4的坐标为（-8,6）,则△AOC的面积为（）

C.16D.12

15.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到QC,

“是的中点，N是⑷斤的中点，连接MN,若BC=4,ZABC=60°,则线段拉N

C.4代D.6

16.已知抛物线）="2+加;+c（〃V0）与x轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点在（0,2）,

（0,3）之间（包含端点），顶点坐标为（1,n）,则下列结论:

①4〃+2Y0;

9

②-1W.W—;

O

③对于任意实数机，总成立；

④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.

其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、细心填一填（3小题，17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）把答案直接写在

题中的横线上。

2

17.若点A（-2,山）、5（-1,山）、C（1,73）都在反比例函数y=kTk+5（左为

x

常数）的图象上，则以、及、门的从小到大排列为.

18.抛物线了=。/-2x-l与x轴有两个交点，则a的取值范围为.

19.如图，圆锥母线长9厘米.

（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为;

（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长久门厘米，则侧

面展开扇形图的圆心角为.

三、专心解一解（本题满分68分）请认真读题，冷静思考。解答题应写出文字说明、解答

过程.

k

20.在平面直角坐标系xOy中，直线yi=x+2与双曲线以=’•相交于点A（m,3）.

x

（1）求反比例函数的表达式；

（2）画出双曲线的示意图；

（3）若另一个交点6的坐标为（-3,n）,则〃=;当yiVy2时，x的取值范

围.

21.如图，在△ABC中，NABC-90°.

（1）作NAC8的平分线交A3边于点。，再以点。为圆心，03长为半径作。。；（要

求：不写作法，保留作图痕迹）

（2）判断（1）中AC与的位置关系并说明理由.

（3）若AB=6,BC=8,求出（1）中。。的半径.

A

BC

22.“迎元旦大酬宾!”某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同

的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样.规定：在本

商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后

不放回）.商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券.某顾客刚好消费300

元.

（1）该顾客至多可得到元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概

率.

23.小李准备进行如下的操作，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成

一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2:3.

（1）要使这两个矩形的面积之和为78cBz2,较小矩形的长宽各是多少？

（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为9107?,你同意吗？说明理由.

（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）

24.如图，已知RtZkABC中，ZACB=90",E为48上一点，以AE为直径作。。与8C

相切于点。，连接EO并延长交AC的延长线于点F.

（1）求证：AE=AF;

（2）若AE=5,AC=4,求BE的长.

A

25.某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且

获利不得高于50%.经试销发现，销售量产（件）与销售单价X（元）符合一次函数关

系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为70元时销售量为50件.

（1）此试销期间销售量产可能为40吗？说明理由.

（2）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线？="好+8*+。（a<0）与x轴相交于A（-3,0）,

B（1,0）两点，与y轴相交于点C,顶点为O,直线OC与x轴相交于点E.

求抛物线的顶点坐标（用含。的式子表示）；

(2)OE的长是否与。值有关，说明你的理由;

（3）设NOEO=0,45°W0W6O°,求a的取值范围；

（4）以OE为斜边，在直线OE的左下方作等腰直角三角形尸。E.设尸（小，n）,直

接写出“关于机的函数解析式及自变量机的取值范围.

参考答案

一、精心选一选（共16小题.1-10题，每题3分；11-16题，每题2分，共42分）每小题

给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.

1.抛物线y=-（x+1）2+3的顶点坐标是（）

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)

【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标.

解：抛物线y=-（x+1）2+3的顶点坐标是（-1,3）.

故选：B.

2.方程（x+1）（x-3）=5的解是（）

A.xi=l,X2=-3B.xi=4,X2=-2C.xi=-1,X2=3D.xi=-4,X2=2

【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解.

解：(x+1)(x-3)=5,

化为(x-4)(x+2)=0,

.\xi=4,X2=-2.

故选：B.

k

3.已知反比例函数7=/图象经过点（-5,2）,则#的值为（)

2x

A."10B.10C.-20D.-5

【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答.

解：将点（-5,2）代入>=叁得,

2x

k=2xy=2X2X(-5)=-20.

故选：C.

4.如图，在△A5C中，M,N分别为AC,3C的中点.则△0%可与△CA3的面积之比是

cNB

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9

,MN=-^AB,根据相似三角形的性质定

【分析】根据三角形中位线定理得到MN//AB

理解答.

解：,：M,N分别为AC,8c的中点，

：.MN//AB,MN=^AB,

CATNs△CA3,

...△CMN与ACAB的面积之比=(粤)『士

AB4

故选：C.

5.如图，是。。的直径，弦C0_LAB于点E,BE=lcmfCD=6cm,则为（）

-Q

A.4B.9C.5D.8

【分析】设OC=OB=xcm,在RtAOEC中,利用勾股定理求解即可.

解：设OC=Ob=xc机，

•：AB±CD9AB是直径,

/.EC=DE=3cmf

222

在RtAOEC中，•:OC=CE+OE9

/.X2=32+(x-1)2,

/.x=5,

/.0E=4cm,

：.AE=OA+OE=5+4=9cmf

故选：B.

6.下列事件中，是随机事件的是（）

A.太阳从东方升起

B.任意画一个三角形，它的内心在三角形外部

C.经过有交通信号的路口，遇到红灯

D.任意一个五边形的外角和等于540°

【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发

生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.在一定条件下，可能发

生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可.

解：A、太阳从东方升起是必然事件，故此选项不合题意；

8、任意画一个三角形，它的内心在三角形外部是不可能事件，故此选项不合题意；

C、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故此选项符合题意；

任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件，故此选项不合题意；

故选：C.

1-k

7.在双曲线的任一分支上，y都随X的增大而增大，则下列说法错误的是（）

x

A.左的值有可能为2

B.图象位于第二、四象限

C.若图象过点（a,b）,也必过点（-a,-b）

D.图象与x轴只有一个交点

【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1-左的符号，可判断选项A,6的说法

正确，由图象上点的坐标特征可以得出选项C正确，则答案可得出.

解：•・，都随工的增大而增大，

J此函数的图象在二、四象限，

1-k

•.•双曲线）=---^过点（a,b）,

x

・••也必过点（-a,-b）.

1-k

双曲线y=---1•与坐标轴没有交点.

x

故。选项的说法错误.

故选：D.

8.将抛物线》=与2+1绕顶点旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A.j=-2x2+lB.j=-2x2-1C.j=-^x2+lD.y=-^-x2-l

【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据将抛物线7=/工2+1绕顶点旋转180°,求出

旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

解：的顶点坐标为（0,1）,

•.•抛物线？=42+1绕顶点旋转180。，

二旋转后的抛物线的顶点坐标还是（0,1）,

二旋转后的抛物线的解析式为y=-^-x2+l.

故选：C.

9.如图，以等边△ABC的一边A3为直径的半圆。交AC于点O,交3c于点E,若A5

=4,则阴影部分的面积是（）

C

A.2^3B.473C.73D.2

【分析】如图，连接OE,DE.证明SM=SACDE即可解决问题.

解：如图，连接0。，OE,DE.

,.•△ABC是等边三角形，

：.ZA=ZB=60°,

,:OA=OD=OB=OE=2,

：.AAOD,NE03都是等边三角形,

/.ZAOD=ZEOB=60°,

・・・NDO£=60°,△DOE是等边三角形,

：.ZDOE=ZEOBf

・•・弓形。£与弓形的面积相等，

*：CD=DE=CE=2f

••・△CDE是等边三角形，

S阴=SACDE=gx22=«,

4

故选：C.

10.如图，△ABC中N3AC=100°,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△AOE,

这时点5、C、O恰好在同一直线上，则NE的度数为（）

A.50°B.75°C.65°D.60°

【分析】由旋转的性质得出NR4Z>=150°,AD=AB,ZE=ZACB,由点5,C,。恰

好在同一直线上，则△A4。是顶角为150°的等腰三角形，求出NB=15°,由三角形

内角和定理即可得出结果.

解：,将△A3C绕点A逆时针旋转150°,得到△AOE,

：.ZBAD=150°,AD=AB,NE=NACB,

•.•点£C,。恰好在同一直线上，

...△R4O是顶角为150°的等腰三角形，

ZB=ZBDA,

,（180°-ZBAD}=15°,

二NE=NAC8=180°-ZBAC-ZB=180°-100°-15°=65°,

故选：C.

11.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白

球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放

回盒子，不断重复,共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（）

A.30个B.35个C.40个D.50个

【分析】可根据“黑球数量+黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑

白球总数=黑球个数+白球个数“，”黑球所占比例=随机摸到的黑球次数《总共摸球的

次数”.

解：设盒子里有白球x个，

黑球个数摸到黑球的次数R

根据黑白球总数二摸球总次数付：

1040

・解得：x=40.

x+10200

故选：C.

12.若二次函数？="广-2ax-1的图象和x轴两交点间的距离为4,则“为()

A.B.5C.-777D.-1

8324

【分析】根据二次函数y=ax2-2“K-1,可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数y

=ax2-lax-1的图象和x轴两交点间的距离为4,可以得到该函数与x轴的交点坐标，

从而可以求得a的值.

解：,二次函数产a/-2ax-1,

_oa

,该函数的对称轴为直线x=一--=1,

2a

,二次函数yufitx2-lax-1的图象和x轴两交点间的距离为4,

该函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),

二当尤=-1时，aX(-1)2-2aX(-1)-1=0,

解得"=5，

故选：B.

13.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满：当每间房每

天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每

天支出20元的费用.设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元.则可列方程()

A.(180+X-20)(50-荒)=8640

B.(x+180)(50-%)-50X20=8640

C.x(50-X-^1U)-50X20=8640

D.(x-20)(50-)=8640

10

【分析】直接利用(房间定价-180)+10=减少的房间数，进而利用每间房间利润X住

的房间数=8640,进而得出答案.

解：设房价定为x元，由题意得:

(x-20)(50-x：：'J)=8640.

故选：D.

14.如图，已知双曲线丫=区&<0）经过直角三角形045斜边。4的中点O,且与直角边

【分析】先由点A的坐标（-8,6）,。点坐标（0,0）,得到斜边04的中点。的坐

k19

标为（-4,3）,再把。（-4,3）代入y=一可确定反比例函数的解析式为y=-------,

xx

33Q

然后确定C点坐标为（-8,y）,则AC=6-言=:，然后根据三角形面积公式计算即

可.

解：•.•点A的坐标为（-8,6）,。点坐标为（0,0）,

二斜边04的中点。的坐标为（-4,3）,

把O（-4,3）代入y=K得上=-4X3=-12,

X

,12

・••反比例函数的解析式为y=---,

x

•・・A3_Lx轴，

・・・C点和横坐标为点A相同，都为-8,

122

把x=-8代入y=—二■得y=—,

x2

3

・・・C点坐标为（-8,,

：.AC=6-^-=^-,

22

11Q

.♦.△AOC的面积=帮。O5==X=X8=18.

222

故选：B.

15.如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,将△43C绕顶点C逆时针旋转得到△⑷9C,

“是BC的中点，N是A'方的中点，连接MN,若BC=4,NA5c=60°,则线段“V

的最大值为（）

【分析】连接CN,根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=，4'B'=4,利用三角

形的三边关系即可得出结果.

解：连接CN,如图所示：

在RtAJLBC中，ZACB=90°,BC=4,ZB=60",

二NA=30°,

：.AB=A,Br=2BC=8,

,:NB'=NAf,

：.CN=^-A'B'=4,

'：CM=BM=2,

：.MN^CN+CM=（＞,

.•.MN的最大值为6,

故选：D.

16.已知抛物线y=a%2+加:+c（QVO）与柒轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点在（0,2）,

（0,3）之间（包含端点），顶点坐标为（1,n）,则下列结论:

①4。+28VO;

9

②-iWaW—;

O

③对于任意实数m,a-^b^am2+bm总成立；

④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.

其中结论正确的个数为（）

A・1个B・2个C・3个D.4个

【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2af进而可得出4〃+25=0,结论①错误；

②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=~2a可得出a=-三,再结合抛物线与y

o

9

轴交点的位置即可得出-IWaW-。，结论②正确；

O

2

③由抛物线的顶点坐标及aVO,可得出〃=a+）+c,JLn^ax+bx+cf进而可得出对于任

意实数m,a+b^am2+bm总成立，结论③正确；

④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线只有一个交点，将直线下

移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程

ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确.

综上，此题得解.

解：①二•抛物线y=a%2+加汁°的顶点坐标为（1,〃）,

:・b=-2a,

/.4a+2b=0,结论①错误；

②,・,抛物线)=〃工2+加什c与X轴交于点A(-1,0),

:・a->+c=3a+c=0,

又二•抛物线丁=°炉+加；+c与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），

・・・2/cW3,

o

/.-1WaW--T-,结论②正确；

O

③TaVO,顶点坐标为（1,n）,

2

^.n=a+b+c9JLn^ax+bx+c,

,对于任意实数相，〃+52即/2+罚n总成立，结论③正确；

④）,抛物线y=ox2+0x+c的顶点坐标为（1,M）,

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，

又；aVO,

.•.抛物线开口向下，

抛物线与直线y=〃-1有两个交点，

二关于x的方程ax2+Bx+c=〃-1有两个不相等的实数根，结合④正确.

故选：C.

二、细心填一填（3小题，17、18题每题3分，19题每空2分，共10分）把答案直接写在

题中的横线上。

2

17.若点A（-2,山）、5（-1,/）、C（1,j3）都在反比例函数y=k二孰+5（兀为

X

常数）的图象上，则了1、）2、山的从小到大排列为山〈山V[3.

【分析】设，=炉-44+5,配方后可得出£>0,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求

出yi、j2>,3的值，比较后即可得出结论.

解：设，=/-44+5,

9：k2-4k+5=（无一2）2+1>0,

・・・>0・

2

•.•点A（-2,ji）,B（-1,j2）>C（1,j3）都在反比例函数y=kYk+5（左为常

X

数）的图象上，

・力1=-y,J2=-19y3=t9

又丁-rv-

Aj2<jl<j3.

故答案为：yi<yi<y3.

18.抛物线y=〃x2-2x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围为且♦与0.

【分析】根据抛物线y=ax2-2x-1x轴有两个交点，可以得到b2-4〃c>0且。#=0,

从而可以求得〃的取值范围.

解：。・•抛物线y=a%2-2x-1与x轴有两个交点，

'a沪0

*

“I（-2）2-4aX

解得，”>-1且“看0,

故答案为：。>-1且。去0.

19.如图，圆锥母线长9厘米.

（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为160°;

（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长叭门厘米，则侧

面展开扇形图的圆心角为120°.

【分析】（1）根据扇形的画出等于底面圆的周长，构建方程即可解决问题.

（2）如图是圆锥的侧面展开图，作OH_LAA'于H.解直角三角形求出NA即可解决问

题.

解：（1）设圆心角为〃.

由题意：弋：9=2n・4,

loU

：."=160°,

故答案为160°.

（2）如图是圆锥的侧面展开图，作于

由题意AA'=%/§,

*：OA=OA/,OHJ-AAf,

：.AH=HA'ZOAH=ZOA,H,

2

TeosNA=理挈哼

AO

9

二NA=30°,

二NA=NA'=30",

，扇形是圆心角NAQ4°=180°-30°-30°=120°,

故答案为120°.

三、专心解一解(本题满分68分)请认真读题，冷静思考。解答题应写出文字说明、解答

过程.

,-k

20.在平面直角坐标系xOy中，直线yi=x+2与双曲线及=’■相交于点A(m,3).

x

(1)求反比例函数的表达式；

(2)画出双曲线的示意图；

(3)若另一个交点5的坐标为(-3,n),则〃=一1;当yiV%时，x的取值范

围xV-3或OVxVl.

【分析】(1)根据直线上点的坐标特征求出加，把点A的坐标代入反比例函数解析式,

计算即可；

(2)根据题意画出图象；

(3)把6(-3,n)代入(1)求得的解析式，即可求得〃的值，然后结合图象求得当

yiV,2时，%的取值范围.

k

解：(1)二•线yi=x+2与双曲线,2=，相交于点A(m,3),

x

/.3=m+2,

：.A(1,3)

把A(1,3)代入y2=X

x

k=3X1=3,

.3

・••反比例函数的表达式为yz——;

(3)•.•直线yi=x+2与双曲线］2=X■相交于另一个交点5的坐标为(-3,〃)，

x

/.-3〃=3,

/.n=-1,

：.B(-3,-1),

由图象可知：当山〈了2时，x的取值范围xV-3或OVxVl,

故答案为-1,xV-3或OVxVl.

21.如图，在△ABC中，ZABC=90".

(1)作NAC8的平分线交A5边于点。，再以点。为圆心，。3长为半径作O。；(要

求：不写作法，保留作图痕迹)

(2)判断(1)中AC与O。的位置关系并说明理由.

(3)若A3=6,BC=8,求出(1)中。。的半径.

B

【分析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）结论AC是。。的切线.作OH_LAC于H,只要证明即可.

（3）利用勾股定理求出AC,再利用面积法构建方程即可解决问题.

解：（1）如图，。。即为所求.

（2）结论：AC是。。的切线.

理由：作OH_LAC于

•；oc平分NACB,OHJ.AC,OB±BC,

：.OB=OH,

...AC是。。的切线.

（3）在RtZkACB中，VZB=90°,BC=8,AB=6,

:.AC={AB2+BC'='/+82=10,设OH=OB=x,

则有：—•AB*BC=—>OB・BC+4-AC*OH,

222

48=8x+10x,

.8

Q

二。。的半径为半

o

22.“迎元旦大酬宾!”某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同

的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样.规定：在本

商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后

不放回）.商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券.某顾客刚好消费300

元.

（1）该顾客至多可得到q元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概

率.

【分析】（D由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购

物券的金额不低于60元的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；

故答案为：70;

（2）画树状图得：

开始

°兀10兀20兀50兀

/1\ZT\/K

IP20500205001050o1020

兀兀兀元元元元元元元元元

•.•共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于60元的有4种情况，

41

该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率为：费=母・

J./o

23.小李准备进行如下的操作，把一根长50cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成

一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为2:3.

（1）要使这两个矩形的面积之和为78cm2,较小矩形的长宽各是多少？

（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为91cm2,你同意吗？说明理由.

（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）

【分析】（1）根据相似多边形的性质得到两矩形的周长的比为2:3,两矩形的面积的

比为4:9,则可计算出较小矩形的周长为20,较小矩形的面积为24,设较小矩形的一

边长为xc»i,则另一边长为（10-x）cm,根据矩形的面积公式得到x（10-x）=24,

然后解方程即可；

（2）先计算出较小矩形的周长为20,较小矩形的面积为28,设较小矩形的一边长为xcm,

则另一边长为（10-x）cm,利用矩形的面积公式得到x（10-x）=28,然后根据所列

方程没有实数解可判断这两个矩形的面积和不可能为91cm2.

解：(1)•..两矩形相似且相似比为2:3,

二两矩形的周长的比为2:3,两矩形的面积的比为4:9,

24

二较小矩形的周长为50Xg=20,较小矩形的面积为78X-=-=24,

513

设较小矩形的一边长为xcffi,则另一边长为(10-x)cm,

：.x(10-x)=24,

整理得x2-10x+24=0,解得比i=4,X2=6,

答：较小矩形的长为6cm,宽为4cm;

(2)同意.

理由如下：

较小矩形的周长为20,较小矩形的面积为91〉合=28,

设较小矩形的一边长为xcni,则另一边长为(10-x)cm,

：.x(10-x)=28,

整理得x2-10x+28=0,

,.,△=102-4X28=-12<0,方程没有实数解，

.,.这两个矩形的面积和不可能为91cm2.

24.如图，已知RtZkA5c中，NACB=90°,E为A3上一点，以AE为直径作与3C

相切于点O,连接即并延长交AC的延长线于点凡

(1)求证：AE=AF；

(2)若AE=5,AC=4,求5E的长.

B

【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得到ODLBC,根据平行线的判定定理得到

OD//AC,求得NOZ>E=N尸，根据等腰三角形的性质得到NOEZ>=NODE,等量代换

得到NOEO=NK于是得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】证明：(1)连接0,

•・・5C切。。于点D,

：.0D±BC9

：.ZODC=90°,

又・.・NAC5=90°,

：.0D//AC,

:・N0DE=NF,

•:OE=OD,

:・N0ED=N0DE,

:・N0ED=NF,

：.AE=AF;

(2)9：OD//AC

:.ABOD^/\BAC9

.BO3

••短记，

VAE=5,AC=4,

Q,BE+2.52.5

即诉"F，

25.某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且

获利不得高于50%.经试销发现，销售量产（件）与销售单