高一年级上册期末数学试卷

高一上学期期末数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共6题，共30分）

1、过直线y=X+2上的点向圆（X-4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）

A,存B.，网.忤D.牺

【考点】

【答案】C

【解析】

要使切线长最小，则直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，求

出后再利用勾股定理求得切线长的最小值.

要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，

此最小值为圆心（4,一2）到直线的距离d,

I设c的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方

程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.

2+m4+打

设C（m,n）,由重心坐标公式得重心为（3'3）,

代入欧拉线方程得：加一八+4=°①

_4-0_

AB的中点为（12）,AB~0-2-2,

所以AB的中垂线方程为x一2），+3=°

x-2y+3=0X=—1

解得

联立,"+2=°,,y=1

所以三角形ABC的外心为（一1，D,

则（771+1产+=32+I2=]0,化简得：山2,|_八2+2）n—2n=8②

联立①②得：m=-4,n=0或rn=O,n=4,

当时，B,C重合，舍去，

所以顶点C的坐标是(-4,0)

故选A.

3、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距

离是重心到垂心距离的一半•这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),

且的欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点c的坐标为()

A(-4,0)B(-4,-2)c(-2.2)D(-3,0)

【考点】

【答案】A

【解析】

设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线

方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标.

设C(m,n),由重心坐标公式得，

2+m44-n

三角形ABC的重心为(3,),

2+m4+n

------------I-

代入欧拉线方程得：33十2=0,

整理得：m-n+4=0①

_4-0_

AB的中点为(1,2),直线AB的斜率k一二支一―2,

1

AB的中垂线方程为y-2-(x-1),即x-2y+3=0.

%-2y+3=0(x=-1

联立[x-y+2=0,解得.

「.△ABC的外心为(-1,1).

贝I](m+1)2+(n-1)2=32+12=10,

整理得：m2+n2+2m-2n=8②

联立①②得：m=-4,n=0或m=0,n=4.

当m=0,n=4时B,C重合，舍去.

二顶点C的坐标是(-4,0).

故选：A.

4、在四面体「—ABC的四个面中，是直角三角形的至多有()

A.0个B.2个C.3个D.4个

【考点】

【答案】D

【解析】

作出图形，能够做到PA与AB,AC垂直，BC与BA,BP垂直，得解.

如图，PAJ■平面ABC,

CB±AB,

贝I]CB_L即，

故四个面均为直角三角形.

故选：D.

I圆C1：x2+y2-2x=0化为标准形式是（x-1）2+y2=1,

圆心是C1（1,0）,半径是八=1；

圆C2：x2+y2-4y+3=0化为标准形式是x2+（y-2）2=1,

圆心是C2（0,2）,半径是r2=1；

则|C1C2|=将＞r1+r2,

二两圆外离，公切线有4条.

故选：D.

二、填空题（共2题，共10分）

7、在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是

【考点】

I

【答案】2

【解析】

设出点的坐标,根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.

设该点的坐标

因为点到三个坐标轴的距离都是1

所以=y2+z2=1,/+z2=l,

所以，+y2+z24

/v2.2.2

故该点到原点的距离为“】vz一=2,

故填.

8、在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是

E

（答案）2

【考点】

I

【答案】2

【解析】

设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离.

设该点的坐标是（x,y,z）,

.•・该点到三个坐标轴的距离都是1,

.,.x2+y2=1,

x2+z2=1,

y2+z2=1,

_3

.*.x2+y2+z22,

/x2,2+z2=E=

，该点到原点的距离是小-⑫

故答案为：.

三、解答题（共3题，共15分）

9、如图,在圆锥P0中，已知「°=J?,圆o的直径力8=2,c是弧AB的中点,D为AC的中点.

（1）求异面直线PD和BC所成的角的正切值;

（2）求直线0C和平面PAC所成角的正弦值.

【考点】

【答案】（1）2；（2）3

【解析】

试题（1）异面直线所成的角，往往通过平移转化到一个三角形内求解.本题转化到直角三角形PDO中

求解.（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求.本题

过点0向平面PAC作垂线，则NOCH即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值.

试题解析：（1）---0,D分别是AB和AC的中点

---0D//BC异面直线PD和BC所成的角为NPD0

I-I

在.ABC中，八8=2,C是48的中点,,D为力。的中点

•1,AC=BC=⑫QD=#又...po=枢...pgj_面力8c二tanzPDO=9=2

（2）因为°力=。。,0是力。的中点,所以4。-LOD.

又PO1底面OOACc底面O0,所以4c1。。.所以4c1平面POD；

又4cc平面pjC,所以平面POD1平面PNC,在平面POD中，过。作OH1PD于H,

则。H_L平面PAG连结CH,则是0C在平面/MC上的射影,

所以上℃"是直线°C和平面P/C所成的角.

—POOD

R”POD中,。“府r

在

c-,…，OHJ2

在Rt△OHC中,sinz_OCH=oc=T

10、有两直线期-2y-2a+4=。和2x-(1一a?)y-2-2a?=0,当a在区间(°，2)内变化时，求

直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值.

【考点】

11

【答案】

【解析】

利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE=2.根据S四边形0CEA=S4BCE-SZi0AB即

可得出.

■,,0<a<2,

4

可得11：ax-2y=2a-4,与坐标轴的交点A(0,-a+2),B(2一10).

-2-2a2

I2：2x-(1-a2)y-2-2a2=0,与坐标轴的交点C(a2+1,0),D(0,1-).

两直线ax-2y-2a+4=0和2x-(1-a2)y-2-2a2=0,都经过定点(2,2),即yE=2.

11

-

.1.S四边形OCEA=SZ\BCE-SZkOAB2|BC|.yE2|0A|•|0B|

44

+————

(a2。1)X2(2-a)X(。2)

=a2-a+3

1111

=(a)2T4—4,当a时取等号.

.■.H,12与坐标轴围成的四边形面积的最小值为.

11、已知Lx+my+6=0,%：(m-2)x+3y+2m=0,分别求m的值，使得和：

(1)垂直;

(2)平行;

(3)重合;

(4)相交.

【考点】

1

【答案】(1)7;(2)-1；