高数-10寒-03-两角和与差的余弦、正弦和正切-方珂－教师版

辅助角公式

一、两角和与差的余弦公式

（一）知识精讲

在三角比的计算和化简中，常要用角a,0的三角比来表示角（«+0）或角（a-做的三角

比.

设a和6是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x轴

的正方向重合，它们的终边04,分别与单位圆交于A、B两点（如图1）.A、8的坐标

分别为（cosa,sina）,（cos£,sin⑶.

下面考虑a-尸的三角比，把角的终边OA,。8都绕。旋转-£角，分别转到ar,OB,

的位置（如图2）,由于0A转过了-月角，所以.点A的坐标是

（cos（（z-^）,sin（a-/?）），点2'的坐标（1,0）.

根据两点间的距离公式，在图1中，有

\AB\=(coscr-cos；0)2+(sina—sin尸『

=cos2a-2cosacos/3+cos2,+sin2a-2sinasin尸+sin2f3

=2-2(COS6ZCOS/?+sincrsin0)

在图2中，有

|A'B'|2=[cos(a-p)-l]2+sin2(cr

=cos2(cr-y0)-2cos(a—〃)+1+sin2(a-0)

=2-2cos(a-4)

因为AAO6绕。旋转-万角得厅，所以

从而得到：

2-2(coscrcos/?+sincrsin⑶=2-2cos(a-£),

所以cos(a一4)=cosacos/?+sinasin/3

它对任意角戊和月都成立，这个公式叫做两角差的余弦公式.

如果用-/代替则可以得到两角和的余弦公式：

cos(a+/)=cosacos4一sinasinp

【注】一般地，sin(a+£)wsina+sin£,cos(6Z-/?)=cos6r-cos/7.

(-)典型例题

[例1]cos15°=,cos75°=

【难度】★

【答案】

-4-，~~4-

[例2]cos23°cos220-cos67°cos68°=cos10°cos350+cos100°cos55°=

【难度】★

【答案】*f

【例3】cosf—+<x<-,贝!jcos%=_______

(4J5124

【难度】★

【答案】-变

10

【例4】在AABC中，cosAcos5>sinAsin3,则此三角形一定是______三角形.

【难度】★★

【答案】钝角

【例5】将角a的终边绕顶点顺时针旋转工，就成了角0的终边，a终边上有点尸(3,-4),

那么sinP为.

【难度】★

【答案】-3

5

193

【例6】已知分为锐角，且cos(r+/?)=：,cos(2a+£)=5，求cosa.

【难度】★★

【答案】—

65

■行r▼2cos10°-sin20°

[例7】----------------=

cos20°

【难度】★★★

【提示】cos10°=cos(30°-20°)

【答案】百

【巩固练习】

1.cos105°=,cos195°=

【难度】★

[林安]也一而枝+瓜

4'4

2.sin115Osin700-sin25°sin20°=cos[—Fa]+cosI----cc

16J(6.

【难度】★

【答案】—，6cosa.

2

3.若Ovav/r,且sin[a+g]=；,贝！Jcos[]+a]=

【难度】★★

【答案】—

4

53

4.AABC中，cosA=—,sinB=—,贝(JcosC=

135

【难度】★★

【答案】—

65

5.已知点M(-6,-8),若将0M绕原点顺时针转］得到0W,则点时的坐标为

【难度】★★

【答案】(-8,6)

54

6.设cosa=百,cos(cr+/?)=-w,且a,〃都是锐角，则cos#=.

【难度】★★

【答案】—

65

7.已知cosacos£=：,则sinasin方的取值范围是.

【难度】★★★

【答案】

8.a=(cosa+cos/)2+(sine+sin其中a,〃为任意角，求a的取值范围.

【难度】★★★

【答案】［0,4］

二、两角和与差的正弦公式

(-)知识精讲

sin（a+0=cos"（a+/3）

=cos（。+4）一]

=C0S[^-6Zjcos尸+sin[^一/卜in尸

=sinacos13+cosasinp

即sin（a+£）=sinacos/3+cosasin/3

把尸换成-尸，得两角差的正弦公式:

sin（a一4）=sinercos/3-cosasin/3

（二）典型例题

【例8】sin14°cos160+sin16°cos14°=

cos80°cos350+cos10°cos55°=

sin91ocos61o-cos29ocos91°=

sin75°=________

【难度】★

【答案】-；—；-；丑KI.

【例9】化简行cos仁+cr]+sin《+aj=.

求值：cos（70°+cr）sin（170°-a）-sin（70°+cr）cos（10°+cr）=

【难度】★

【答案】28S。；.

2

【例10](1)已知=，贝！Jsin[e+V]

(2)已知以%[6+?)=—三,6£(/4)，贝!Jsin<9的值为

【难度】★

[受安]12^/3-512—+5

54

【例11】cos(cr+/?)=—,cos/?=—,均为锐角，则sinc=

【难度】★

【答案】—

65

7T37r123

【例12】已知,vc<],cos(a-£)=百,sin(a+£)=-丁求sin2o的值.

【难度】★★

【答案】-史

65

【例13］若AABC中的角A、2满足$11145山3+51114：053+＜：054$1113+＜；054853=2,则

此三角形是_____三角形.

【难度】★★

【答案】等腰直角

54

【例14】在Az48c中，已知sinA=—.cosB=—,则sinC的值为

135

【难度】★★

【答案】—

65

【例15]已知sin(a+⑶=g,sin(c—£)=g,那么黑亮

【难度】★★★

tana_sincrcos0

【提示】

tanPsin§cosa

【答案】5

【巩固练习】

12万.3万.2万3兀

I-cos——sin----i-sin——cos——=；

5555

sin163°sin223°+sin253°sin313°=；

sinl95°=.

【难度】★

【答案】o,；-：后—一.

24

2.化简sin（45。+A）-sin（45。-A）=

【难度】★

【答案】72sinA

3.求值：cos（70°+2cr）cos（25°+2。）+sin（70°+2cr）cos（65°-2。）=

【难度】★

【答案】—

2

E

4.已知sinacos4=一!，尸则sin（a-尸）的值为

已知cos（0-30。）=:,a£（30。,90。），则sina的值为

【难度】★

【答案】-生且;8百+15

34

5.已知cos（2a—/?）=-1,sin（a-2/?）=：,且求sin（a+/）的值.

【难度】★★

【答案】n

6.在AABC中，2sinAcos3=sinC,那么AABC一定是____三角形.

【难度】★★

【答案】等腰

3S

7.在A/WC中，已知sinA=—,cos3=—，则cosC的值为.

513

【难度】★★

【答案】—

65

三、两角和与差的正切公式

（一）、知识精讲

/sin(a+/7)_sinacos夕+cosasin尸

tan(a+夕)=--~-::一7

cos(a+〃)cosacosp-smasinp

把最后一个分式的分子分母同除以cosacos£（cosawO,cos/wO），化简得:

tana+tan(3

tan(6r+/3)=

1-tancrtanf3

同理可得

tan<7-tan/?

tan(a_£)=

1+tanatan0

（二）典型例题

1+tan15°

【例16】

1-tan15°

【难度】★

【答案】也

【例17】已知131115。+131130。+加101115。101130。=1,则机=

若NA=16°,NB=29°,则(1+tanA)(l+tanB)的值为.

【难度】★

【答案】1;2

【例18］若tan(e+W)=3,贝1Jtang=

tanA=-,贝Utan2A=

3

sin(30。+a)=《60。va<150。，则tan(75。+a)的值为

【难度】★

【答案】巫心；3

347

【例19】设5匹(0,5)且(l-tana)(l-tan/)=2,则a+£=

【难度】★

【答案】L

4

【例20】已知tan(a-£)=g,tan£=-g,且a,£e(0,;r),求2tz-〃的值.

【难度】★★

【答案】一37

4

【例21］已知tana=Ltan£=-2,则一,叫——勺值为_______

3cos(a+p)-cos(cr-p)

【难度】★★

【答案】-9

4

【例22】已知sinc+sin/二;,cosa+cos/?=g,求tan(a+y0)的值.

【难度】★★★

【提示】令n.

【答案】）

【巩固训练】

1.若JanA=4+5则cot(2+A〕的值是____.

1+tanA14)

【难度】★

【答案】4+A/5

2.求值tanl0°+tan20°+且tanl0°tan20°=

3

【难度】★

【答案】—

3

3.(1+tanl°)(l+tan2°)•••(1+tan43°)(1+tan44°)=.

【难度】★★

【答案】222

4.已知sincr=：,cot尸=3,且夕是第二象限角，则tan(a-〃)=

【难度】★★

【答案】-3

5.已知tan(a+/)=a,tan((z-£)=6,则tan2(z的值为.

【难度】★★

【答案】9心

1—ab

6.设tan(cr+=tan(2—/)=；,则tan[2a+?]=.

【难度】★★

【答案】—

5

7.设//金[。,1]且tan2=1,tan/?=；,则a—/=.

【难度】★★

【答案】-

4

37r1

8.已知sina=n<a<»,tan(万一/?)=Q,求tan(a-2/?)的值.

【难度】★★

【答案】—

24

43

9.已知cos(a+/7)=w，cos(c—/)=—w，则tanatan/的值为—

【难度】★★★

【答案】-7

四、辅助角公式

（一）、知识精讲

tzsina+Z?cosa=y/a2+b2,sina+.cosa

22

y/a+b

ab

可设=cos/==sin用，所以

1a2+/+。2

即，sina+bcosa=

其中力通常取(0«B<24),由cosa=.a,sina=广”=确定.

y/a2+b2yja2+b2

同学可尝试设一旦=sinA,b■=cos/进行化简.

-Ja2+b2\/a2+b2

（二）典型例题

【例23］将sina+cosa化为Asin（a+9）（A>0）的形式是.

将2cos6Z+2代sin°化为Acos（a+0）（A〉0）的形式是.

将2sina_2sin［a+?）化为Asin（cr+^）（A>0）的形式是.

【难度】★

【答案】sin^6Z+；4cos［二一3；2sin^.

【例24】已知3cosa+\/^sina=2如sin（a+£（一肛»），则0=

【难度】★

【答案】-

3

【例25］已知sina=^,a£仁,乃:cos/?=e371

,贝(Jsin(a+/?)=

【难度】★

【答案］一6+4.

15

【例26】下列关系式中，角。存在的是（)

4•3n.4

A.sina+cosa=一B.sina+cosa=一

23

.12

C.sma=—,cosa=-D.cos。-sincr=一近

33

【难度】★

【答案】B

【例27］百sin［看-a］+3sin《+aJ的最大值为

【难度】★★

【答案】2g

【例28］已知加=叵皿±1,求机的取值范围.

cosa+2

【难度】★★★

【提示】把分母乘到左边，利用辅助角公式求解.

【答案】「-2,2

3

【巩固训练】

1.y/3sina+cosa化为Asin（a+°）（A>0）的形式是

将4cosa-4sina化为Acos（a+°）（A〉0）的形式是.

【难度】★

【答案】2sin[a+f；4应cos(a+£).

2.已知3cosa-3j5sini=6sin(a+夕),夕£(0,24),则(p=

【难度】★

3.若cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sinc=一壮，贝!Jsin|—+/3]=

【难度】★

【答案】-

4.设々=01口14。+8514。,。=511116。+8516。,。=——，则4,b,C的大小关系是()

2

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【难度】★

【答案】B

5.^l-sinl5°--sin75°=

【难度】★

【答案】-也

2

6.若"x)V2血*空(x)=2=,xeR,则”x)-g(x)的最大值为____.

【难度】★★

【答案】2立

7.求i2sin50°+sin10°(1+百tan10°)｝，2sin?80°的值.

【难度】★★

【答案】A/6

8.使方程2sina+A/^cosa=!有解的k的取值范围是

【难度】★★★

【答”T1

—,+oo

3

公式联系记忆:

cos(«-/?)=cosacos夕+sinasin夕cos(a+y0)=cosacos/7-sinasin(3

sin(a+4)=sinacos/?+cosasin/3sin(a-£)=sinacos(3-cosasin/?

tana+tanp^_tan«^tan£

tan(a+/)=tan(a)=

1-tancrtan01+tantan0

使用公式的时候注意把什么看成a,什么看成£,初学需要圈注一下.

利用和差配所求角难度比较大，需要耐心观察.

1'Ikr.TC.77CTC7TC

1.IT#sin—sin------cos—cos——二；cos79°cos560-cos11°cos34°=

8888

【难度】★

【答案】1;-f

2.化简cos(tz+/)cosa+sin(a+/?)sina=；

cos(31°-6>)cos(29°+6>)-cos(59°+6>)cos(61°-0)=；

l+sin(cr-2»)•cos[a-一tan("-a)•tan一a)—cos2(一二)=

【难度】★

【答案】cos/3;L

35

3.在AABC中，cosA=—,sinB=一，贝!JcosC=.

513

【难度】★★

【答案】-3

65

71"至<”2万,

4.sinex.+—贝Ucosa=

132

【难度】★

12』-5

【答案】

~26~

5.已知?<a<t，0<£<?,_S.c