2022-2023学年高二物理竞赛课件：刚体绕定轴的转动微分方程

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刚体绕定轴的转动微分方程

解:

取轮A为研究对象再取轮B和物体C为研究对象因为

得

刚体绕定轴的转动微分方程

例：飞轮对轴O的转动惯量为Jo，以角速度ω0

绕轴O转动。制动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为f，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。解以轮为研究对象，取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为：积分解得FFN其受力分析如图示刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程主动力：F1

，F2，……，Fn

轴承约束力：FN1

，FN2由质点系对z轴的动量矩定理，有或上式也可写成或以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。转动惯量是刚体转动惯性的度量。

例：水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，系统绕z轴的角速度为ω0。如果此时细线拉断后，杆AC和BD各与垂线成θ角，不计各杆的质量，求这时系统的角速度ω。

例:

提升装置中，均质圆轮A、B的质量分别为m1、m2,半径分别为r1、r2,物体C

的质量为m3

，轮A上作用常力矩M1

。求物体C上升的加速度。刚体绕定轴的转动微分方程

刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴z的转动惯量(momentofinertia)定义为由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。在国际单位制中其单位为kg•m2。转动惯量恒为正值。简单形状物体的转动惯量计算（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量

设杆长为l，单位长度的质量为ρ,取杆上一微段dx，其质量m=ρdx，则杆的质量于是

（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量

设圆环质量为m，质量mi到中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于z轴的转动惯量为即

，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量

设圆板的半径为R，质量为m

。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为式中

或

回转半径（或惯性半径）定义为如已知ρz

，则即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。三、平行轴定理

设点C为刚体的质心，刚体对于通过质心的z1

轴的转动惯量为JZc，刚体对于平行于该轴的另一轴z的转动惯量为J

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