第05讲 平行线的判定（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第05讲平行线的判定（核心考点讲与练）一．平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．二．平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．三．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．一．平行线（共4小题）1．（2021春•饶平县校级期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．相交或垂直 D．相交或平行【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系判断．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直．故选：D．【点评】考查在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系．概念理解题．2．（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．3．（2021春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直【分析】根据直线的位置关系解答．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．4．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【分析】根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解．【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；C．直线与角是不同的两个概念，错误；D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，平角的定义，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．二．平行公理及推论（共3小题）5．（2019春•嘉祥县期末）下列说法错误的是（）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【分析】分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案．【解答】解：A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等，错误，符合题意；B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意；C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键．6．（2020春•崇明区期中）下列说法中，正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】利用对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误；B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；C、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故错误；D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，故选：B．【点评】本题考查了对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质及平行公理等知识，解题的关键是了解有关的定理及定义，难度不大．7．（2018春•嘉定区期中）在平面内，下列四个说法中，正确的是（）A．经过一点有且只有一条线段与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条线段与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】依据垂线的性质以及平行公理，即可得出结论．【解答】解：A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了垂线的性质以及平行公理，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．三．平行线的判定（共14小题）8．（2020春•华亭市期末）如图，点E在BC的延长线上，由下列条件不能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．【解答】解：A、正确，符合内错角相等，两条直线平行的判定定理；B、正确，符合同位角相等，两条直线平行的判定定理；C、错误，若∠3＝∠4，则AD∥BE；D、正确，符合同旁内角互补，两条直线平行的判定定理；故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．9．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由∠2＝∠3，根据同位角相等，则两直线平行可证得b∥c，可得答案．【解答】解：∵∠1＝∠2＝60°，∴a∥b，∵∠2＝∠3，∴b∥c，∴a∥c，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，则两直线平行”是解决问题的关键．10．（2021春•普陀区期中）如图，如果∠A+∠B＝180°，那么AD∥BC．【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC．故答案为∠B．【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．11．（2021春•浦东新区期中）如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则DE∥BC．【分析】由DF平分∠CDE，∠CDF＝55°可得∠CDE＝110°，再根据同旁内角互补两直线平行可得结论．【解答】解：∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∴∠CDE＝2∠CDF＝110°，∵∠C＝70°，∴∠C+∠CDE＝70°+110°＝180°，∴DE∥BC．故答案为：DE∥BC．【点评】本题考查平行线的判定，熟练的掌握平行线的判定方法是解题关键．12．（2021春•普陀区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），因为EA平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．13．（2021春•上海期中）如图，直线a、b都与直线c相交，其中不能判定a∥b的条件是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠6 C．∠1＝∠4 D．∠5+∠8＝180°【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．【解答】解：A、∠1＝∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，不合题意；B、∠3＝∠6可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，不合题意；C、∠1＝∠4不能得到a∥b，符合题意；D、∠5+∠8＝180°可得∠3+∠2＝180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b，不合题意；故选：C．【点评】本题考查平行线的判定，记住同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，解题的关键是搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念，属于中考常考题型．14．（2020春•下城区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠A+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．【解答】解：当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故A不可以；当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF；∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故B、D都可以；当∠1＝∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故C可以；故选：A．【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．15．（2021春•奉贤区期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题考查了角平分线的定义、角的计算以及平行线的判定，根据各角之间的关系，找出∠BAD+∠B＝180°是解题的关键．16．（2021春•青浦区期中）如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是①④．【分析】根据平行线的判定和各个小题中的条件，可以判断是否可以使得a∥b，从而可以解答本题．【解答】解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．（2021春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有3个．【分析】根据平行线的判定定理即可判断．【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，故能判定AB∥CD的条件个数有3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．18．（2021春•普陀区期中）如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1）．所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据垂直定义得出∠CDA＝∠DAB，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．19．（2021春•青浦区期中）如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，说明AB∥CD的理由．解：因为GH是∠EGC的角平分线（已知），所以∠EGH＝∠HGC＝56°（角平分线的定义）．因为CD是条直线（已知），所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（平角的定义）．所以∠IGD＝68°．因为∠EIB＝68°（已知），所以∠IGD＝∠EIB（等量代换）．所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．【分析】根据题意和图形，可以写出解答过程中空格中需要填写的内容，本题得以解决．【解答】解：因为GH是∠EGC的角平分线（已知），所以∠EGH＝∠HGC＝56°（角平分线的定义），因为CD是条直线（已知），所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（平角的定义），所以∠IGD＝68°，因为∠EIB＝68°（已知），所以∠IGD＝∠EIB（等量代换），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：已知，角平分线的定义，平角的定义，∠IGD，∠EIB，等量代换，同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（2021春•普陀区校级月考）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC∥DE．【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，利用已知，等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，故有两直线平行．【解答】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC∥DE．【点评】本题利用了角平分线的性质，以及平行线的判定中内错角相等，两直线平行的知识．21．（2021春•长沙县期末）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF，（同位角相等，两直线平行）所以∠EAC＝∠ACG，（两直线平行，内错角相等）因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3＝，∠4＝，所以∠3＝∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【分析】利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．【解答】证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC＝∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3＝，∠4＝，所以∠3＝∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】此题主要考查了平行线的判定即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．平行线的判定即两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．

分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共9小题）1．（2021春•芝罘区期末）如图，在下列条件中，能说明AC∥DE的是（）A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180°【分析】直接利用平行线的判定方法分析得出答案．【解答】解：A、当∠A＝∠CFD时，则AB∥DF，不合题意；B、当∠BED＝∠EDF时，则AB∥DF，不合题意；C、当∠BED＝∠A时，则AC∥DE，符合题意；D、当∠A+∠AFD＝180°时，则AB∥DF，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．2．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由∠2＝∠3，根据同位角相等，则两直线平行可证得b∥c，可得答案．【解答】解：∵∠1＝∠2＝60°，∴a∥b，∵∠2＝∠3，∴b∥c，∴a∥c，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，则两直线平行”是解决问题的关键．3．（2020春•杨浦区期末）如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°【分析】根据内错角相等，两直线平行解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AD∥BC．故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．4．（2020春•江岸区校级期中）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b⊥c，则a⊥c【分析】根据平行线的判定定理及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．【解答】解：A、根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出本选项正确，不合题意，B、根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意，C、根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意，D、根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的判定定理及性质，垂直的性质，关键在于熟练掌握相关的性质定理并做到熟练应用．5．（2019春•虹口区期末）如图，能推断AD∥BC的是（）A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠3＝∠1+∠2【分析】利用平行线的判定进行分析即可．【解答】解：A、∠3＝∠4不能推断AD∥BC，故此选项错误；B、∠2＝∠4不能推断AB∥DC，故此选项错误；C、∠3＝∠4+∠5能推断AB∥DC，故此选项正确；D、∠3＝∠1+∠2不能推断AB∥DC，能推出AB∥CD，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．6．（2019春•花都区期末）如图，能判定直线a∥b的条件是（）A．∠2+∠4＝180° B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠1＝∠4【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直线a∥b；B．由∠3＝∠4，不能判定直线a∥b；C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直线a∥b；D．由∠1＝∠4，能判定直线a∥b；故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．7．（2019春•浦东新区期中）下列说法正确的是（）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．同旁内角相等，两直线平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】依据平行线的判定，点到直线的距离以及平行公理进行判断即可．【解答】解：A．如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故本选项错误；B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故本选项正确；C．同旁内角互补，两直线平行，故本选项错误；D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的判定，点到直线的距离以及平行公理，解题时注意：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．8．（2019春•普陀区期中）如图，下列推理正确的是（）A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC C．∵∠4+∠D＝180°，∴AD∥BC D．∵∠4+∠B＝180°，∴AD∥BC【分析】根据平行线的判定判断即可．【解答】解：A、由∠2＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项错误；B、∵∠1＝∠3，∴AD∥BC，故本选项正确；C、由∠4+，∠D＝180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；D、由∠4+∠B＝180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行．9．（2018春•青浦区期中）下列说法正确的是（）A．有公共顶点的两个角是邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短 D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补【分析】依据邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，即可得出结论．【解答】解：A．有公共顶点的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；C．从直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故本选项错误；D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故同旁内角互补，故本选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．二．填空题（共3小题）10．（2014秋•朝阳区期末）在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种：相交和平行．【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．故答案为：相交，平行．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系，属于基础题，应熟记这一知识点．11．（2019春•静安区期中）如图，如果∠ABD＝∠CDB，那么DC∥AB．【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为：DC，AB．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．12．（2018春•青浦区期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的条件是：①②③④（把你认为正确的序号填在空格内）．【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．【解答】解：①∠1＝∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b；②∠3＝∠6可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b；③∠1＝∠8＝∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b；④∠5+∠8＝180°可得∠3+∠2＝180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b；故答案为①②③④．【点评】本题考查平行线的判定，记住同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，解题的关键是搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念．三．解答题（共8小题）13．（2020春•闵行区校级期中）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠BAE＝∠CPF，求证：AE∥PF．【分析】由平行线的判定定理得AB∥CD，再由平行线的性质得∠BAP＝∠CPA，由已知得出∠PAE＝∠APF，再由平行线的判定定理得出AE∥PF．【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，∴AB∥CD，∴∠BAP＝∠CPA，∵∠BAE＝∠CPF，∴∠PAE＝∠APF，∴AE∥PF．【点评】本题考查了平行线的判定定理得出，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．14．（2019春•浦东新区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB∥EF的理由．【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出AB∥EF．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∵∠3+∠4＝180°，∴CD∥EF，∴AB∥EF．【点评】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、熟练运用平行公理是解决此题的关键．15．（2020春•闵行区期末）如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明AB∥CD的理由．解：因为GH平分∠AGE（已知），所以∠AGE＝2∠AGH（角平分线的定义）同理∠DMF＝2∠DMN因为∠AGH＝∠DMN（已知）所以∠AGE＝∠DMF（等量代换）又因为∠AGE＝∠FGB（对顶角相等）所以∠DMF＝∠FGB（等量代换）所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．【分析】根据角平分线的定义和等量关系可得∠AGE＝∠DMF，再根据对顶角相等和等量关系可得∠DMF＝∠FGB，再根据平行线的判定推出即可．【解答】解：因为GH平分∠AGE（已知），所以∠AGE＝2∠AGH（角平分线的定义）同理∠DMF＝2∠DMN因为∠AGH＝∠DMN（已知）所以∠AGE＝∠DMF（等量代换）又因为∠AGE＝∠FGB（对顶角相等）所以∠DMF＝∠FGB（等量代换）所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，DMF，DMF，等量代换，对顶角相等，DMF，等量代换，同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．16．（2020春•浦东新区期末）如图，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．说明AB∥EF的理由．【分析】根据平行线的判定可得EF∥CD，AB∥CD，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．【解答】解：∵∠COF+∠C＝180°，∴EF∥CD，∵∠C＝∠B，∴AB∥CD，∴AB∥EF．【点评】考查了平行线的判定，关键是熟悉同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行的知识点．17．（2020春•崇明区期中）如图所示，已知∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，请说明AE∥PF的理由．【分析】先判定PD∥AB，再根据平行线的性质，即可得到∠CPD＝∠CAB，再根据等式性质即可得出∠CPF＝∠CAE，进而判定AE∥PF．【解答】证明：如图所示，∵∠BAP+∠APD＝180°，∴PD∥AB，∴∠CPD＝∠CAB，又∵∠1＝∠2，∴∠CPD﹣∠2＝∠CAB﹣∠1，即∠CPF＝∠CAE，∴AE∥PF．【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．18．（2019春•静安区期中）已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？【分析】根据平行线的判断可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠1＝∠DBF，由已知条件和等量关系可得∠DBF+∠BFE＝180°，根据平行线的判定可证明EF∥BD．【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠DBF，∵∠1+∠BFE＝180°，∴∠DBF+∠BFE＝180°，∴BD∥EF．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．19．（2019春•杨浦区期中）图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝180°邻补角的意义因为∠2+∠3＝180°已知所以∠3＝∠4同角的补角相等因为∠1＝∠3（已知）所以∠1＝∠4等量代换所以AB∥DE同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定解答即可．【解答】解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝180°（邻补角的意义）因为∠2+∠3＝180°（已知）所以∠3＝∠4（同角的补角相等）因为∠1＝∠3（已知）所以∠1＝∠4（等量代换）所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）故答案为：邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．20．（2019春•大埔县期末）如图已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE＝∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？解：因为BE平分∠ABC（已知）所以∠ABE＝∠EBC（角平分线的意义）因为∠ABE＝∠AEB（已知）所以∠AEB＝∠EBC（等量代换）所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）【分析】首先根据已知BE平分∠ABC利用角平分线的意义可得∠ABE＝∠EBC，再有∠ABE＝∠AEB，可根据等量代换得到∠AEB＝∠EBC，再根据内错角相等，两直线平行得到AD∥BC．【解答】解：因为BE平分∠ABC（已知），所以∠ABE＝∠EBC（角平分线的意义），因为∠ABE＝∠AEB（已知），所以∠AEB＝∠EBC（等量代换），所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的意义；已知；AEB；EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．题组B能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2020春•韩城市期末）如图，下列条件能判断AD∥BC的是（）A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4【分析】根据平行线的判定解答即可．【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AD∥BC，符合题意；B、∵∠1＝∠2，不能判定AD∥BC，不符合题意；C、∵∠2＝∠3，∴AB∥DC，不符合题意；D、∵∠3＝∠4，不能判定AD∥BC，不符合题意；故选：A．【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定定理解答．2．（2018春•金山区期中）如图，点E在AB的延长线上，则下列条件中，不能判定AD∥BC是（）A．∠D+∠DCB＝180° B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠4 D．∠CBE＝∠DAE【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：∵∠2＝∠4，∴CD∥AB，∴不能判定AD∥BC是选项C，故选：C．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共2小题）3．（2020春•广饶县期末）如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是同位角相等，两直线平行．【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可．【解答】解：用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是同位角相等，两直线平行；故答案为：同位角相等，两直线平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．4．（2019春•武胜县期末）如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是∠2＝∠4（答案不唯一）．【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可．【解答】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD．故答案是：∠2＝∠4（答案不唯一）．【点评】本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．三．解答题（共9小题）5．（2019春•奉贤区期末）如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD∥BC．【分析】由AB与AC垂直，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证．【解答】证明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC＝90°（垂直定义），又∠1＝30°，∠B＝60°（已知），∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代换），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．【点评】此题考查了平行线的判定，垂直的定义，是一道证明题，其中平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．6．（2018春•浦东新区期中）如图，∠1＝120°，∠BCD＝60°，AD与BC为什么是平行的？（填空回答问题）将∠1的邻补角角记为∠2∵∠1+∠2＝180°，且∠1＝120°（已知）∴∠2＝60°．∵∠BCD＝60°，（已知）∴∠BCD＝∠2．∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）【分析】首先记∠1的邻补角为∠2，得出∠2＝60°，再由∠BCD＝60°，得出∠BCD＝∠2，从而得出AD∥BC．【解答】证明：将∠1的邻补角记为∠2．∵∠1+∠2＝180°，且∠1＝120°（已知），∴∠2＝60°，∵∠BCD＝60°（已知），∴∠BCD＝∠2，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．故答案分别为：邻补角，180°，60°，已知，2，同位角相等，两直线平行．【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是先由邻补角得出∠2＝60°，再由已知得出∠BCD＝∠2，从而得出AD∥BC．7．（2017春•浦东新区月考）如图，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，说明AC∥DF．解：∵∠A＝∠EGC已知又∵∠A＝∠D已知∴∠D＝∠EGC（等量代换）∴DF∥AC同位角相等两直线平行．【分析】根据平行线的判定和性质解答可得．【解答】解：∵∠A＝∠EGC（已知）又∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠EGC（等量代换）∴DF∥AC（同位角相等两直线平行），故答案为：已知，已知，∠D，∠EGC，等量代换，同位角相等两直线平行．【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定和性质及等量代换是解题的关键．8．（2017春•浦东新区期中）如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A+∠AEF＝180°．说明CD∥EF的理由．【分析】直接利用平行线的判定方法得出AB∥CD，进而得出CD∥EF．【解答】解：因为AB⊥BG，CD⊥BG（已知），所以∠B＝90°，∠CDG＝90°（垂直的意义），所以∠B＝∠CDG（等量代换），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行），因为∠A+∠AEF＝180°（已知），所以AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），所以CD∥EF（平行线的传递性）．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出AB∥CD是解题关键．9．（2016春•闸北区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．说明AB∥DC的理由．解：∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC∴∠1＝∠2．（等量代换）∵∠1＝∠3，（已知）∴∠2＝∠3．（等量代换）∴CD∥AB．（内错角相等，两直线平行）．【分析】首先根据角平分线定义可证明∠1＝∠2，进而利用平行线的判定