第12讲 比例线段及相似图形（4大考点）（解析版）

第12讲比例线段及相似图形（4大考点）考点考点考向一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．四．相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．考点考点精讲一．比例的性质（共8小题）1．（2022秋•邗江区月考）若＝，则下列式子正确的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【分析】根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴＝+1＝，故A不符合题意；B、∵＝，∴≠，故B不符合题意；C、∵＝，∴＝﹣1＝﹣∴＝﹣4，故C不符合题意；D、∵＝，∴＝，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（2022秋•惠山区校级月考）已知，则的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4【分析】利用比例的性质由得到a＝2b，再把a＝2b代入所求的代数式中，然后进行分式的化简即可．【解答】解：∵，∴a＝2b，∴＝＝＝5．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．3．（2022秋•建邺区校级月考）若，则＝．【分析】利用合比性质求解．【解答】解：∵，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．4．（2022•仪征市二模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米．……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．【分析】根据题意列出算式，再按照法则计算即可．【解答】解：根据题意得：3×10÷（50÷30）＝30÷＝30×＝18（升）．答：可以换得的粝米为18升．故答案为：18．【点评】本题考查了比例的性质，有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题关键．5．（2022秋•江阴市校级月考）（1）已知，2x+y≠0，求的值．（2）已知＝＝＝x，求x的值．【分析】（1）＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把x＝2k，y＝3k，z＝5k代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可；（2）当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，易得x＝﹣1；当a+b+c≠0时，利用等比性质得到x＝2．【解答】解：（1）设＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，∴＝＝﹣＝﹣；（2）当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，则x＝＝﹣1；当a+b+c≠0时，x＝＝＝＝＝2，综上所述，x的值为﹣1或2．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．6．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的1.2倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．7．（2021秋•靖江市期末）设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形？并说明理由．【分析】根据合比性质得出＝＝＝＝0，则a＝b＝c，进而判断△ABC为等边三角形．【解答】解：△ABC为等边三角形，理由如下：∵a，b，c是△ABC的三条边，∴a+b+c≠0，∵＝＝，∴＝＝＝＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了等比性质：如果＝＝…＝＝k，且b+d+…+n≠0，那么＝k．8．（2022秋•惠山区校级月考）已知＝＝≠0，则的值是．【分析】利用设k法进行计算，即可解答．【解答】解：∵＝＝≠0，∴设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝+＝+＝+＝+＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．二．比例线段（共5小题）9．（2022秋•相城区校级月考）已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺为（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可．【解答】解：∵10km＝700000厘米，∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；故选：C．【点评】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．10．（2022秋•靖江市期中）比例尺是1：3000的地图上，某条街道的长度为25cm，它的实际长度约为750米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果．【解答】解：设它的实际长度为xcm，则：＝，解得x＝7500075000cm＝750m．故答案为：750．【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．11．（2021秋•淮安区期末）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．【解答】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项是3．（2）设x＝4k，y＝3k，∴＝＝﹣．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．（2022秋•宜兴市月考）已知线段a＝4cm，b＝5cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm．【分析】设线段a、b的比例中项为xcm，根据比例中项的定义得到x2＝20，然后求20的算术平方根即可．【解答】解：设线段a、b的比例中项为xcm，根据题意得x2＝ab＝4×5＝20，解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去），即线段a、b的比例中项为2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了比例线段：掌握比例中项的定义是解决问题的关键．13．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，∴c＝2cm．故线段c的长为2cm．【点评】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．黄金分割（共8小题）14．（2020秋•宝应县月考）如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．【分析】根据黄金比值为计算，得到答案．【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．15．（2022秋•宜兴市月考）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD（AD＝AB）、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．16．（2022秋•邗江区校级月考）已知点C为线段AB的黄金分割点且AB＝5，则AC≈3.1或1.9（精确到0.1）．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝5，∴当AC＞BC时，AC＝AB＝×5≈×5≈3.1；当AC＜BC时，AC≈5﹣3.1＝1.9；综上所述，AC的长为3.1或1.9，故答案为：3.1或1.9．【点评】本题考查了黄金分割点的概念．熟记黄金分割的比值是解题的关键，注意分类讨论．17．（2022•建邺区二模）点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝5且PA＞PB，则PA长最接近的整数是3．【分析】根据黄金比为0.618进行计算即可得到答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴PA＝0.618AB＝0.618×5≈3．故答案为：3．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值≈0.618叫做黄金比是解题的关键．18．（2022秋•靖江市期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AC的长度为10cm，则BC的长度为（15﹣5）cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割的定义可得AB＝AC，从而求出AB的长，然后根据线段的和差关系求出BC的长，即可解答．【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC的长度为10cm，∴AB＝AC＝（5﹣5）（cm），∴BC＝AC﹣AB＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）（cm），故答案为：（15﹣5）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．19．（2022秋•苏州期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是+1．【分析】过A作AE⊥BD于E，由黄金分割的定义得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性质得BE＝DE＝，则CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过A作AE⊥BD于E，∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．20．（2022秋•宜兴市月考）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图④中的黄金矩形是：矩形BCDE，矩形MNDE．（3）请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由．【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．（2）根据黄金矩形的定义判断即可；（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折叠的性质得：AC＝NC＝1，在Rt△ABC中，AB＝＝＝，故答案为；（2）矩形BCDE，矩形MNDE；故答案为：矩形BCDE，矩形MNDE；（3）∵AD＝AB＝，AN＝AC＝1，∴CD＝﹣1，ND＝+1，∴＝，故矩形BCDE是黄金矩形；∴＝＝，故矩形MNDE是黄金矩形．【点评】本题主要考查黄金分割，黄金矩形，菱形的判定，折叠与对称的性质，掌握黄金分割的概念是解题的关键．21．（2022秋•邗江区月考）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折叠的性质得：AC＝NC＝1，在Rt△ABC中，AB＝；故答案为；（2）四边形BADQ是菱形．证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四边形BADQ为菱形；（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；理由：∵AD＝AB＝，AN＝AC＝1，∴CD＝，ND＝，∴＝，故矩形BCDE是黄金矩形；∴＝，故矩形MNDE是黄金矩形．【点评】本题主要考查黄金分割，黄金矩形，菱形的判定，折叠与对称的性质，掌握黄金分割的概念是解题的关键．四．相似图形（共6小题）22．（2022秋•江阴市校级月考）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是②③⑤．【分析】直接利用相似图形的定义得出答案．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；⑤所有的圆都相似，正确．故答案为：②③⑤．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的定义是解题关键．23．（2022秋•靖江市期中）下列图形中，不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两个等边三角形一定相似，不符合题意；B、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；C、两个长方形的对应角相等但对应边的比不一定相等，故不一定相似，符合题意；D、两个圆一定相似，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了相似图形的定义，牢记相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大．24．（2020秋•崇川区校级月考）如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为20；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．【分析】（1）①根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）利用接近度的定义分析得出答案．【解答】解：（1）①∵内角为80°，∴与它相邻内角的度数为100°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．故答案为：20；0；（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】此题主要考查了相似图形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键．25．（2020秋•宜兴市月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是①②⑤．【分析】根据相似图形的判定一一判断即可．【解答】解：①两个正三角形相似，正确．②两个等腰直角三角形相似，正确．③两个菱形相似，错误．④两个矩形相似，错误．⑤两个正方形相似，正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查相似图形的判定，解题的关键是理解相似图形的判定方法，属于中考常考题型．26．（2020秋•徐州期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．【分析】（1）根据折叠的特征可得A4纸的长边与BC重合，即长边为正方形ABDC的对角线，结论可得；（2）根据相似图形的判定解答即可．【解答】解：（1）如图1，由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．∴A4纸较长边与较短边的比为：．故答案为：．（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：∵A4纸较长边与较短边的比为：，∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，∴A5纸的长边为a，短边为．∴A5纸的长边与短边的比为：＝．∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴A4纸与A5纸相似．【点评】此题考查相似图形，关键是根据相似图形的判定和性质解答．27．（2021•锡山区一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC＝，AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，在Rt△AFC中AF＝＝，∵AD＝，E为AD中点，∴AE＝，∴EF＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·江苏宝应·九年级期中）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．2 B．6 C．8 D．2【答案】C【分析】根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项．【详解】解：由题意，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键．2．（2020·江苏·淮安外国语学校九年级月考）若，则下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式的两边都除以，从而可得到答案．【详解】解：等式的两边都除以：，故选B．【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知，那么下列比例式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案．【详解】解：由可得：故不符合题意，由可得：故符合题意；由可得：故不符合题意，由可得：故不符合题意，故选：【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解题的关键．4．（2021·江苏如皋·九年级期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，故选：C．【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．5．（2021·江苏·常州外国语学校九年级月考）在比例尺为的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约，它的实际长度约为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得：7÷=140000（cm），140000cm=1.4km．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．6．（2021·江苏海陵·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形C．两个平行四边形 D．两个菱形【答案】B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D错误；故答案选B．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．7．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝()A． B． C． D．1【答案】A【分析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【详解】解：∵，

∴，

∵a∥b∥c，

∴．

故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．二、填空题8．（2021·江苏姜堰·九年级期中）若，则的值为________．【答案】【分析】先根据已知设出，，代入即可求出答案．【详解】，设，，．故答案为：．【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．9．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）若x﹣3y＝0，则＝___．【答案】【分析】由x﹣3y＝0，可得再代入进行计算即可.【详解】解：x﹣3y＝0，故答案为：【点睛】本题考查的是比的计算与比例的基本性质，掌握比的计算与比例的基本性质是解题的关键10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如果在比例尺1：50000的地图上，A、B两地的图上距离为2cm，则A、B两地的实际距离为___m．【答案】【分析】利用比例尺等于图上距离:实际距离，再计算即可.【详解】解：设A、B两地的实际距离为cm，则1：50000而cmm，故答案为：【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例尺等于图上距离:实际距离”是解题的关键.11．（2019·江苏南京·九年级期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．【答案】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，AB＝4，则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点睛】本题考查了黄金分割的概念．解题关键是熟记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．12．（2021·江苏惠山·九年级期中）在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.【答案】26【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．故答案为26．【点睛】本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．13．（2020·江苏·靖江外国语学校九年级月考）若a∶b=3∶2，且b是a，c的比例中项，则b∶c等于____．【答案】3：2．【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得b2＝ac，即a:b=b:c，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即a:b=b:c，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故答案为：3：2．【点睛】本题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．14．（2021·江苏大丰·九年级期末）在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为_____km．【答案】128【分析】根据比例尺直角计算即可．【详解】解：设实际距离为xcm，∵比例尺为1：800000，∴16：x=1：800000x=1280000012800000cm=128km；故答案为：128．【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是明确比例尺的意义，注意单位转换．15．（2021·江苏宜兴·九年级月考）已知，则________【答案】【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．【详解】解：设，则，故，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．16．（2020·江苏·宜兴市丁蜀镇陶都中学九年级月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是_____．【答案】①②⑤【分析】根据相似图形的判定一一判断即可．【详解】解：①两个正三角形相似，正确．②两个等腰直角三角形相似，正确．③两个菱形相似，错误．④两个矩形相似，错误．⑤两个正方形相似，正确．故答案为：①②⑤．【点睛】此题考查相似图形的判定，掌握相似图形的特点:对应边成比例,对应角相等是解题的关键．17．（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【答案】1【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；所有的菱形不一定相似，所以②错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；故答案是：1．【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．18．（2021·江苏苏州·九年级期中）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，从外形看最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．（精确到0.01）【答案】【分析】由黄金矩形的定义，可知黄金矩形的宽与长之比为，设所求边长为x，代入已知数据即可得出答案．【详解】解：设所求边长为x，由题意，得，解得x=cm．故答案为．【点睛】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值．19．（2018·江苏相城·九年级期中）比例尺为1：9000的苏州市城区地图上，山塘街的长度约为40cm，它的实际长度约为_____km．【答案】0.36．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【详解】解：设它的实际长度为x厘米，则：1：9000＝40：x，解得x＝360000．360000厘米＝3.6km．故答案是：3.6．【点睛】考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．三、解答题20．（2021·江苏阜宁·九年级期末）已知是和3的比例中项，求．【答案】，【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可．【详解】解：∵是和3的比例中项，∴，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了比例线段，一元二次方程的解法，熟知比例中项的定义是解决问题的关键．21．（2021·江苏江阴·九年级期中）求值：（1）已知，求的值；（2）已知，a＋b＋c＝22，求3a－b＋2c的值．【答案】（1）；（2）24【分析】（1）设b＝3k，则a＝4k（k≠0），代入求值即可；（2）设＝k，表示a，b，c代入等式求出k值，代入求解即可．【详解】解：（1）根据题意，设b＝3k，则a＝4k（k≠0），＝＝＝．（2）设＝k，则a＝2k，b＝4k，c＝5k．∵a+b+c=22∴2k＋4k＋5k＝22，解得k＝2．∴a＝4，b＝8