第05讲 等腰三角形的性质与判定（2大考点14种解题方法）（解析版）

第05讲等腰三角形的性质与判定（2大考点14种解题方法）考点考点考向一.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三.等腰三角形的判定：判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．四.等边三角形的性质：（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．五.等边三角形的判定：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．考点考点精讲考点一：等腰三角形的性质定理题型一：等腰三角形的性质的判定一、单选题1．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】延长BG与CD的延长线相交于E点，证明△ABG≌△DEG，得AB=DE，由AB+CD=BC，得CE=BC，点G为BE的中点，得∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°∠CBE=∠CEB，故③①④正确；由GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，CG=CG，∠BCG=∠ECG，证△GMC≌△GNC，故②正确．【详解】解：如下图：延长BG与CD的延长线相交于E点，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，∵点G为AD的中点，∴AG=GD，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG，∴AB=DE，BG=GE，∵AB+CD=BC，∴DE+CD=BC，∴CE=BC，∴∠CBE=∠CEB，又∵∠ABE=∠BEC，∴∠CBE=∠ABE，∴BG平分∠ABC，∴③正确；∵CE=BC，点G为BE的中点，∴∠BCG=∠ECG，∠BGC=90°，∴CG平分∠BCD，∴①④正确；∵GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，∴∠GMC=∠GNC=90°，∵CG=CG，∠BCG=∠ECG，∴△GMC≌△GNC，∴GM=GN，∴②正确；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，做题的关键是证明△ABG≌△DEG．二、填空题2．（2022·广东东莞·八年级期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，则∠C的度数为___________.【答案】或【分析】设∠B＝x°，则∠A＝3x°，根据∠A是顶角或底角两种情况分类讨论，列出方程求解即可．【详解】解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，①当∠A是顶角时，∠A＋2∠B＝180°，即：5x＝180，解得：x＝36，此时∠C＝∠B＝36°；②当∠A是底角时，2∠A＋∠B＝180°，即7x＝180，解得：x＝，此时∠C＝3∠B＝，综上所述，∠C的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够根据这个角是底角还是顶角进行分类讨论是解答本题的关键．3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则________．【答案】【分析】根据CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先证△BCD≌△FCD，得到△BCF为等腰三角形，BF=2BD，再证△BAF≌△CAE，即可得答案．【详解】解：如下图：延长BD与CA的延长线交于F点，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°，又∵CD=CD，∴△BCD≌△FCD，∴BC=CF，∴△BCF为等腰三角形，∴BF=2BD，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC，∴∠FBA=∠ECF，在△BAF和△CAE中，∴△BAF≌△CAE，∵BF=CE，∵BF=2BD，∴CE=2BD，∵BD=，∴CE=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是延长BD与CA的延长线交于F点，构造△BAF≌△CAE．三、解答题4．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BDA＝∠CEA，进而利用全等三角形的判定方法AAS即可得出△ABD≌△ACE，则结论可得出．【详解】证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BDA＝∠CEA，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD＝CE，∴BD＋DE＝CE＋DE，即BE＝CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等边对等角的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．5．（2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）已知在直角三角形ABC中，，AD平分．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，点E在AB上，连接CE交AD于F，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点M在AB上，连接CM交AD于G，过点G作于N，交CF于H，，，，求的面积．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）20【分析】（1）根据DA=DB，得∠DAB=∠B，由已知AD平分∠CAB，∠CAD=∠DAB，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案；（2）根据AD平分∠CAB，∠BAD=∠BCE，得∠CAD=∠BCE，由∠BCE+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACE=90°，得∠AFE=∠AFC=90°，最后根据∠ACE=∠AEC，即可得答案；（3）设∠ACM=，∠CAB=2，得∠BMC=90°-，∠AEC=90°-，再根据2+2=90°，得FC=FG，再证∠FCD=∠FGH，得△FGH≌△FCD，最后根据CF=GF=5，GD=8，即可得答案．【详解】证明：（1）∵DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．（2）∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠BAD=∠BCE，∴∠CAD=∠BCE，∵∠BCE+∠ACE=90°，∴∠CAD+∠ACE=90°，∴∠AFE=∠AFC=90°，∵∠FAE+∠AEC=90°，∴∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．（3）设∠ACM=，∠CAB=2，∴∠BCM=90°-．∵2∠ACM=∠B，∴∠B=2，∴∠BMC=90°-．∵AC=AE，∴∠AEC=90°-，∴∠MCE=180°-∠BMC-∠AEC=+．∵2+2=90°，∴∠MCE=45°．∵∠CFG=90°，∴∠FGC=∠FCG，∴FC=FG．∵GN⊥CD，∴∠GNC=90°．∵∠FCD+∠FDC=∠FGH+∠FDC，∴∠FCD=∠FGH．∴△FGH≌△FCD，∴FH=FD=3．∵CH=2，∴CF=GF=5，GD=8，∴△CGD的面积为．【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角，三角形面积的知识点，做题的关键是掌握全等三角形的判定方法．6．（2021·广东东莞·八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，AF为∠BAC的角平分线，AF交CD于点E,交BC于点F.(1)如图1，①∠ACD∠B（选填“<，=，>”中的一个）②如图1，求证：CE=CF；(2)如图1，作EG∥AB交BC于点G,若AD=a,△EFG为等腰三角形，求AC（含a的代数式表示）；(3)如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，探索BM与CF的数量关系．【答案】（1）①=；②见解析；（2）2a；（3）见解析【分析】(1)①根据三角形内角和定理得出∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，推出即可；②根据三角形外角性质求出∠CFE=∠CEF，根据等腰三角形判定推出即可；(2)根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠ACD=∠CAF=∠BAF，得出3∠ACD=90°，求出∠ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；(3)过E作EH⊥AC于H，求出EH=DE=MN，证△CHE≌△BNM，推出BM=CE即可．【详解】解：①∠ACD=∠B，理由是：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠B，故答案为=②证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF，∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠CEF=∠ACD+∠CAF，∵∠B=∠ACD，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF；(2)解：∵△EFG是等腰三角形，∴∠FEG=∠FGE，∵EG∥AB，∴∠FEG=∠BAF，∠FGE=∠B，∵∠B=∠ACD，∴∠ACD=∠CAF=∠BAF，∵∠CDA=90°，∴3∠ACD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=2AD=2a．(3)解：BM=CF，理由是：过E作EH⊥AC于H，∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，∴EH=ED=MN，∵EH⊥AC，MN⊥AB，∴∠CHE=∠BNM=90°，在△CHE和△BNM中∴△CHE≌△BNM(AAS)，∴BM=CE，∵CE=CF，∴BM=CF．【点睛】本题考查了角平分线性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．7．（2022·陕西安康·八年级期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，，则与的数量关系为____________．（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接．①求的度数；②证明：【答案】（1）；（2）①，②见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE；（2）①首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可，②根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可．【详解】解：（1），∵∠BAC＝∠DAE＝50°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（2）①解：∵，∴在和△中，∴△≌△，∴，CD=CE，∵，

∴，∴，∴，∴，②证明．∵由（2）可知，∴∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，解题的关键是在判定三角形全等时，注意选择恰当的判定条件．8．（2022·陕西咸阳·八年级期中）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．(1)求证：点在的垂直平分线上；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质可得，，进而证得结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，再根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出的度数．（1）∵在中，，是边上的中线，∴，，∴是的垂直平分线．∵点在上，∴．∵垂直平分，∴，∴，∴点在的垂直平分线上．（2）∵，是边上的中线，，∴，∴，∵∴．∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解本题的关键．题型二：等边三角形的性质一、单选题1．（2022·河南洛阳·八年级期末）所谓全等图形是能够完全重合的图形．下列哪些不是全等图形（）A．两条射线 B．两条直线C．两个等边三角形 D．两条长度相等的线段【答案】C【分析】全等图形是能够完全重合的图形，根据全等图形的定义对A、B、D进行判断；根据等边三角形的性质和全等图形的定义对C进行判断．【详解】解：两条射线可以完全重合，则两条射线是全等图形，所以A不符合题意；两条直线可以完全重合，则两条直线是全等图形，所以B不符合题意；两个等边三角形不一定完全重合，则两个等边三角形不一定是全等图形，只有边长相等的两个等边三角形全等，所以C符合题意；两条长度相等的线段可以完全重合，则两条长度相等的线段是全等图形，所以D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形的定义，等边三角形的性质：等边三角形的三边相等，三个内角都相等，且都等于60°．2．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据等边三角形的三线合一可得，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：为等边三角形，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．二、填空题3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线两两相交于点A，B，C，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，过点D作//交直线于点E，当时，则___________．【答案】40°或100°【分析】分两种情况，当点D在点C左边时，当点D在点C右边时，根据平行线的性质和三角形外角性质可得答案；【详解】解：当点D在点C左边时，是等边三角形，，，，，；当点D在点C右边时，是等边三角形，，，，，，故答案为：或．【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质，能够正确进行分类讨论是解题关键．三、解答题4．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．(1)求证：AEBC；(2)点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形CDE，使得E、A在直线DC的两侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断．【答案】(1)见解析(2)平行，见解析【分析】（1）根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，即可证明∠EAC=∠ABC=∠ACB=60°，可得结论；（2）根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，即可证明∠EAC=∠ABC=∠ACB=60°，可得结论；（1）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，即∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，∴AEBC；（2）解：还成立，理由如下：如图，∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠DCA=∠ECD+∠DCA，即∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，∴AEBC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形性质，关键是证明△ACE≌△BCD是解题的关键．5．（2021·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF(1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）【答案】(1)AE+BF＝AB，证明见解析(2)BF﹣AE＝AB(3)AE﹣BF＝AB【分析】（1）AE+BF=AB，可证明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论；（2）BF-AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论；（3）AE-BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论．（1）AE+BF＝AB，如图1，∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°．∴∠ACD＝∠BCF，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴AD＝BF同理：△CBD≌△CAE（SAS）∴BD＝AE∴AE+BF＝BD+AD＝AB；（2）BF﹣AE＝AB，如图2，同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD＝BF，BD＝AE，∴BF﹣AE＝AD﹣BD＝AB；（3）AE﹣BF＝AB，如图3，同理可得：△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD＝BF，BD＝AE，∴AE﹣BF＝BD﹣AD＝AB．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用类比思想，在变化中发现不变是解决问题的关键．6．（2021·福建·莆田第七中学八年级期中）（1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF；（2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE.

【分析】（1）根据∠DEM=∠B+∠BDE，∠B=∠DEF，可得∠BDE=∠MEF，利用AAS即可证明；（2）延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，根据BE=BN，可得∠BNE=∠BEN，即有∠BNE=∠BEN=30°，进而得∠C=∠BNE，根据∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE；根据△DEF是等边三角形，可得DE=EF，∠DEF=60°，即有∠CEF=∠BDE，利用AAS即可证明，则有EC=DN，即可得EC=BD+BE．【详解】（1）证明：∵B、E、M三点共线，∴∠DEM=∠B+∠BDE，∴∠DEF+∠MEF=∠B+∠BDE，∵∠B=∠DEF=∠M，∴∠BDE=∠MEF，∵DE=EF，∠B=∠M，∴；（2）证明：延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，如图，∵BE=BN，∴∠BNE=∠BEN，∵∠BNE+∠BEN=∠DBE=60°，∴∠BNE=∠BEN=30°，∵∠C=30°，∴∠C=∠BNE，∵B、E、C三点共线，∴∠DEC=∠DBE+∠BDE，∴∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE，∵△DEF是等边三角形，∴DE=EF，∠DEF=60°，∵∠DBE=60°，∴∠DBE=60°=∠DEF，∴∠CEF=∠BDE，∵∠C=∠BNE，DE=EF，∴，∴EC=DN，∵BE=BN，DN=BN+BD，∴EC=BD+BE，得证．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及其性质，构造辅助线BN是解答本题的关键．7．（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．(1)求证：AE＝BD；(2)求证：MNAB．(3)设AE和DB的交点为F，连FC，求证：FC平分∠AFB．【分析】（1）由等边三角形的性质，结合条件可证明△ACE≌△DCB，则可证得；（2）利用（1）的结论，结合等边三角形的性质可证明，得出，则可判定为等边三角形，然后根据等边三角形的性质及角之间的关系可得，根据内错角相等，两直线平行即可证明．（3）作CP⊥AE，交AE于P点，作CQ⊥DB，交BD于点Q，根据（1）中已证得△ACE≌△DCB，可知，即有，进而有PC＝CQ，即可作答．（1）∵和是等边三角形，∴，，，∴，即，在与中，∴（SAS），∴；（2）∵由（1）得，，∴，∵，而A、C、B三点共线，∴，在与中，∴（ASA），∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∵A、C、B三点共线，∴．（3）作CP⊥AE，交AE于P点，作CQ⊥DB，交BD于点Q，如图，∵△ACE≌△DCB，∴，∴，∴PC＝CQ，∴FC平分∠AFB，得证．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．考点二：等腰三角形的判定定理题型三：格点图中的等腰三角形一、单选题1．（2022·山东菏泽·八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．二、解答题2．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，在所给的6×6方格中，点A，B，P都在小方格的格点上，按下列要求画图，所画的点都必须落在方格纸的格点上．（1）请画出两个等腰直角三角形ABC，使点P在△ABC内部（分别在图1、2中画出示意图，不能重复）．（2）请画一个等腰三角形ABC，使点P落在△ABC的对称轴上（在图3中画出示意图）．【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质画出图像即可；（2）利用等腰三角形的性质画出图形即可；【详解】解：（1）如图，图1，图2中，△ABC即为所求；（2）如图，△ABC，即为所求．【点睛】本题考查作图—应用与设计，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用数形结合思想解决问题．3．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级期中）如图，是由边长为1的小正方形拼成的3×3网格．（1）在图1中，找格点C、D，使得CD⊥AB（找出一条即可）；（2）在图2中，找格点P使得△PAB为等腰三角形（标记出所有符合条件的P点）【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质解答即可；（2）根据等腰三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）如图，点C、D即为所求作的点，（2）如图，点P1、P2、P3、P4、P5即为所求作的点．【点睛】本题考查作等腰三角形、作垂线，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的应用是解答的关键．4．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图，在下列网格中，每个小正方形的边长均为一个单位，小正方形的顶点称为网格的格点．（1）图1为8×6网格，点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边，点C在格点上，面积为9的等腰ACB，此时∠ABC=．（2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3…)【答案】（1）画图见详解，45°；（2）见详解【分析】（1）根据面积为9的等腰ACB，AB=6，即可作出等腰ACB，进而即可求解；（2）根据等腰三角形的定义，分AB为腰，AB为底，找出第三个顶点位置，即可．【详解】解：（1）如图1所示：此时ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°，故答案是：45°；（2）如图所示：【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握分类讨论思想方法，熟悉网格的结构特征是解题的关键．5．（2022·江苏盐城·八年级期中）勤于思考的小明同学提出如下问题：如图，不用尺规作图，利用正方形网格线画出∠ABC的角平分线（点A、B、C都在格点上）．请你帮助小明画出角平分线并说明理由．【分析】设每个小正方形边长为1，由图可知：BD=5，BA=，可得BA=BD，，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．【详解】如图中，线段BF即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型四：找出图中的等腰三角形一、单选题1．（2021·湖北·荆州市荆南中学八年级期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形．【详解】解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD与△BAC是等腰三角形，在△ABD与△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠D＝∠C＝72°，∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，∴∠DAE＝∠CBE＝36°，∴∠AED＝∠BEC＝72°，∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，∴△ADE和△BCE是等腰三角形，∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE≌△BCE（AAS），∴AE＝BE，∴△ABE是等腰三角形，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．2．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．【详解】解：如图所示：以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法．二、填空题3．（2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形__．【答案】△ABD，△BDC，△ABC．【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．【详解】∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC为等腰三角形，∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD为等腰三角形．故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．4．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA为底，可能OA为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．三、解答题5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．（1）求证：AB+BE=CD．（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠EDC．在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AB=DE，∴DE+BE=BD，∵BD=CD，∴AB+BE=CD；（2）∵△ABD≌△EDC，∴AD=EC，∵AD=BC，BD=CD，∴AD=BC=EC，∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．6．（2021·全国·八年级课时练习）如图，．分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．【答案】；图中的等腰三角形有【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质求解即可，根据等角对等边即可找到相等的边，进而证明等腰三角形．【详解】，在中，，是的一个外角，，，，，，是等腰三角形，，，是等腰三角形，，，，是等腰三角形．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．7．（2021·湖北武汉·八年级期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有个等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BE＝CD．（2）图中共有5个等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．题型五：根据等角对等边证明等腰三角形一、单选题1．（2022·陕西渭南·八年级期中）下列条件能判定为等腰三角形的是（

）A．， B．，，C．， D．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理结合等腰三角形的判定对A、C、D进行判断；根据等腰三角形的定义对B进行判断．【详解】解：A、当∠A＝30°，∠B＝60°时，∠C＝90°，△ABC不是等腰三角形，不符合题意；B、AB≠AC≠BC，△ABC不是等腰三角形，不符合题意；C、当A＝50°，∠B＝80°时，∠C＝50°，△ABC是等腰三角形，符合题意D、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，三个内角互不相等，△ABC不是等腰三角形，不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理以及等角对等边．2．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且．下列四个结论：①；②；③；④△AEC是等腰直角三角形．你认为正确的序号是（

）A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】①根据AD⊥BC，若∠ABC=45°则∠BAD=45°，而∠BAC=45°，很明显不成立；②③可以通过证明△AEH与△CEB全等得到；④CE⊥AB，∠BAC=45°，所以是等腰直角三角形．【详解】解：①∵CE⊥AB，EH＝EB，∴∠EBH＝45°，∴∠ABC＞45°，故①错误；∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，∴AE＝EC，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（SAS），∴AH＝BC，故选项②正确；又EC＝EH＋CH，∴AE＝BE＋CH，故选项③正确．∵AE＝CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故选项④正确．∴②③④正确．故选：C．【点睛】本题主要利用全等三角形的对应边相等进行证明，找出相等的对应边后，注意线段之间的和差关系．掌握等腰直角三角形的判定二、解答题3．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；（2）证明∠EAD＝∠ADE即可证明AE＝DE．(1)证明：在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS）；(2)证明：∵△ADB≌△ADC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．4．（2022·河南南阳·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．【分析】（1）由AB=AC，∠A=100°求出∠ABC=∠C=40°，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC=∠ABC=20°，根据BD=BE求出∠BED=∠BDE=80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC=40°，则∠EDC=∠C，从而证明ED=EC，即△CED是等腰三角形；（2）在BE上截取BF=BA，连结DF，先证明△FBD≌△ABD，则FD=AD，∠BFD=∠A=100°，可证明∠EFD=∠FED=80°，则AD=FD=ED=EC，即可证明BD+AD=BE+EC=BC．(1)∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=×（180°-100°）=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=20°，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=×（180°-20°）=80°，∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴△CED是等腰三角形．(2)如图，在边上取点，使，在和中∵∴∴，，∴，∴∴∴∴．【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，已知，(1)求证：；(2)若平分，求证：是等腰三角形．【分析】（1）根据，可得∠A＝∠D，利用SAS证明△ABE≌△DCF即可得出结论；（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，进而可得∠BEF＝∠CFE，然后利用角平分线的定义等量代换后可得∠BEF＝∠BFE，求出BE＝BF可得结论．（1）证明：∵，∴∠A＝∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝CF；（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠CFE＝180°－∠DFC，∴∠BEF＝∠CFE，又∵平分，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）先根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得．（1）证明：∵AE//BC，，，为的外角平分线上的一点，，，，是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．题型六：根据等角对等边证明边相等一、单选题1．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，是的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则的度数为（）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】C【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=95°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．【详解】解：∵∠ABC=35°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-35°-50°=95°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABF=∠EBF，∵BD⊥AE，∴∠AFB=∠EFB=90°，∴∠BAF=∠BEF，∴AB=BE，在△BDA和△BDE中，∵AB=AE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CED=180°-95°=85°．故选：C【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2021·湖北咸宁·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F，∠CBD，∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．有下列结论：①△ABD≌△CBG；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG．其中，正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据已知条件无法证明△ABD≌△CBG，①不正确；证明△ABD≌△CAE，可得∠CAE＝∠ABD，然后求出∠GEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠FBE，根据三角形外角的性质可得∠BGE＝30°，②正确；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，证明Rt△GFJ≌Rt△GFT，求出∠GFJ＝∠GFT＝60°，进而可得∠BGF＝60°－∠FBG，∠ABG＝60°－∠CBG，可得③正确；证明△GJF≌△GKC，得到GF＝GC，然后再证∠AHG＝∠AGH求出AH＝AG即可判断④正确．【详解】解：∵∠C＝∠BAD＝60°，BC＝AB，根据已知条件无法得出CG＝AD或其它对应角相等，∴无法得出△ABD≌△CBG，①不正确；∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BFE＝∠BAE＋∠ABD，∴∠BFE＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAC＝60°，∵∠AEC＝∠EBF＋∠BFE，∴∠AEC＝∠FBE＋60°，∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE，∵∠GEC＝∠GBE＋∠BGE，∴∠BGE＝30°，故②正确；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，∵BG平分∠DBC，EG平分∠AEC，∴GT＝GK＝GJ，∠FBG＝∠CBG，∵∠GJF＝∠GTF＝90°，GF＝GF，∴Rt△GFJ≌Rt△GFT（HL），∴∠GFJ＝∠GFT，∵∠BFE＝60°，∴∠GFJ＝∠GFT＝60°，∴∠BFG＝120°，∴∠BGF＝180°－120°－∠FBG＝60°－∠FBG，∵∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝60°－∠CBG，且∠FBG＝∠CBG，∴∠ABG＝∠BGF，故③正确；∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，GJ＝GK，∴△GJF≌△GKC（AAS），∴GF＝GC，∵∠BAH＋∠EAC＝∠EAC＋∠AGF＝60°，∴∠BAH＝∠AGF，∵∠AHG＝∠ABG＋∠BAH，∠AGH＝∠BGF＋∠AGF，∠ABG＝∠BGF，∴∠AHG＝∠AGH，∴AH＝AG，∴AH＋GF＝AG＋GC＝AC＝AB，∴AB＝AH＋FG，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．二、填空题3．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AC、BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的F点，若CD=4，CE=3，DE=5，则AB的长为_____________．【答案】【分析】连接交于，由已知，由三角形面积公式可求，由折叠的性质可求，由等腰三角形的判定可得，即可求的长．【详解】解：如图，连接交于，将沿折叠，点恰好落在上的处，，，，，，，，，，，，且，，，，同理可求：，，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定，证明是本题的关键．4．（2022·湖南·华容县教育科学研究室八年级期末）如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为等边三角形．恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上)．【答案】①②③⑤【分析】根据等边三角形的性质，证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；然后利用ASA证明△CQB≌△CPA，得到CQ＝CP，则△PCQ为等边三角形，⑤正确；然后求出∠CPQ＝∠ACP＝60°，可得PQ∥AE，②正确；根据∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，可知DC≠DP，则DE≠DP，④错误；连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，根据S△BCE＝S△ACD可得CM＝CN，进而可得OC平分∠AOE，③正确．【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；∵∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCQ＝60°，即∠BCQ＝∠ACP＝60°，又∵AC＝BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CQ＝CP，∴△PCQ为等边三角形，⑤正确；∴∠CPQ＝60°，∴∠CPQ＝∠ACP，∴PQ//AE，②正确；∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，∴DC≠DP，∴DE≠DP，④错误；连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△BCE≌△ACD，∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，∴×BE×CM＝×AD×CN，∴CM＝CN，∴OC平分∠AOE，③正确；故正确的有①②③⑤，故答案为：①②③⑤【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等角对等边，角平分线的性质等知识，熟练应用全等三角形的判定和性质是正确解答本题的关键．三、解答题5．（2022·江西鹰潭·八年级期中）如图，将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位得到直角梯形EFGH，已知BC=6，∠A=90°，∠C=45°，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积为10．【分析】根据平移的性质得AE=BF=2，BC=FG=6，由于S阴影部分+S梯形EBOH=S梯形EBOH+S梯形BFGO，所以S阴影部分=S梯形BFGO，然后根据梯形的面积公式计算．【详解】解：如图所示：由平移的性质得AE=BF=2，BC=FG=6，∠C=∠G=45°，∵S阴影部分+S梯形EBOH=S梯形EBOH+S梯形BFGO，∴S阴影部分=S梯形BFGO，过O作OQ⊥FG于Q，在Rt△OQG中，∠G=45°，∴OQ=QG=BF=2，∴BO=FG-OG=6-2=4，∴S阴影部分=S梯形BFGO=×(6+4)×2=10，故阴影部分的面积为：10．【点睛】本题考查了直角梯形，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．6．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知：如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，且，BD与CE相交于点O．求证：．【分析】由等腰三角形的性质证明,因为，所以，由等角对等边，即可解决问题．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质证明是解题的关键．7．（2022·全国·八年级专题练习）如图，AD，BC相交于点O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据∠OAB＝∠OBA可得OA=OB，再通过AAS即可进行证明．【详解】证明：∵∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS）【点睛】本题主要考查了用AAS证明三角形的全等，通过∠OAB＝∠OBA得到OA=OB是解题的关键．8．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBG＝∠ABH－∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AF＝BH；（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．9．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．(1)如图1，，求证：；(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质由得到BE平分，则可求出，再由得到，利用外角的性质求出，最后利用等角对等边即可证明；（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到是等边三角形，利用边角边证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．（1）证明：∵是等边三角形，，∴BE平分，．∵，∴，，∴，∴；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，则，，∴是等边三角形．∵，∴，∴，即．∵是的外角，是的外角，∴，在和中，，∴．∴．【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定以及外角的性质等，解题的关键是要熟练掌握相关的性质和判定定理，并能够在图中作出适当的辅助线解决问题．题型七：根据等角对等边求边长一、单选题1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质卡得，进而即可求解．【详解】解：∵分别平分，∴，DE∥BC，，，，AB＝9，AC＝7，，△ADE的周长为，．故选D【点睛】本题考查了三角形角平分线的意义，平行线的性质，等角对等边，掌握等角对等边是解题的关键．二、填空题2．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，则BE长为_________．【答案】8【分析】先根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，同样的方法可得，然后根据线段和差可得，由此即可得．【详解】解：平分，BD平分∠ABC，，∠ABD=∠CBD，，，∠EDB=∠CBD，，∠ABD=∠EDB，，BE=DE，，，，故答案为：8．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．3．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是__________海里．【答案】50【分析】由题意可知AB的距离，再根据三角形外角的性质得出∠C的度数，最后根据等角对等边即可求出答案．【详解】解：由题可知：(海里)，∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，∴∠C=∠NBC−∠NAC=84°−42°=42∘，∴BC=AB=50(海里)，即从B处到灯塔C的距离为50海里．故答案为：50

．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质定理，利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是结合图形，再利用数学知识来求解．4．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DEAB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，求得是解题的关键．三、解答题5．（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）【答案】(1)3；(2)12；(3)【分析】（1）依题意可证，从而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得问题的解；（2）延长CG，AB交于点H，可证，从而AH=AC，HG=GC，又，，，由问题可解；（3）在AC上取一点N，使得AN=AB，从而，所以BD=DN=NC=n-m，从而由求得DC的长．(1)解：，，∵为的角平分线，，，，，，故答案为：3；(2)解：延长CG，AB交于点H，由（1）知，，，，，，故答案为：12；(3)解：在AC上取一点N，使得AN=AB,(SAS),,，,,,，由角平分线的性质得：点D到AB，AC的距离相等，，又，，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．6．（2022·吉林延边·八年级期末）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．【答案】（1）70°；（2）15km/h【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，∴BC=AB=75km，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．题型八：直线上与已知两点组成等腰三角形的点一、单选题1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】C【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．【详解】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当P与B重合时，△APC为等腰三角形；当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；当BD=BP时，△BDP是等腰三角形，这时有2个；综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．2．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．则符合条件的点共有5个，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．3．（2021·全国·八年级专题练习）如图，是某生产线的横截面示意图，MN表示长度为20米的笔直传送带，在MN的中点正上方3米处，有一个专用消毒喷头，（喷头大小、长度均忽略不计），喷头位置用点p表示，此时MN上有一个边长为2米的正方形盒子ABCD，则在盒子随传送带从点M移动到点N的过程中，以C、D、P三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质分情况讨论即可．【详解】解：∵四边形为正方形∴，∵，在中点，∴，∴①当正方形在上，时，为等腰三角形；②当正方形在上，时，为等腰三角形；③当过正方形边中点上时，，为等腰三角形；④当正方形在上，时，为等腰三角形；⑤当正方形在上，时，为等腰三角形；综上所述，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有5个．故选：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正确理解题意、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：如图，∵△MNP是等腰三角形，∴符合条件的点P的个数有4个，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，找出符合条件的点P的个数是解题的关键．5．（2022·福建三明·八年级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为和，在坐标轴上确定一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（

）个A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有8个，故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．二、解答题6．（2021·辽宁大连·八年级期末）图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B（0，2），连接AB，AO．（1）坐标系中有点C，使得△COB≌△AOB；①在坐标系中画出△BOC；②点C坐标为；（2）若x轴上有点D，使得△ABD是以AB为腰的等腰三角形，则点D的坐标为（写出一个结果即可）．【答案】（1）①见解析图；②（-4，4）；（2）（0，4）（答案不唯一，符合题意即可）【分析】（1）①要使得△COB≌△AOB，直接将A点沿y轴对称至左侧，连接BC和OC即可；②A，C关于y轴对称，即可写出坐标；（2）以B为圆心，BA为半径作圆弧，与x轴交于D点即为所求，再根据全等得出坐标．【详解】1）①如图所示；②A，C关于y轴对称，故答案为：（-4，4）；（2）如图，以B为圆心，BA为半径作圆弧，与x轴交于D点即为所求，作AE⊥y轴，此时显然△ABE≌△DBO，则OD=EA=4，∴此时D的坐标为（0，4），故答案为：（0，4）答案不唯一，符合题意即可．【点睛】本题考查全等三角形的作图，以及等腰三角形的性质，理解基本性质是解题关键．7．（2020·山东临沂·八年级期中）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．（1）求证：；（2）求的度数；（3）当为多少度时，是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）或或【分析】（1）利用等边三角形的性质，根据证明，即可证明；（2）先根据得，再根据等边三角形的定义和周角的定义可得和的度数，最后根据三角形的内角和定理可得结论；（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，和都是等边三角形，，，，，在和中，，，；（2）解：，，是等边三角形，，，，，中，；（3）解：由（2）知：，，，①当时，是等腰三角形，，即，解得：；②当时，是等腰三角形，，即，解得：；③当时，是等腰三角形，，即，解得：；综上，当为或或时，是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（2020·浙江·杭州采荷实验学校八年级期中）如图，在中，，，动点P从C出发，按照的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为．（1）BC边上的高为________；AB边上的高为________．（2）当时，求t的值；（3）若是等腰三角形，求出满足条件t的值．【答案】（1），；（2）；（3）3.9或5或【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据S△ABC=•BC•AH=•AC•BD求解即可．（2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得AP=AD，求出AD即可解决问题．（3）分三种情形：①CA=CP，②CA=AP，③AP=PC，由等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可．【详解】解：（1）如图1中，作于．，，，，，边上的高为，AC边上的高为9.6cm，∴AB边上的高为9.6cm，故答案为：，；（2）证明：如图2中，，，，，，，，．（3）分三种情况：①如图3，当时，点在上，过点作于点，，，由（2）可知，，，．②如图4，当时，点与点重合，，，③如图5，当时，点在上，过点作于．，，，由（1）可知：，点在上，，，，．综上所述，满足条件的的值为3.9或5或．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．题型九：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点一、单选题1．（2022·全国·八年级）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【详解】作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP；以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP；以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA；综上所述：符合条件的点P共有6个．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．二、填空题2．（2022·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为__________．【答案】或50°或【分析】分三种情形分别求解即可.【详解】中，∵，，∴∠BAC=40º，如图，为等腰三角形有三种情形：①当时，∵，∠BAC=40º，∴=，∴=；②当时，，∴；③当时，∵，∠BAC=40º，∴，∴=；故答案为：或50°或【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题3．（2022·山东聊城·八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.【答