2023-2024学年吉林省长春108中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春108中七年级（下）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知方程组：，则x+2y的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．33．（3分）如图，∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝44°，∠CBD＝80°，则∠C的度数是（）A．46° B．44° C．36° D．26°4．（3分）一个多边形的内角和等于2160°，则这个多边形是（）A．八边形 B．十边形 C．十一边形 D．十四边形5．（3分）若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为（）A．9 B．14 C．18 D．226．（3分）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（）A． B． C． D．7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢四十定，共卖价钞六百八．四定绢价九十贯，三定布价该五十，欲问绢布各几何？价钞各该分端．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x定，布y定，依据题意可列方程组为（）A． B． C． D．8．（3分）已知．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则方程的解可能是（）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）把方程3x+y＝17改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝．10．（3分）已知x满足2（x﹣3）≤x﹣2，则x的最大值为．11．（3分）将一副直角三角尺如图放置，则∠1的大小为度．12．（3分）如图是一个正多边形的玻璃碎片，这个正多边形的边数为．13．（3分）如图，是△ABC中，点D为边BC上任意一点（点D不与点B、点C重合），点E、F分别是线段AD、CE的中点，连结BE、BF．若△ABC的面积为8，则△BEF的面积为．14．（3分）已知AD是△ABC的高，∠DAB＝45°，∠DAC＝34°，则∠BAC＝．三、解答题（10小题，共78分）15．（8分）（1）解方程：3（x﹣2）﹣（1﹣2x）＝3；（2）解不等式：2（5x﹣3）≤x﹣3（1﹣2x），并将解集在数轴上表示出来．16．（8分）（1）解方程组：．（2）解不等式组：，并整理出它的负整数解．17．（6分）阅读下面的解题过程，再解题．已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．解：因为a＞b①，所以﹣2024a＞﹣2024b②，所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．问：（1）上述解题过程中，从第步开始出现错误；（2）错误的原因．（3）请写出正确的解题过程．18．（6分）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为90°．（1）求这个正多边形的边数；（2）如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．19．（6分）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹．（1）在图①中画出△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′；（2）在图②中画出△ABC的中线AD．（3）求出图③△ABC的面积．20．（7分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？21．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝110°，AE是∠BAC的平分线，作BC边上的高AD交BC延长线于点D，求∠DAE的度数．22．（8分）【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（），∴∠ABC+∠ACB＝（等式性质）．∵∠A＝80°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝．∴＝（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D＝（）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝145°，则∠A＝（）．23．（10分）【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足5x﹣y＝6……①，4x+2y＝7……②，求x﹣3y和13x+3y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①﹣②可x﹣3y＝﹣1，由①+②×2可得13x+3y＝20．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．【解决问题】（1）已知二元一次方程组，求x﹣y和x+y的值；（2）初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝16，4*8＝30，求2*2的值．24．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．点P从点B出发，沿BC边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后立即以每秒2个单位长度的速度返回点B，点P运动的时间为t秒．（1）点P返回点B时，共耗时秒；（2）当t＝5时，求BP的长；（3）当点P到达点C之前，求△ACP的面积（用含t的代数式表示）；（4）当△ABP是等腰三角形时，直接写出t的值．

2023-2024学年吉林省长春108中七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；选项C中的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，故选：C．2．（3分）已知方程组：，则x+2y的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．3【分析】利用加减消元法解方程组，得到x和y的值，代入x+2y，计算求值即可．【解答】解：，①+②得：3x＝0，解得：x＝0，把x＝0代入①得：y＝1，即原方程组的解为：，x+2y＝0+2＝2，故选：A．3．（3分）如图，∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝44°，∠CBD＝80°，则∠C的度数是（）A．46° B．44° C．36° D．26°【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．【解答】解：∵∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝44°，∠CBD＝80°，∴∠CBD＝∠A+∠C，∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝36°．故选：C．4．（3分）一个多边形的内角和等于2160°，则这个多边形是（）A．八边形 B．十边形 C．十一边形 D．十四边形【分析】多边形的内角和公式是（n﹣2）×180°，知道边数可代入n求内角和，反过来，知道内角和，代入可求相应的边数．【解答】解：设这是一个n边形，∵（n﹣2）×180°＝2160°，∴n＝14．故选：D．5．（3分）若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为（）A．9 B．14 C．18 D．22【分析】设该三角形的第三边长为x，根据三角形的三边关系得出x的范围，进而得出结论．【解答】解：设该三角形的第三边长为x，周长为C，根据三角形的三边关系，得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11，则周长C的取值范围是：14＜C＜22．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．6．（3分）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．【解答】解：A、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；B、利用了“三角形稳定性”，符合题意；C、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；D、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；故选：B．7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢四十定，共卖价钞六百八．四定绢价九十贯，三定布价该五十，欲问绢布各几何？价钞各该分端．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x定，布y定，依据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】设有绢x定，布y定，依据“有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯”列出方程组，此题得解．【解答】解：设有绢x定，布y定，依据题意可列方程组为．故选：A．8．（3分）已知．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则方程的解可能是（）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05【分析】由题意可以断定是一次函数，又因为当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．根据一次函数图象的增减性可以知道直线与x轴的交点在（1.5，0）、（1.8，0）之间，从而得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间．【解答】解：由题意可以断定是一次函数，∵当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0；∴y＝0时，x的取值范围是1.5＜x＜1.8；故选：B．二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）把方程3x+y＝17改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝﹣3x+17．【分析】通过移项即可求解．【解答】解：3x+y＝17，y＝﹣3x+17，故答案为：﹣3x+17．10．（3分）已知x满足2（x﹣3）≤x﹣2，则x的最大值为4．【分析】根据不等式的一般步骤计算即可．【解答】解：2（x﹣3）≤x﹣2，去括号，得2x﹣6≤x﹣2，解得：x≤4．所以x的最大值为4．故答案为：4．11．（3分）将一副直角三角尺如图放置，则∠1的大小为105度．【分析】由题意可得∠A＝30°，∠B＝45°，由三角形的外角性质可求得∠BDC＝75°，再由平角的定义即可求∠1的度数．【解答】解：如图，由题意得：∠A＝30°，∠B＝45°，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠B＝75°，∴∠1＝180°﹣∠BDC＝105°．故答案为：105．12．（3分）如图是一个正多边形的玻璃碎片，这个正多边形的边数为5．【分析】补全面图形，可得结论．【解答】解：如图，这个多边形是正五边形．故答案为：5．13．（3分）如图，是△ABC中，点D为边BC上任意一点（点D不与点B、点C重合），点E、F分别是线段AD、CE的中点，连结BE、BF．若△ABC的面积为8，则△BEF的面积为2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△BCE＝S△ABC＝×8＝4，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2．故答案为：2．14．（3分）已知AD是△ABC的高，∠DAB＝45°，∠DAC＝34°，则∠BAC＝79°或11°．【分析】此题分情况讨论：①当高在△ABC内部；②当高在△ABC外部，分别对每一种情况画图，再结合图计算即可．【解答】解：①当高在△ABC内部，如图∵∠DAB＝45°，∠DAC＝34°，∴∠BAC＝45°+34°＝79°；②当高在△ABC外部，如图∵∠DAB＝45°，∠DAC＝34°，∴∠BAC＝45°﹣34°＝11°．故∠BAC＝79°或11°．故答案为：79°或11°．三、解答题（10小题，共78分）15．（8分）（1）解方程：3（x﹣2）﹣（1﹣2x）＝3；（2）解不等式：2（5x﹣3）≤x﹣3（1﹣2x），并将解集在数轴上表示出来．【分析】（1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：（1）∵3（x﹣2）﹣（1﹣2x）＝3，∴3x﹣6﹣1+2x＝3，3x+2x＝3+6+1，5x＝10，则x＝2；（2）∵2（5x﹣3）≤x﹣3（1﹣2x），∴10x﹣6≤x﹣3+6x，10x﹣x﹣6x≤﹣3+6，3x≤3，则x≤1，将解集表示在数轴上如下：16．（8分）（1）解方程组：．（2）解不等式组：，并整理出它的负整数解．【分析】（1）方程x﹣y＝﹣5变形得2x﹣2y＝﹣10，再运用加减消元法解答即可；（2）先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后确定不等式组的负整数解即可．【解答】解：（1），①×2得2x﹣2y＝﹣10③，②+③得5x＝0，解得x＝0，把x＝0代入①得0﹣y＝﹣5，解得y＝5，∴方程组的解为；（2），解①得x≥﹣1，解②得x＜1，则解不等式组的解集为﹣1≤x＜1，∴它的负整数解为﹣1．17．（6分）阅读下面的解题过程，再解题．已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．解：因为a＞b①，所以﹣2024a＞﹣2024b②，所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．问：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误；（2）错误的原因不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变．（3）请写出正确的解题过程．【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误；（2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；（3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．【解答】解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误，故答案为：②；（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；（3）∵a＞b，∴﹣2024a＜﹣2024b，∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1；18．（6分）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为90°．（1）求这个正多边形的边数；（2）如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．【分析】（1）设这个内角为x°，则其外角为（x﹣90）°，根据邻补角互补列出方程求出这个内角的度数，得到相邻的外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解；（2）根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．【解答】解：（1）设这个内角为x°，则其外角为（x﹣90）°，x+（x﹣90）＝180，解得x＝135，则其外角为135°﹣90°＝45°，∴这个正多边形的边数为360°÷45°＝8；（2）∵135°×2+90°＝360°，∴这个正多边形为正方形，∴这个正多边形的边数为4．19．（6分）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹．（1）在图①中画出△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′；（2）在图②中画出△ABC的中线AD．（3）求出图③△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）取BC的中点D，连接AD即可．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图①，△A′B′C′即为所求．（2）如图②，AD即为所求．（3）△ABC的面积为＝6﹣2﹣1＝3．20．（7分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值为40．答：该校最多可以购买甲种书40本．21．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝110°，AE是∠BAC的平分线，作BC边上的高AD交BC延长线于点D，求∠DAE的度数．【分析】首先根据∠B＝36°，∠ACB＝110°，应用三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数；然后在Rt△ABD中，求出∠BAD的度数；最后根据AE是∠BAC的平分线，求出∠BAE的度数，进而求出∠DAE的度数即可．【解答】解：在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝110°，∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝34°，∵AD是BC边上的高，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝17°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝54°﹣17°＝37°．22．（8分）【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝80°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝100°（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝50°（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D＝（90°+）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝145°，则∠A＝（40°）．【分析】（1）由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，从而求得∠ABC+∠ACB＝100°，再角平分线的定义可得，，再次利用三角形的内角和可求∠D的度数；（2）仿照（1）即可求解；（3）结合（1）的过程，不难求∠A的度数．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝80°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝100°（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝50°（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°（等式性质）．故答案为：三角形的内角和定理；180°﹣∠A；100°；∠ACB；50°；130°；（2）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝α（已知），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝90°﹣（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+；故答案为：90°+；（3）∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB，∴∠CBD＝∠CBA，∠BCD＝∠BCA，∠CBE＝∠CBD，∠BCE＝∠BCD，∴∠CBA，∠BCE＝∠BCA，∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠E＝145°，∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝35°，∴∠CBE+∠BCE＝∠CBA+∠BCA＝35°，∴∠CBA+∠BCA＝140°，∵∠CBA+∠BCA+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠CBA+∠BCA）＝40°．故答案为：40°．23．（10分）【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足5x﹣y＝6……①，4x+2y＝7……②，求x﹣3y和13x+3y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①﹣②可x﹣3y＝﹣1，由①+②×2可得13x+3y＝20．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．【解决问题】（1）已知二元一次方程组，求x﹣y和x+y的值；（2）初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3