高考数学一轮复习 第五章 数列 分层限时跟踪练29-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(二十九)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】{an}为递增数列，则a1＞0时，q＞1；a1＜0时，0＜q＜1.q＞1时，若a1＜0，则{an}为递减数列．故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.【答案】D2．(2015·安徽六校联考)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)＝()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)【解析】由题意可知a4·a6＝6，且a4＋a6＝5，a6＜a4，解得a4＝3，a6＝2，所以eq\f(a5,a7)＝eq\f(a4,a6)＝eq\f(3,2).【答案】D3．(2015·大庆模拟)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则公比q为()A．－2 B．1C．－2或1 D．2或－1【解析】若q＝1时，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＝na1，Sn＋2＝(n＋2)a1，不满足Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，故q≠1，此时由2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2得eq\f(2a11－qn,1－q)＝eq\f(a11－qn＋1,1－q)＋eq\f(a11－qn＋2,1－q)，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2，故选A.【答案】A4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为()A．－1 B．0C．1 D．2【解析】依题意得，数列{an}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A.【答案】A5．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2【解析】∵a5·a2n－5＝aeq\o\al(2,n)＝22n，且an＞0，∴an＝2n，∵a2n－1＝22n－1，∴log2a2n－1＝2n∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝eq\f(n[1＋2n－1],2)＝n2.【答案】C二、填空题6．(2015·保定模拟)已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－8，a4＋a5＋a6＝1，则eq\f(a1,1－q)＝.【解析】∵eq\f(a4＋a5＋a6,a1＋a2＋a3)＝q3＝－eq\f(1,8)，∴q＝－eq\f(1,2)，把q＝－eq\f(1,2)代入a1＋a2＋a3＝－8.求得a1＝－eq\f(32,3)，∴eq\f(a1,1－q)＝－eq\f(64,9).【答案】－eq\f(64,9)7．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，则{an}的通项公式an＝.【解析】∵eq\f(S10,S5)＝eq\f(31,32)，∴eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,32)，∵S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，∴q5＝－eq\f(1,32)，q＝－eq\f(1,2)，则an＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，n∈N*.【答案】－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，n∈N*8．(2015·郑州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则eq\f(S6,S3)＝.【解析】∵27a3－a6＝0，即a6＝a3q3＝27a∴q3＝27，∴eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝eq\f(1－q6,1－q3)＝1＋q3＝1＋27＝28.【答案】28三、解答题9．(2015·四川高考)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，求Tn.【解】(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n).10．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是等比数列．【解】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以{bn}是以eq\f(5,4)为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝eq\f(5,4)·2n－1＝5·2n－3(n∈N*)．(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(\f(5,4)1－2n,1－2)＝5·2n－2－eq\f(5,4)，即Sn＋eq\f(5,4)＝5·2n－2.所以S1＋eq\f(5,4)＝eq\f(5,2)，eq\f(Sn＋1＋\f(5,4),Sn＋\f(5,4))＝eq\f(5·2n－1,5·2n－2)＝2.因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是以eq\f(5,2)为首项，2为公比的等比数列．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5 B．－eq\f(1,5)C．5 D.eq\f(1,5)【解析】根据已知得3an＝an＋1，∴数列{an}是等比数列且其公比为3，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝9×33＝35，∴logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝logeq\f(1,3)35＝－5.【答案】A2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝eq\f(bn＋1,bn)＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2016＝()A．92015 B．272015C．92016 D．272016【解析】由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n.∴c2016＝33×2016＝272016，故选D.【答案】D3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝eq\f(5,2)，a2＋a4＝eq\f(5,4)，则eq\f(Sn,an)＝.【解析】∵q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝eq\f(\f(5,4),\f(5,2))＝eq\f(1,2)，∴a1＋a3＝a1＋a1×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2)，解得a1＝2.∴an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(4,2n)，∴Sn＝eq\f(2×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))).∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),\f(4,2n))＝2n－1.【答案】2n－14．已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝(n∈N*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188【解析】由题意可知，当a1＝1或10时，不合题意；当a1＝2时，a2＝6，a3＝18合题意．即a1，a2，a3成首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，∴an＝2·3n－1(n∈N*)．【答案】2·3n－15．(2015·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1∵an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．6．已知首项为eq\f(3,2)的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．【解】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是递减数列且a1＝eq\f(3,2)，所以q＝－eq\f(1,2).故等比数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝(－1)n－1·eq\f(3,2n)(n∈N*)．(2)由(1)得Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)，n为奇数，,1－\f(1,2n)，n为偶数.))当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝eq\f(3,2)