高考数学大二轮复习 考前强化练7 解答题组合练C 文-人教版高三数学试题

考前强化练7解答题组合练C1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f(x)=32sin2x-cos2x-1(1)求f(x)的最小正周期;(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若sinB=2sinA,求a,b的值.2.已知数列{an}中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=2Sn22(1)求证:数列1S(2)证明:当n≥2时,S1+12S2+13S3+…+1nSn3.如图,四边形ABCD是菱形,AF⊥BD,AF∥CE且AF=2CE.(1)求证:平面ACEF⊥平面BDE;(2)已知在线段BF上有一点P,满足AP∥DE,求BPPF的值4.已知函数f(x)=lnx+12x2+ax(a∈R),g(x)=ex+32x(1)讨论函数f(x)极值点的个数;(2)若对∀x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,32在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:直线l恒过定点;(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.参考答案考前强化练7解答题组合练C1.解(1)f(x)=32sin2x-cos2x-=32sin2x-=32sin2x-12cos2=sin2x-π6-1.所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由f(C)=0,得sin2C-π6=1.因为0<C<π,所以-π6<2C-π所以2C-π6=π2又sinB=2sinA,由正弦定理得ba=2.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosπ3即a2+b2-ab=3.②由①②解得a=1,b=2.2.解(1)当n≥2时,Sn-Sn-1=2Sn22Sn-1,Sn-1-Sn1Sn-1S(2)由(1)可知,1Sn=1S1+(n-1)×2=2n-1,∴当n≥2时,1nSn=1n从而S1+12S2+13S3+…+1nSn<1+121-12+12-3.解(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵AF⊥BD,∴BD⊥平面ACEF,∵BD⊂平面BDE,∴平面ACEF⊥平面BDE.(2)在平面ABF内作BM∥AF,且BM=CE,连接AM交BF于点P.∵BM∥AF,AF∥CE,∴BM∥CE,又BM=CE,∴四边形BCEM为平行四边形,∴BC∥ME,且BC=ME.∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD且BC=AD,∴ME∥AD且ME=AD.∴四边形ADEM为平行四边形.∴DE∥MA,即DE∥AP.∵BM∥AF,∴△BPM∽△FPA,∵BM=CE=12AF,∴BP4.解(1)f'(x)=1x+x+a=x2+ax+1x(x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x)≥0,此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点.②当a2-4>0时,即a<-2或a>2,若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理x1+x2=-a>0此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a<-2时,f(x)有两个极值点.若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理x1+x2=-a<0,x1x2综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)≤g(x)等价于lnx+12x2+ax≤ex+32x即ex-lnx+x2≥ax,因此a≤ex设h(x)=exh'(x)=(=ex当x∈(0,1)时,ex(x-1)+lnx+x2-1<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,ex(x-1)+lnx+x2-1>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.5.解(1)由题意得b=3c,1a2+94b2=1,a(2)假设存在这样的直线l:y=kx+m,∴M(0,m),N-m∵|PM|=|MN|,∴Pmk,2m∴直线QM的方程为y=-3kx+m.设A(x1,y1),由y得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,∴x1+mk=-8∴x1=-3m设B(x2,y2),由y=-3kx+m,x24+y23=1,得(3+∴x2+mk∴x2=-m(∵点N平分线段A1B1,∴x1+x2=-2m∴-3m(1+4∴k=±12∴P(±2m,2m),∴4m24+4∵|m|=217<b=3,∴Δ>∴直线l的方程为y=±12x±216.(1)解抛物线C:y2=2px(p>0),其准线方程为x=-p2∵点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,∴点P到准线的距离等于|PF|,即1+p2=2,得p=∴所求抛物线方程为y2=4x.(2)证明①当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,易知k≠0,m≠0.联立方程组得y2=4x,y=kx+m,从而可得方程k2由题意可知Δ=(2km-4)2-4k2m2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4-2kmk2,x1所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=4m因为以AB为直径的圆M过坐标原点,所以OA·OB=0,即x1x2+y1y2所以m2k2+4所以直线l的方程为y=kx-4k,即y=k(x-4),所以直线l恒过定点(4,0).②当直线l的斜率不存在时,易求得点A,B坐标分别为(4,4),(4,-4),直线l也过点(4,0).综合①②可知,直线l恒过定点(4,0).(3)解由题意可知直线l斜率存在,设线段AB中点坐标为(x0,2),由(2)中所得x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m