河南省郑州市2024届高三第二次质量预测数学试题（含答案解析）

2024年高中毕业年级第二次质量预测数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知全集，集合A满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全集和集合在全集中的补集易得集合，逐一判断选项即可.【详解】由，，可得或则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.故选：B.2.数据的第百分位数为（）A.8.5 B.8.6 C.8.7 D.8.8【答案】D【解析】【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为，所以这组数据的第百分位数为从小到大排列的第、两数的平均数，即为.故选：D3.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】【分析】依题意可得，利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断.【详解】因为，所以，所以，即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.故选：B5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于点对称 D.在区间上有2个零点【答案】D【解析】【分析】对于A，考查函数与的周期即可；对于B，考查函数与的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C，利用中心对称的条件进行验证即可；对于D，令，解方程即可.【详解】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，故选：D.6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据独立事件乘法公式和条件概率公式可得.【详解】分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件，记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件，记乙达到优秀等级为事件.由题知，，所以，.所以.故选：C7.在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出点，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解】设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，则，而，，由三角形面积公式可得，从而，在中，运用余弦定理可得，由此即可得解.【详解】设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C渐近线方程为.故选：A.二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（）A. B.C.向量对应的复数是1 D.【答案】AD【解析】【分析】根据复数的模、复数的几何意义逐一分析即可.【详解】因为，所以，所以，，A正确；，B错误；由上可得，对应复数为，C错误；，，D正确.故选：AD10.如图，在矩形中，，点与点分别是线段与的四等分点．若把矩形卷成以为母线的圆柱的侧面，使线段与重合，则以下说法正确的是（）A.直线与异面 B.平面C.直线与平面垂直 D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】【分析】由是平面内不过D的直线，可判断A；通过判断可判断B；由长方形的邻边，可判断C；根据圆的周长求半径，然后可得，即可判断D.【详解】A选项：由图可知，平面，是平面内不过D的直线，所以，直线与异面，A正确；B选项：由题知，是底面圆的直径，且，所以四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正确；C选项：由题知，劣弧的长为1，，所以，所以长方形的对角线不垂直，所以直线与平面不垂直，C错误；D选项：同上可得为正方向，所以，由圆柱性质可知，，又，平面，所以平面，所以即为点到平面的距离，记圆的半径为，则，得，所以，D正确.故选：ABD11.已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可判断A；令，可判断B；由函数图象的变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D.【详解】令，得，即，A正确；令，得，又，所以对任意恒成立，因为，所以不恒为0，所以，即，B错误；将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，所以，又为奇函数，所以，所以，所以4为的周期.由可得，C正确；因为，，，所以，D正确.故选：ACD【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.【答案】##【解析】【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.【详解】依题可知，则，故答案为：.13.在中，的对边分别为，已知，，，则边______，点在线段上，且，则______．【答案】①.②.##【解析】【分析】利用余弦定理角化边，即可构造方程求得；利用余弦定理可求得，在中，利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理得：，即，，解得：（舍）或；在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：.故答案为：；.14.已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】通过换元将不等式化成,对任意的实数x恒成立，设，对的取值分类讨论，得到时，依题得，即再令，分析得到，从而即得.【详解】令，则，不等式可化为：对任意的实数x恒成立，即对任意的实数x恒成立.设，则，当时，，在R上单调递增，，不合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则当时，.因对任意的实数x恒成立，故恒成立，即，则.令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.故，即,故的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查由不等式恒成立求解参数范围问题，属于难题.解题关键在于通过设进行换元，将不等式化成，设函数，分析得到，然后分离出，将问题转化为求函数的最大值即得.四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即得；（2）列出随机变量X的所有可能的值，分别求出每个值对应的概率，列出分布列，求出期望值.【小问1详解】因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，则前3局甲都取胜的概率为.【小问2详解】X所有可能取值为0，1，2，3.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为.16.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）1（2）单调减区间为，单调增区间为【解析】【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.【小问1详解】函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.【小问2详解】.因为，所以，令得；令得；∴函数的单调减区间为，单调增区间为.17.如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，.（1）求证：；（2）若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取BC中点O，连接AO，EO，利用线面垂直的判断定理证明平面，继而可解；（2）以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示进行计算即可.【小问1详解】取BC中点O，连接AO，EO.∵是等边三角形，O为BC中点，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.【小问2详解】连接DO，则，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如图，以O坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面ACD的法向量为，则即取，则.∵是二面角平面角，∴，又，∴，，则，∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为.18.已知椭圆E：过点，且焦距为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.①证明：直线MN必过定点；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据题意有，，即可求解；（2）①设直线：的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点的坐标，继而可得点坐标，考虑直线斜率情况，得到其方程，即可求解；②根据，表示出的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可求得最大值.【小问1详解】依题意有，，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】①设：，，，则：，联立，故，，，故，由代替m，得，当，即时，：，过点.当，即时，，：，令，，直线MN恒过点.当，经验证直线MN过点.综上，直线MN恒过点.②，令，，∵在上单调递减，∴，当且仅当，时取等号.故面积的最大值为.19.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；（3）若存在100的k增数列，求k的最大值.【答案】（1）1，2，1和1，3（2）7（3）1250【解析】【分析】（1）由于或，从而得到所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3；（2）分析得到且，当时，不合要求，当时，满足要求，得到答案；（3）分析得到数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式，设其中有x项为1，有y项为2，得到，，配方后求出最值.【小问1详解】由题意得，且对于，使得的正整数对有1个，由于或，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.【小问2详解】当时，存在m的6增数列，即，且对于，使得的正整数对有6个，所以数列的各项中必有不同的项，所以且.若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以.若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，此时数列为，满足要求的正整数对分别为，符合m的6增数列，所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.【小问3详解】若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列中存在大于1的项，若首项，将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以.当时，若，交换，的顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以.若，所以，所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大