第11章 解三角形 章末题型归纳总结-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）（解析版）

第第页第11章解三角形章末题型归纳总结章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：应用正弦、余弦定理解三角形经典题型二：判断三角形的形状经典题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用经典题型四：三角形多解问题经典题型五：三角形范围与最值问题经典题型六：图形类问题经典题型七：角平分线问题、中线问题、高问题模块三：数学思想与方法①分类讨论思想②转化与化归思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：应用正弦、余弦定理解三角形例1．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，由正弦定理得，故，又，所以，因为，所以．在中，由正弦定理得，，所以，因为，所以为锐角，所以．故选B．例2．（2024·全国·高一假期作业）已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，得，即，则，由，解得，由正弦定理知.故选：D例3．（2024·江苏连云港·高一统考期末）在中，若，，，则（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【解析】在中，由正弦定理得，所以，又因为且，，所以.故选：B.例4．（2024·浙江·高一校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则b＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦定理得，．故选：D．例5．（2024·天津宝坻·高一校考期末）在中，，，，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，因为，，，由余弦定理得，因为，所以，则.故选：B.例6．（2024·福建龙岩·高一校考期末）在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦定理得，即，解得（负根舍去）.故选：B例7．（2024·辽宁铁岭·高一校考期末）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，∴.故选：C例8．（2024·全国·高一假期作业）在中，角所对的边分别为，若，则角（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，即，所以，所以为锐角，所以.故选：B例9．（2024·全国·高一假期作业）在中角所对边满足，则（

）A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】A【解析】依题意，，由余弦定理得，解得.故选：A经典题型二：判断三角形的形状例10．（2024·全国·高一假期作业）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，故选：B.例11．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形【答案】B【解析】因为，由正弦定理可得，即，因为，为三角形的内角，所以或，即或，同理可得或；当时，不可能成立（三内角和不等于），当时，也不可能成立，所以只有，即为等边三角形．故选：B例12．（2024·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）中，分别是角的对边，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．钝角三角形C．直角或钝角三角形 D．锐角三角形【答案】B【解析】由得，即，因为，所以，则，，，，，又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形.故选：B.例13．（2024·福建福州·高一校联考期末）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（

）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解析】因为，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.故选：D例14．（2024·四川成都·高一统考期末）在中，若，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形【答案】D【解析】由以及正弦定理得，即，则，，，又，所以，，，即的形状为有一个内角为的直角三角形.故选：D.例15．（2024·高一课时练习）在中，若，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．直角三角形【答案】A【解析】因为，由正弦定理得，则，即，所以的形状一定是等腰三角形.故选：A.例16．（2024·天津滨海新·高一统考期末）在中，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】依题意，，由正弦定理得，，，，，，，，由于，所以或，即或，所以的形状为直角三角形.故选：C例17．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】，故，由正弦定理得，其中，即，故，因为，所以，故，因为，所以，的形状为直角三角形.故选：B经典题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用例18．（2024·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期末）一艘轮船沿北偏东方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为海里.【答案】2【解析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故答案为：2.例19．（2024·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考期末）如图，某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，则与间的距离为.【答案】24【解析】如图，可知，在中，由正弦定理得：，所以.故答案为：24.例20．（2024·河南·高一校联考期末）位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为米．【答案】【解析】在中，米，，则米．同理，在中，米，在中，米，米，，由余弦定理，得米．故答案为：.例21．（2024·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为m．

【答案】【解析】设四门通天铜雕的高度，由，可得，在中，因为，所以，可得，即，解得，所以旗杆的高度为.故选：C.例22．（2024·高一单元测试）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝米．【答案】【解析】设，则.由得，由余弦定理得，解得，即OP为米．故答案为：.例23．（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球，半径为，两个观察者在地球上，两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和（，表示当地的地平线），由平面几何相关知识，，，，设弧长为，，，则流星高度为．（流星高度为减去地球半径，结果用表示）

【答案】【解析】由题意知，的弧长，所以，因为，所以为等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，所以，由正弦定理：，得：，在中，，由余弦定理：，所以，所以流星的高度为：，故答案为：.例24．（2024·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小．【答案】【解析】如图，过点A作于点，由题可知，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以．例25．（2024·山西临汾·高一统考阶段练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040m，BC＝500m，则sin∠BAC等于．【答案】【解析】依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为xm/s，因为AB＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m．在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝．故答案为：.例26．（2024·高一课时练习）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的方向上.【答案】北偏西15°【解析】如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故答案为：北偏西15°.例27．（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是分钟．（注：）【答案】15【解析】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时，则，，∴在中，已知,,，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，则，，∴为东西走向，，在中，由正弦定理得，则，且为锐角，∴，即，∴小时，即分钟.故答案为：.经典题型四：三角形多解问题例28．（2024·上海·高一假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（填序号）；①，，，有两解；②，，，有一解；③，，，无解；④，，，有一解．【答案】④【解析】对①：由正弦定理，所以，又因为，所以有一解，故①错误；对②：正弦定理，所以，又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误；对③：由正弦定理，所以，又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误；对于④，由正弦定理，所以，又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确，故答案为：④.例29．（2024·河南驻马店·高一统考期末）在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是．【答案】【解析】法一：由题意，，如图，作，在角的一边取，过作另一边的垂线，垂足为，要使有两解，则以为圆心，以为半径的圆与射线有两个交点，即若使有两解，则有，即，解得.法二：由题意，，由正弦定理得，则，由，如图，作的图象，若使有两解，则有，即，解得.故答案为：.例30．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是.【答案】【解析】由正弦定理可知，即，所以，因为有两个解，即有两解，又，则，由正弦函数的性质，可得且，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：例31．（2024·四川泸州·高一统考期末）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为．【答案】（答案不唯一，满足或即可）【解析】∵，，∴当或，即或时，唯一；故答案为：（答案不唯一，满足或即可）例32．（2024·广东佛山·高一统考期末）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是．（仅需填写一个符合要求的数值）【答案】8（答案不唯一，满足或即可）【解析】在中，，，，由正弦定理得：，则，当时，，三角形无解；当时，，，三角形有唯一解；当时，即，则，由，得，或，所以三角形有两解，当时，即，则，由，得，，因为在上单调递增，所以三角形有唯一解；故答案为：8（答案不唯一，满足或即可）.例33．（2024·浙江台州·高一统考期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是.【答案】【解析】由正弦定理得：，即，，若有两解，则，且，即，所以，故答案为：例34．（2024·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】D【解析】对于A，，，，由两边之和大于第三边，，可知符合A的三角形不存在；对于B，由，，，可得，或，符合条件的三角形有2个，不符合题意；对于C，，，，可得，不符合题意；对于D，，，符合条件的三角形有一个，是等腰三角形.故选：D.例35．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，，，，由正弦定理得，得，解得，因为满足条件的三角形有两个，所以，所以，即，解得，即x的取值范围为，故选：B例36．（多选题）（2024·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期末）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（

）A．B．若，且，则为等边三角形C．若，则是等腰三角形D．在中，，则使有两解的的范围是【答案】ABD【解析】对A，即，即，因为，故原式成立，故A正确；对B，则，即，故，由可得.又可得，即，故，由可得.故，则为等边三角形，故B正确；对C，当时，满足，则或，所以或，故不一定为等腰三角形，故C错误；对D，要使有两解，则需，故，即，故D正确.故选：ABD经典题型五：三角形范围与最值问题例37．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（

）A．B．若，且的面积为，则的最小边长为2C．若时，是唯一的，则D．若时，周长的范围为【答案】ABD【解析】对于选项A：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，即。，则，故A选项正确；对于选项B：因为，且的面积为，则由正弦定理得，而又，解得，所以，而，由余弦定理得：,则，所以三角形中边长为最小边，，故B选项正确；对于选项C：当时，而又，由正弦定理，即，唯一，，故C选项错误;对于选项D：，，则有即，而，所以周长的范围为，故D选项正确.故选：ABD.例38．（2024·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若为函数一个零点，求.(2)锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围.【解析】（1）由题意，即有，则；（2），则，故，又，即有，故，由，则，故，又，故有：，由为锐角三角形，故有，解得,故，故，故，又，故.例39．（2024·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考期末）在锐角中，，，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.【解析】（1）∵，，所以，所以，因为，所以，，所以.（2），所以,所以，，所以,因为是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.例40．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足.(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；(2)若为锐角三角形，求面积的范围.【解析】（1）由题设，则，故，又，则，又，则为等边三角形，故，由，则，所以（负值舍），故.（2）由题意，则，又，则，所以，由，而，所以.例41．（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，，当仅有一解时，写出x的范围，并求的取值范围.【解析】由正弦定理可得，，则，且，则，做出正弦曲线如图所示，则当或，即或时，仅有一解，当时，；时，.所以，所以，.即例42．（2024·山西吕梁·高一校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形中，为边的中点．

(1)若，求的面积；(2)求的最大值．【解析】（1）因为，，由余弦定理可得，，则，且，，所以，则的面积为.（2）取线段的中点为，连接，设，，因为，由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，则，因为分别为的中点，所以，且，所以，且，所以，在中，由余弦定理可得，，由可得，，所以当时，即时，取得最大值，所以的最大值为.例43．（2024·全国·高一专题练习）如图，在四边形中，，，，.

(1)若，求；(2)求的最大值.【解析】（1）由题意知，，，所以.在中，，，所以.在中，由余弦定理得，，所以.（2）过点作于点，由，，，，可得，，设，当时，点在点的右侧，如图①，，则.当时，点在点的左侧，如图②，，则.又，所以当，且时，.当时，点与点重合，，满足上式，所以，其中.令，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值，因为，所以为锐角，所以当时，取得最大值.例44．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）已知中，角所对的边分别为，且的面积为.(1)若，求的值.(2)当为何值时，取得最大值，并求出该值.【解析】（1）由于，所以为锐角，所以，解得，依题意，，由正弦定理得，由于为锐角，所以.（2）由（1）得，由余弦定理得，所以，所以当时，取得最大值为.例45．（2024·四川资阳·高一四川省安岳中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．【解析】（1）由题意知中，，故，即,即,所以，而，故，即，又，故；（2）由于点是上的点，平分，且，则，由，得，即，则，当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号，所以，即面积的最小值为.例46．（2024·全国·高一专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)若，求C；(2)若，且，求的最小值．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴或者，由，得，从而，由得，∴，则，而，故综上，或；（2）∵，∴，即，由（1）知，，又，∴，∴，由正弦定理，，，，当且仅当时取等号，∴的最小值为.例47．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，(1)若，，求c；(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．【解析】（1）如图所示，，，，，，在中，由正弦定理得，即，（2），是的角平分线，如图所示，则，由得，又，所以，在中，由余弦定理得，则，设的周长为l，则，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，即：，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的周长最小值为经典题型六：图形类问题例48．（2024·河南开封·高一统考期末）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.

(1)求证：；(2)若，，求的长.【解析】（1）由题意证明如下，在中，，∴.∵，∴.在中，由正弦定理得，，即，，∴，∴.（2）由题意及（1）得设，，，，，，，则在中，由正弦定理得，，即，可得，①在中，由正弦定理得，，可得，可得，②联立①②，可得，可得，可得，.在中，由正弦定理得，，可得.在中，由余弦定理得，，可得，可得，解得或（舍），∴的长为.例49．（2024·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期末）如图，在梯形中，，.(1)求证：；(2)若，，求的长度.【解析】（1）证明：在中，由正弦定理得，即，因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以.又，所以，即.（2）由（1）知.在中，由余弦定理得，故.所以.在中，由余弦定理得，即，整理可得，解得或.又因为为梯形，所以.例50．（2024·山东·高一滨州一中校联考期末）如图，在四边形中，，，，.(1)若，求；(2)若，，求.【解析】（1）由题意得，在中，由余弦定理得，得，由正弦定理，得.故.（2）在中，由余弦定理，得①，在中，由正弦定理，得.所以，代入①式得，得，则，即.例51．（2024·浙江·高一台州中学校联考期末）在平面四边形中，．(1)若在锐角中，，求周长的取值范围；(2)若，求的长．【解析】（1）设，则在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以周长的取值范围为；（2）在中，，在中，，所以，整理得，所以，又，所以，所以,所以.例52．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考阶段练习）某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，．(1)求服务通道的长度；(2)若，求赛道的长度．【解析】（1）连接，∵，，，在中，由余弦定理，可得，，，，又，，在中，．（2）在中，,化简得,因为,所以.例53．（2024·陕西西安·高一西安市第八十三中学校考期末）如图，在平面四边形中，，，.(1)求的大小；(2)求边的长度.【解析】（1）因为，所以，即.因为，所以，在中，由正弦定理得,即,所以或.因为，所以，所以.（2）由（1）知，，所以,在中，,由余弦定理得,即,所以.例54．（2024·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求.【解析】（1）因为，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，因为，所以，.（2）因为，则为锐角，所以，，因为，所以，，所以，，设，则，在和中，由正弦定理得，，因为，上面两个等式相除可得，得，即，所以，.经典题型七：角平分线问题、中线问题、高问题例55．（2024·江苏盐城·高一统考期末）已知三角形ABC，，(1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值.(2)若，，求AD的长【解析】（1）由，得，即，得，在中，，所以；（2）因为，知，，在三角形ABD中，在三角形ACD中，因为，所以，即，解得.例56．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．【解析】（1）因为，设函数的周期为，由题意，即，解得，所以.（2）由得：，即，解得，因为，所以，因为的平分线交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.例57．（2024·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若D为的中点，E为的平分线与的交点，且，求的值．【解析】（1）由题设及正弦定理得，因为，所以．由，可得故．因为，故因此．（2）因为，又因为，所以，即，解之得或（舍去）．因为为的角平分线，所以，所以例58．（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长．【解析】（1）由，根据正弦定理可得，则，所以，整理得，因为均为三角形内角，所以，因此，所以；（2）因为CD是角C的平分线，，，所以在和中，由正弦定理可得，，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以，又，即，即，所以.例59．（2024·江苏淮安·高一统考期末）如图，中，，的平分线AD交BC于．

(1)若，求的余弦值；(2)若，求AD的取值范围．【解析】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,因为AD是的平分线，所以到AB，AC的距离相等，又，所以，所以．由题意，．中，①,中，②联立①②得．又，则．所以．（2）因为，，．所以所以．所以．因为，所以．所以．例60．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）在锐角中，角的对边分别是，，，若(1)求角的大小；(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.【解析】（1）因为，由正弦定理可得：即，所以，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:，所以，因为，又，，所以,又因为为锐角三角形，所以，，得到，所以，由的图像与性质知，，所以，所以，得到故.例61．（2024·辽宁大连·高一校联考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.【解析】（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以；（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为.例62．（2024·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．(1)求的长度；(2)求的余弦值．【解析】（1）连接，则是的中位线，故，且，在中，，又，故是等边三角形，所以，因为∽，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，解得，则，因为，所以，在中，由勾股定理得，因为∽，所以，解得，在中，由余弦定理得，因为，所以的余弦值为.例63．（2024·全国·高一专题练习）已知中，为中线，，.(1)若，求边的长；(2)当面积最大时，求的值.【解析】（1）在中，，，由正弦定理得：，则，；由余弦定理得：，；（2）为中点，；设，，由余弦定理得：，解得：（当且仅当时取等号），又，，，此时，，由正弦定理得：，.例64．（2024·福建·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求及；(2)若，求边上的高.【解析】（1）因为，由正弦定理得，所以，又，所以，又，则.因为，即，又，所以，因为，所以.（2）由（1）及余弦定理，得.将，代入，得，解得或（舍去），则.因为，所以，设边上的高为，则.例65．（2024·安徽安庆·高一统考期末）已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A-B)=（1）求证:tanA=2tanB（2）设AB=3，求AB边上的高CD.【解析】（1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A-B)=，所以,，所以，即；（2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为.例66．（2024·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考阶段练习）（1）在中，已知，，，求；（2）在中，,,，求边AC上的高．【解析】（1）由三角形内角和定理，得，由正弦定理，得（2）由余弦定理得：，边AC上的高模块三：数学思想方法①分类讨论思想例67．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）中，角的对边分别为，若，，，则（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解析】在中，由正弦定理得：，而，则在中有，所以.故选：A.例68．（2024·江苏南通·高二统考期末）在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，，的面积，则a等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】由的面积，可求得，可得或，再利用余弦定理可求得a.的面积，则，解得，即或，当时，由余弦定理知，即符合；当时，由余弦定理知，即符合；综上：a等于或故选：C.例69．（2024·山东菏泽·高三山东省郓城第一中学校考期末）在解三角形中，如何由三角形的三边求出三角形的面积，在古代一直是个困难的问题．古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式其中这个公式叫海伦公式．如果一个周长等于12的等腰三角形的最长边比最短边大3，则这个三角形的面积（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解:因为周长等于12,若最长边为腰,设,可得,∴,,则.所以；若最短边为腰,设,可得,,,此时,不符合三角形的三边关系,舍去.故选:A例70．（2024·江苏徐州·高三学业考试）在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设则.在△ABC中，由余弦定理，得，即,解得.当时，，，是一个钝角，不合题意，舍去.当时，，，所以，又，则，符合题意.在△中，，则△的面积.故选：C．例71．（2024·江苏无锡·高一江苏省梅村高级中学校考期末）有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，________，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于正确答案为，故，根据正弦定理，解得．故一个符合要求的已知条件可以是．对于A，则用不到直接求得，不满足题意中“必须使用所有已知条件才能解得”，故A错误；对于B，通过正弦定理解得从而或均可以，故B错误；对于C，通过正弦定理边化角化简原式得所以,故C错误；对于D，由，即，得．也就是给出，使用所有已知条件能解出正确答案为故D正确.故选:D②转化与化归思想例72．（2024·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又因为，则，故选：C例73．（2024·四川眉山·统考三模）在中，分别是角所对的边，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，又由题知，所以，整理得到，，又由余弦定理，所以，所以，又，所以.故选：C.例74．（2024·高一课时练习）在中，，则的值为（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【解析】因为，所以设，由余弦定理可得.故选：C.例75．（2024·贵州黔东南·高一统考期末）在中，，，，则的外接圆半径为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】根据题意得：，解得，所以的外接圆半径为：.故选：A.例76．（2024·上海·高考真题）在中，若，则一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】，，即，，，即，所以一定是等腰三角形.故选：B.例77．（2024·河南郑州·高二郑州一中校考