2023-2024学年辽宁省抚顺市第十九中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2023-2024学年辽宁省抚顺市第十九中学高三冲刺模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则的虚部是A．3 B． C． D．2．函数在上的最大值和最小值分别为（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-23．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i4．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①直线与直线的斜率乘积为；②轴；③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（）A．-2 B．-3 C．2 D．39．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A． B． C．4 D．510．的展开式中的常数项为()A．－60 B．240 C．－80 D．18011．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A．36种 B．44种 C．48种 D．54种12．设实数、满足约束条件，则的最小值为（）A．2 B．24 C．16 D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.14．已知，，则与的夹角为.15．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为____________.16．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）数列满足，且.（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数；②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.19．（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.20．（12分）设函数f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期；(II)若α∈(π6,π)且f(21．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

因为，所以的虚部是.故选B．2、B【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意，，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.3、D【解析】

两边同乘-i，化简即可得出答案．【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为4、B【解析】

由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所．则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，，根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以直线轴．所以②正确．如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以③不正确．故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．5、D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.6、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点，∴，则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴，即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．7、B【解析】

先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题8、C【解析】

先研究的展开式的通项，再分中，取和两种情况求解.【详解】因为的展开式的通项为，所以的展开式中的常数项为：，解得，故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、D【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选D．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．10、D【解析】

求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.【详解】由题意，中常数项为，中项为，所以的展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.11、B【解析】

分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧；所以不同的执行方案共有种．【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．12、D【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.380.9【解析】

考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：，，.故随机变量的可能取值为，故；；；.故.故答案为：0.38；0.9.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.14、【解析】

根据已知条件，去括号得：，15、【解析】

利用即可建立关于的方程.【详解】设双曲线右焦点为，过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点，则，，由已知，，即，所以，离心率.故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立的方程或不等式，是一道容易题.16、【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有由知，因此.故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.【详解】（1）由题意，数列满足且可得，即，所以数列是公差，首项的等差数列，故，所以.（2）由（1）知，所以数列的前n项和：==【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前n项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18、（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②【解析】

（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，所以，.设一周课外读书时间的中位数为小时，则，解得，即一周课外读书时间的中位数约为小时.（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又因为，，的频数分别为20，50，130，所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21种，其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.设事件为“这2人不在同一层”，由古典概型的概率计算公式，可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】

（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【详解】（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，是递增数列，∴，∴的前项和.（2）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“极差数列”仍是（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，，根据，的定义，得：，，且两个不等式中至少有一个取等号，当时，必有，∴，∴是一个单调递增数列，∴，，∴，∴，∴是等差数列，当时，则必有，∴，∴是一个单调递减数列，∴，，∴，∴.∴是等差数列，当时，，∵，中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，∴，，∴数列是常数数列，则数列是等差数列.综上，若数列是等差数列