线性代数与概率论（第五版） 课件 2.4 方阵的逆矩阵

第四节方阵的逆矩阵1本节主要学习目标：[知识目标]

理解方阵的逆矩阵的概念。

理解伴随矩阵法计算矩阵的逆矩阵。

熟练掌握初等行变换方法计算矩阵的逆矩阵。[能力目标]

能熟练计算矩阵的逆矩阵。逆矩阵2第四节方阵的逆矩阵定义2.14已知n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使得AB=BA=I则称n阶方阵A可逆,并称n阶方阵B为n阶方阵A的逆矩阵,记作A-1=B逆矩阵3如果n阶方阵A可逆,它的逆矩阵是否唯一?设n阶方阵B1与B2都是n阶方阵A的逆矩阵,则有AB1=B1A=IAB2=B2A=I于是得到n阶方阵B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2这说明n阶方阵A的逆矩阵是唯一的那么,什么样的方阵可逆?第四节方阵的逆矩阵逆矩阵4定理2.2如果n阶方阵A可逆,则n阶方阵A的行列式|A|≠0;如果n阶方阵A的行列式|A|≠0,则n阶方阵A可逆,且逆矩阵

第四节方阵的逆矩阵例15第四节方阵的逆矩阵

(1)判别二阶方阵A是否可逆?(2)若二阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1例16第四节方阵的逆矩阵解:(1)计算二阶方阵A的行列式

所以二阶方阵A可逆(2)二阶方阵A的逆矩阵

例27第四节方阵的逆矩阵

(1)判别三阶方阵A是否可逆?(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1例28第四节方阵的逆矩阵解:(1)计算三阶方阵A的行列式

按第1行展开

所以三阶方阵A可逆例29第四节方阵的逆矩阵(2)计算行列式|A|中9个元素的代数余子式

例210第四节方阵的逆矩阵

例211第四节方阵的逆矩阵

例212第四节方阵的逆矩阵从而得到三阶方阵A的伴随矩阵

例213第四节方阵的逆矩阵所以三阶方阵A的逆矩阵

例214第四节方阵的逆矩阵应该注意的是:在求出逆矩阵表达式后,应该进行验算,即计算原方阵与所求得逆矩阵的积,只有这个积等于单位矩阵,所求得逆矩阵表达式才是正确的例1与例2中,原方阵与所求得逆矩阵的积等于单位矩阵,说明所求得逆矩阵表达式正确无误求逆矩阵15考虑n阶方阵A可逆,用逆矩阵A-1左乘n阶方阵A,有A-1A=I根据定理2.1说明n阶方阵A经过若干次初等行变换化为单位矩阵I而乘在n阶方阵A左面的逆矩阵A-1就是单位矩阵I作同样若干次初等行变换所得到的n阶方阵第四节方阵的逆矩阵求逆矩阵16于是得到应用矩阵的初等行变换求n阶方阵A的逆矩阵A-1的方法:

第四节方阵的逆矩阵求逆矩阵17

步骤1：

第四节方阵的逆矩阵求逆矩阵18步骤2

第四节方阵的逆矩阵求逆矩阵19

第四节方阵的逆矩阵例320

(1)判别三阶方阵A是否可逆?(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1.第四节方阵的逆矩阵例321解:(1)计算三阶方阵A的行列式

所以三阶方阵A可逆.

第四节方阵的逆矩阵例322第2行的-1倍加到第1行上去

第3行的-1倍加到第2行上去

第四节方阵的逆矩阵例323所以三阶方阵A的逆矩阵

第四节方阵的逆矩阵例424

(1)判别三阶方阵A是否可逆?(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1.第四节方阵的逆矩阵例425解:(1)计算三阶方阵A的行列式

第1行分别加到第2行与第3行上去

所以三阶方阵A可逆.第四节方阵的逆矩阵例426

第1行分别加到第2行与第3行上去

第四节方阵的逆矩阵例427第2行的-1倍加到第1行上去

第3行的-1倍加到第1行上去

所以三阶方阵A的逆矩阵

第四节方阵的逆矩阵例528

(1)判别三阶方阵A是否可逆?(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1.第四节方阵的逆矩阵例529解:(1)计算三阶方阵A的行列式

=4+4+0-0-2-6=0所以三阶方阵A不可逆.第四节方阵的逆矩阵逆矩阵的性质30性质1如果方阵A可逆,则它的逆矩阵A-1也可逆,且(A-1)-1=A性质2如果方阵A可逆,则它的转置矩阵AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T逆矩阵的性质第四节方阵的逆矩阵解矩阵方程31在一定条件下,矩阵与矩阵的乘法运算能够满足消去律:如果方阵A可逆,从AB=O,有A-1AB=A-1O,即IB=O,于是得到B=O如果方阵A可逆,从AB=AC,有A-1AB=A-1AC,即IB=IC,于是得到B=C.第四节方阵的逆矩阵解矩阵方程32考虑矩阵方程AX=B在方阵A可逆条件下,矩阵方程AX=B等号两端皆左乘逆矩阵A-1,得到它的解为X=A-1B第四节方阵的逆矩阵解矩阵方程33考虑矩阵方程XA=B在方阵A可逆条件下,矩阵方程XA=B等号两端皆右乘逆矩阵A-1,得到它的解为X=BA-1第四节方阵的逆矩阵例634第四节方阵的逆矩阵解矩阵方程

解:所给矩阵方程的解为

系数矩阵35最后考虑由n个线性方程式构成的n元线性方程组

由未知量系数构成的n阶方阵称为系数矩阵,记作A,即矩阵

第四节方阵的逆矩阵解线性方程组36由未知量构成的矩阵称为未知量矩阵,记作X;由常数项构成的矩阵称为常数项矩阵,记作B.即矩阵

这时此线性方程组可以表示为矩阵形式AX=B如果系数行列式|A|≠0,即系数矩阵A可逆,则此线性方程组有唯一解X=A-1B第四节方阵的逆矩阵例737第四节方阵的逆矩阵

(1)判别有无唯一解(2)若有唯一解,则求唯一解例738第四节方阵的逆矩阵

这时此线性方程组可以表示为矩阵形式AX=B例739第四节方阵的逆矩阵(1)计算系数矩阵A