2023年湖北省武汉市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年湖北省武汉市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

、单选题(30题)

不等式|x|<l的解集为

(A){x|x>l}(B){x|x<l}

](C)(x|-l<x<l}(D)(JC|x<-l}

2.使函数y=x2—2x—3为增函数的区间是()

A.A.(1,+oo)B.(-oo,3)C.(3,+oo)D.(-oo.1)

3.在一次读书活动中，某人从5本不同的科技书和7本不同的文艺书中

任选一本阅读，那么他选中文艺书的概率是()

A.5/7B.5/12C.7/12D.1/5

4.5个人站成一排照相，甲乙两个恰好站在两边的概率是()

A.1/10B.1/20C.1/60D,1/120

5.若-1,以，6,c,-9五个数成等比数列，则()

A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=-3,ac=-9D.b=3,ac=-9

6.A=2()o,B=25。贝lJ(l+tanA)(l+tanB)的值为()

A,也

B.2

C.1+圾

D.2(tanA+tanB)

7.

设K和6为双曲线T-y?=l的两焦点.点P在双曲线上.则IIPFJ-|PF/|=

A.A.4

B.2

C.l

D.DJ

8.a4B=|1,3.-2(,AC=13.2,-2|.则就为

A.A.{2,-1,-4}B.{-2,1,-4}C.{2,-1,0}D.{4,5,-4)

直线3x+y-2=O经过

(A)第一、二、四象限(B)第一、二、三条限

9C)第一三、四象限(D)第一、三、四鼓限

10.下列等式中，成立的是()

A.arctanI=»*47*

RarctanI

4

C.stn(arcsinV2)=&

D.aresin(斗in学)竽

A.A.AB.BC.CD.D

设某项试验每次成功的概率为净，则在2次独立重复试验中，都不成功的概率为

()

(c)D

1Ll<>V

12.(log43+log83)(log32+llog92)=()

A.5/3B.7/3C.5/4D.1

13.若U={x|x=k,k£Z},S={x|x=2k,keZ},T={x|x=2k+l,k£Z}厕

A.S=CUTB.SUTSUc.SCTD.S3T

15.命题甲：A=B;命题乙：sinA=sinB.则()

A.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

B.甲是乙的充要条件

C.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

D.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

16.

(6)设0<x<1,则在下列不等式中成立的是

(A)1砥,：/>口氏产(B>2'1>2'

(C}sin>sinx(D)x*>

17.函数f(X)=10gl/2(x|x2-x+l)的单调增区间是()

A.(-oo,l/2]B.[0,l/2]C.(-l/2,+oo)D.(0,1/2)

一个正三棱锥，高为1，底面三角形边长为3,则这个正三极谁的体枳为

(A)—(B)£(C)2&<D)3后

18.4

在圆？+/=4上与直戡4*+3y-12=0距离最短的点是()

JJ□J

(C)(DT

19.-I4)()，4)

20.下列()成立

B.logyr^->0

A.0.76°FVI

D.2°-32<2c-31

C.loga(a+lXlog<„,i>a

21.若aABC的面积是64,边AB和AC的等比中项是12,那么sinA

等于()

A.A.?

B.3/5

C.4/5

D.8/9

(15)桶％•».=l与圆(*+4)2+/=2的公共点个数是

22.(A)432(D)0

23.设集合M={XeR|X&l},集合N={WR|ZN-3},则集合MnN=()

A.{XERB3<X<-1}C.{ZERD.Z<-1}E.{XeRF.X>—3}G.(p

过点(1,2),倾斜角a的正弦值为方的直线方程是()

(A)4x-3y+2=0(B)4x+3y-6=0

4

(C)3*-4y+6=0(D)y=±y(x-1)+2

24.

25.过M(3,2),且与向量a=(-4,2)垂直的直线方程为()

A.A.2x+y-4=0B.2x-y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y+4=0

在一段时间内，甲去某地必城的概率是十.乙去此地的概率是!.假定两人的行

26.动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有I人去此地的概率是(

A.A.3/20B.l/5C.2/5D.9/20

27.将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少

分配1名志愿者的分法种数为()

A.150B.180C.300D.540

巳知直线4：2,-4厂0,4加-2八5・0,过。与4的交点且与％♦直的直线方

28.程是()A.8x-

4y+25=0B.8x+4y+25=0C.8x-4y-25=0D.8x+4y-25=0

正四棱柱中，AA]=2AB,则直线阳与直线G"所成箱的正弦值

为

(A)—(B)—(C)—(D)—

29.

30.

下列函数中，为奇函数的是()

A.y=-x3

B.y=x3-2

C.

DJ=岫O

二、填空题(20题)

31.

函数丫=3-*+4的反函数是.

32.

不与式lx—11<1的解集为

33."长为a的正方体八中,洋面直线9与DC的距离为_—，

35.已知A(-l,-1),B(3,7)两点，则线段的垂直平分线方程为.

36化筒祕+QP+MN-MP=.

37.

甲乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是；，乙解决这个问题的

4

概率是:，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是.

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下,（单位:克）

76908486818786828583

公。则样本方差等于.

39.过点（2」）且与直线y=*+1垂直的直线的方程为-

某射手有3发子弹，射击一次,命中率是0.8.如果命中就停止射击,否则一直射

40.到手弹用完为止.■么这个射手用子弹数的■■值是_

41.

为了检查一批零件的长度，从中抽取10件,量得它们的长度如下（单位：

mm）:22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.32

22.35则样本的平均数（结果保留到小数点第二位）为这组

数据的方差为

42数：1+:+4）（1一i）的.

43.在5把外形基本相同的钥匙中有2把能打开房门，今任取二把，则能

打开房门的概率为.

44.经验表明，某种药物的固定剂量会使心率增加，现有8个病人服用

同一剂量的这种药，心率增加的次数分别为131514108121311,则该

样本的样本方差为

45.已知直线3x+4y-5=0,彳‘十^的最小值是_____.

46.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点，则△OAB的周长为

47.

已知/《工）=a'T（a>O.a#1）•且/（1。&10）=9，则a=________________•

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

48R,则四张贺年卡不同的分配方式有________种.

50.已知正四棱柱ABCD-的底面边长是高的2位，则AC与

CC所成角的余弦值为

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,«3+a8=0.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

52.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求d的值；

(H)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项?

(23)(本小题满分12分)

设函数/(》)=/-lx?+3.

(I)求曲线y=/-2/+3在点(2,11)处的切线方程;

(II)求函数，%)的单调区间.

54.

(本题满分13分)

求以曲线+」-4x-10=0和，=2工-2的交点与原点的连线为渐近线.且实

轴在x轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

55.(本小题满分13分)

从地面上A点处测山顶的仰角为a,沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为B，求山高.

56.

（本小题满分12分）

已知数列la.l中=2.a.“=~a,.

（I）求数列la.I的通项公式；

（H）若数列la」的前"项的和S.=黄，求”的值•

10

57.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

58.（本小题满分12分）

在AABC中,A8=8J6,B=45°,C=60。.求人C.8C

59.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）=1-3/+6在［-2,2］上有最大值5.试确定常数并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

60.

（本小题满分12分）

△ABC中，已知J+c1-iJ%且lo&sinX+log.sinC=-I,面积为京m’，求它三

出的长和三个角的度ft

四、解答题(10题)

61.

巳知第的方程为6+3+2,♦«'-0,一定点为4(1.2),要使其过定点4(1.2)

作KI的切线有阔条.求。的取值簿用.

62.已知函数f(x)=|x|,函数g(x)=|x-l|.

(I)解不等式f(x)>g(x);

(II)定义分段函数f(x)如下：当f(x)Ng(x)时,F(x)=f(x);当f(x)<g(x)

时，F(x)=g(x).结合(I)的结果，试写出F(x)的解析式；

(111)对于(H)中的函数F(x),求F(x)的最小值.

63.如图：在三棱柱P-ABC中，侧面PAC_L底面ABC,

PA=BC=a,PC=AB=2a,ZAPC=60°,D为AC的中点

⑴求证：PA1AB

⑵求二面角P-BD-A的大小

⑶求点A到平面PBD的距离

64.设函数f(x)=x3+x-l.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)求出一个区间(a,b),使得f(x)在区间(a,b)存在零点，且b-aV

0.5.

65.已知正圆锥的底面半径是1cm,母线为3cm,P为底面圆周上一点，

由P绕过圆锥回到P点的最短路径如图所示，由顶点V到这条路线的

最小距离是多少？

66.

已知K，后是椭圆卷+2=1的两个焦点,p为椭圆上一点，且LFlPF1=30。,求

APF\F］的面积.

分别求曲线y=-3』+2x+4上满足下列条件的点

(1)过这些点的切线与工轴平行；

67.(2)过这些点的切线与直线y=x平行•

68.甲、乙二人各射击-次，若甲击中目标的概率为0.8,乙击中目标的概

率为0.6.试计算：

(I)二人都击中目标的概率；

(II)恰有-人击中目标的概率；

(III)最多有■■人击中目标的概率.

已知△X8C中，4=30°,BC=\,AB=43AC.

3）求：

69II，求△Me的而枳.

70.如图所示，某观测点B在A地南偏西10。方向，由A地出发有一条

走向为南偏东12。的公路，由观测点B发现公路上距观测点10km的C

点有一汽车沿公路向A地驶去，到达D点时，测得NDBC=90。，BD=

10km,问这辆汽车还要行驶多少km才能到达A地.(计算结果保留到小

数点后两位)

五、单选题(2题)

一个正三棱锥，高为1，底面三角形边长为3,则这个正三棱锥的体枳为

(A)—(B)/(C)2G<D)3为

71.4

72.

已知椭圆g+g=】和双曲线若一若=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为

A.'J-，x/4

B.-?x/4

CM川2

D.y=±-x/4

六、单选题(1题)

73.若a=(l,5,-2),b=(m,2,m+2),且a_Lb,则m的值为()

A.OB.6C.-6D.l

参考答案

l.C

2.A

-2,令y'=0得x>l时.原函数为墙函数.所求区间为(1.+8),

(苏案为A)

3.C

该小题的试验可认为是从12本不同的书中任选一本。很明显，选中其

中任一本书的机会是相同的油于有7本文艺书，所以他选中文艺书的

概率是7/12,在计算试验的结果总数时.使用了分类计数原理.假如使用

分步计数原理。以为共有5x7种结果.从而得出所求概率是品・未选择

选项D。那就答错了题。

4.A

5.B

因为-1,a,b,c,-9成等比数列，所以ac=b2="x(-9)=9,所以

ac=9,b=±3.又因为又a,b成等比数列,则a2=-b>0,所以b=-3.本

题主要考查等比数列、等比中项的概念及计算.应注意，只有同号的两

个数才有等比中项.

6.B

tan(A+B)=巩

由题已知A+B=n/4-tan/i•tanB即tanA+tanB=l-

tanA*tanB,(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanA*tanB=2

7.A

由IB意有a?=4,a=2,由双曲线的定义，可知

[IPF,I—I?F,II=2a=4.(卷案力A)

8.C

9.A

10.A

ll.D

12.C

C【斛析】(1。乐3-0gt3)(10^2+10^2)

=(十log»3+qlo&3)(log,2+十IOR,2)

(等10fc2)=}

【考点指要】本题考查对数的运算法则，由换底公式

的推论可算log.«M™-^-log,M.

13.A

注意区分子集、真子集的符号。因为U为实数集，S为偶数集，T为

奇数集，所以T(奇数集)在实数集U中的补集是偶数集S

14.B

15.D

【II析】归而A=s<nB,但sinA=sinB

16.A

17.A

•・・a=l/2Vl,・•.要求f(x)增区间必须使g(x)=x2.x+l是减区间,由函数

g(x)的图像(如图)可知它在(-8,1⑵上是减函数，且g(x)>0恒成

立，・・・f(x)在(-oo,1/2］是增函数.

18.A

19.A

20.A

5题答案图

AJ；O.76°u,a=0.76<1为减函数，

又TO.12>O,/.O.76OU<1

B/og^},a=〃>i为增函数,又

3

CJog.(a+l),因为a没有确定取值范围，分

OVaVI

«两种情况.

U<a

D..20M,a>j为增函数，233?>2。-3

21.D

22.D

23.A

24.D

25.C

设PCr.y)为所求克线上任一点,MP=Cr-3,y-2).

因为茄1°,所以有而•o3即Hx-3)+2(y-2)=0.

则所求存线方程为2z-r—4<0.(答案为C)

26.C

27.A

A”桥：每个*!gat：可分配3名志!夕可分配I名七思，芳第一个场or分版3分6区*.

司所帚个修«r只.摹分配］今点d*i看编一八播忸分配网个*wiq分配i-2多上ie

青;若第个看值分配1，志愿履，刷新内个看馅可分配】■，冬去图£秋分m“w，c：G*c；(c：♦

cli♦ci(cJ»d»d)-iM.

28.B

RII新他、”2«交声/母?).科.力-2」机*11线方H为，.：；

l3»-2y+S“I24/4

—)2射♦4>+25=a

2

29.C

30.A

31.

由"+4?得(1)・y-4•即jr—logt(厂4),

即函数v=3,+4的反函数是y=1og+(工―4)(£>4).(答案为>=log|(x-4)(jr>4))

32.

{x|0<x<2}

|x-1kl=>-l<x-l<l=>0<x<2,故不等式IX-1|<1的解集为{x|0<x<2}.

33.

异面真线BC"与DC的距离为正方体面对角线的一半.即为卷(答案为

34.

35.x+2y-7=0设线段的垂直平分线上任-点为P(x,y),

划IPAI=|PBI•即

/[i-(-1)了+1y-(-1)]"./1―3)，+(y-7〉'.

磬理博.i+2y—7・0・

36.

1

~2

37.

13.2

38.

39-=。

40.

1.216・«：*丁制击次“年中的・卓为I乐真修■次,的■机费*x的分布

X121

PataswOit0.2*02»OS

ME(D«IX<t8<2MOL16*3«O.U32«1.216.

41.

42.

43.

在5把外形趋本相同的胡匙中有2把能打开房门,今任取二把,则能打开房门的概率为

P="2■看出案为苗

44.

45.答案:1

：lr+4y-5=0=>y=—1-1+仔■

4«<-^<，XT6Al6-VT，.

y=~^------------^25------------k

4X|6

是开口向上的抛物战.顶点坐标(一点.

当二尤).有最小值1.

4。

46.

47.

由/(log.10)=a喧"7=aW.。-|=¥=+.得a=20.(答案为20)

9

48.

49.

50.

51.

(1)设等差数列I。」的公差为乙由已知%+/=0,得

2a,+W=0.又已知％=9.所以d=-2.

效列|a.|的通项公式为a.=9-2(n-l)・BPa.=11-2n.

(2)数列la」的前n项和

S.=~(9+I-2n)=-n1+lOn=—(n—5)J+25.

当。=5时.S,取得最大值25.

52.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

Q-d,Q,a+d.其中a>0,d>0,

则(Q+d)2=a+(a-d)?.

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d-\.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差J=1.

(U)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

=3+(n-1),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100项为102.

(23)解：(I)](4)=4--4%,

"2)=24,

53.

所求切线方程为y-11=24(#-2),即24彳7-37=0.”•…6分

(口)令/(封=0,解得

*1=-1,X2=0,X3=1.

当X变化时/(X)4幻的变化情况如下表：

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1.+«)

/(«)-00-0

232Z

人外的单调增区间为(-1,0),(1,+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

54.

本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

(2x2-¥y2-4x-10=0

根据膜意.先解方程组，/.

ly=2^-2

得两曲线交点为｛；：；,1I：2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线了=士多

这两个方程也可以写成(-二=0

94

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为=0

9«4k

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

9k=6'

所以k=4

所求双曲线方程为W-£=1

JO1O

55.解

设山高S=x则Ri△仞C中,4>=*cota.

RtABDC中,BD=xco(^9

禽为48=AD—RD.所以a=xccta-xcoU3所以公=--------

cota_8lfl

答:山离为一-~~冰

cola-cotp

56.

(1)由已知得“#0，与：=/，

所以la.l是以2为首项.十为公比的等比数列.

所以a.=2(打,即A=占.-6分

(n)由已知可得管=^^^~",所以你=俗’

,_T

解得n=6.……12分

57.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为丫元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—lOx)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润丫取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

58.

由已知可得A=75。.

又疝175°=8in(450+30°)=8in45°cos30°+M*45osin30°=一...4分

在△ABC中，由正弦定理得

ACBCB网.......8分

^45°=sin75"-sin60°,

所以AC=16.M=86+8........12分

59.

_/*(*)=3xz-6x=3x(x-2)

令/(x)=0,彻驻点4=。,町=2

当x<0时/(x)>0；

当8<工<2时。工)<0

.•.x=Q是Ax)的极大值点,极大值〃°)="*

.-.AO=m也是最大值

m=5,X/l(-2)=m-20

f(2)=m-4

・・/(-2)=-15JX2)=1

:.函数，G在［-2,2］上的最小值为〃-2)=-15.

60.

因为，+J-b；=oc.所以色卢旦

解

24.2ac

即c«8="，而8为内角，

所以B=60°.又♦lo^sinC=-!所以sin4•sinC=：.

My[<»6（4-C）-co»（A+C）]=^-.

所以cos（4-C）-ca»l20°=y,HPco»（4-C）=0

所以4-C=90。或4-C=-90。.又4+C=120。，

解得X«105°,C«15°；«4=15°,C=105°.

因为S44M：=^oArinC=2/?JfiiivlsinBsinC

-2R3.一：/.亨.会件=号时

所以如.所以R=2

4

所以a=2/{airt4=2x2xsinlOS0=（而♦&）（cm）

b=2RnmB=2x2xwn600=24（cm）

c=2丽nC=2x2x»inl5°=（乃-⑨（cm）

或a=（痛-&）（cm）b=2cm）c=（笈+0）（cm）

独.=由长分别为（耳♦互）cm2Arm、（&-々）cm,它们的对角依次为：105。,60。15。,

61.

*人行/♦/塞示BI的丸•东外景;•'*4>0

岬-专丹<・<”

4(12)♦八0

W->♦-♦«>(>.IfK：・，K

绘上.・妁・的数用兄(一尊,¥).

62.

【参考答案】（I）原不等式为，1.两边

平方可解得了2十.

1x1（工）1）,

（口）由（1）可知内力-«

JU（*<T）-

r（x>y）.

."（工…

I~x

（ID）当心方时.函数FU）的最小值为十，当xV

•时.巨力>"1".故函数F（H）的最小值为

63.解析：（I）在APAC中，由已知利用余弦定理得因为平面PAC_L

平面ABC,

AC=/PA2+PC2-2PA・PC•cos60°=

Ga，NPAC=9，

所以PA_L平面ABC,所以PA_LAB.

(II)作AE_LBD于E连PE,PA_LBD所以.BD_L平面PAE,贝!|PE

_LBD,所以NPEA是二面角P—BD—A的平面角因为RtAAED相

似RtABCD所以AE/BC=AD/BD

BD=^a:+（^y«）=YU,

国,,

AD•BC2ay/2l

tinA£=---------------------------a・

.I3DH7

~2tt

AtanNPEA-器=JL=•

-a

即NPEA=arclan

（111）过A作AH_LPE于H.BDlAHdlK0）

证知》.所以八"_[_平面PBD.

由射影定理可得

“口PA•AE730

AH=-PE--io-*4-

64.（I）F（X）=3X2+1>0,

故函数在R上单调递增，故其单调区间为R.

（n）4-a=春,6=上则有

44

Z（T）=T+T-1<0,/（^）=H+T-1>0,

又由于函数在R上单调递增,故其在（3•母）内存在零点，

且―"一十一十〈。.5悟案不唯一）.

65.圆锥的曲面沿着母线剪开，展开成一个平面（如下图），其半径

VP=3,弧长=2型1=2兀的扇形，

•・•圆锥的底面半径为1,于是围绕圆锥的最短路线对应于扇形内是Pi

到P2的最短距离，就是弦P1P2,由V到这条路线的最短距离是图中

的线段h=AV,依据弧长公式27r=20x3,得。=兀/3,.二

h=3cos0=3xcos7t/3=3/2

解由已知，椭圆的长轴长2a=2O

设IPFJnm/PN=n，由椭圆的定义知,m+n=2O①

又c2=100-64=36,。=6,所以尸1（-6.0）.，式6,0）且尸|吊1二12

在△尸入生中，由余弦定理得