椭圆题型归纳（基础版）解析

椭圆题型归纳（基础版）题型：椭圆的标准方程1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点分别为，，且经过点；（2）经过点，；（3）经过点，且与椭圆有相同的焦点；【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为．方法1：由椭圆的定义知，所以．又，所以，所以所求椭圆的标准方程为．（2）设椭圆的一般方程为．将点，代入一般方程，得，解得，，所以所求椭圆的标准方程为．（3）设所求椭圆的方程为，将点M的坐标代入可得，解得舍去．故所求椭圆的标准方程为2、方程化简的结果是。【详解】∵方程，表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果．3、已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于。【详解】解：椭圆的焦点在轴上，，即，且，，，又焦距为4，，得题型：椭圆的定义1、下列说法正确的是（）A．到点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．到点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆【解析】对于选项，，故到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；对于选项，到点的距离之和等于6的点的轨迹不存在，所以该选项错误；对于选项，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，所以该选项正确；对于选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．故选：C题型：椭圆的几何性质1、已知椭圆C1:x2100+y264=解析：由椭圆C1:x2100+y2642、如图把椭圆的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.

【解析】由已知得，如图，是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，，，又，∴．故答案为35．3、设AB是椭圆x2a2+y2b2=线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是()a a a a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.3、已知椭圆x23+y22=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为x23+y22=1,其中则c=3-2=1,则F1(1,0),F2(1,0),B1(0,2),B2(0,2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=则S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1|=24、若点P(a,1)在椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，则a的取值范围为()解析：由题意知eq\f(a2,2)＋eq\f(1,3)>1，即a2>eq\f(4,3)，解得a>eq\f(2\r(3),3)或a<－eq\f(2\r(3),3).5、在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则__．【解析】由椭圆方程得：，，．三角形顶点和，顶点在椭圆上，，由正弦定理可知6、已知椭圆的焦距等于，则实数的值为。【详解】若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得；若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得．综上，知所求实数的值为3或5.7、若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则实数的值为______，焦点坐标为______.【详解】若，则，得（舍去）；若，则，解得或1（舍去），所以，所以焦点坐标为.故答案为：9；.题型：椭圆的离心率A、简单求离心率问题1、椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以解析：如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=|F1F2|2-|NF2∴3c+c=2a,∴a=(3+1)c2.2、椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以解析:根据等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即ca=e=22.3、设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,解析：由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴|PF2|=2×32a-c=∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a2c=2c,∴e=ca4、椭圆的焦点为，是上一点，若，则该椭圆的离心率为。【详解】在中，，设，则，，又由椭圆定义可知，则离心率求离心率的取值范围题C、求离心率相同的椭圆方程1、过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为。【详解】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率，可设所求椭圆的方程为，又由椭圆过点，代入椭圆的方程，可得，解得，即所求椭圆的方程为，即2、与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．【详解】方法一∵，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为，则，从而，又，∴m2＝8，n2＝6.∴所求椭圆的标准方程为.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为，则，且，解得，故所求椭圆的标准方程为，故答案为：或3、已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点，（1）求椭圆的方程.（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，∴，∴，∴，∴椭圆方程为；（2）设，由，得，∴，设中点为，则，∴．又，∴的垂直平分线方程为，即．题型：椭圆的轨迹方程A、定义法已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解析：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8可知点B(－4,0)，C(4,0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2A的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．2、如果平面上动点满足：，则动点的轨迹的标准方程为______【答案】【详解】题中所给的方程即：，结合点到直线距离公式可得该式的几何意义即点M到定点的距离与到定点的距离之和为定值10，由于，故该该轨迹方程为椭圆，其中椭圆焦点位于轴上，且，故，据此可知动点的轨迹的标准方程为.故答案为．B、换元法如图，设定点A(6,2)，P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．解设M(x，y)，P(x1，y1)．∵M为线段AP的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－6，,y1＝2y－2，))又∵eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),9)＝1，∴点M的轨迹方程为eq\f(x－32,25)＋eq\f(y－12,9)＝eq\f(1,4)C、由圆的相切得到1、已知圆：，定点，动圆过点，且与圆相内切，那么点的轨迹的方程为________.【详解】由题意，动圆M的半径为，圆的圆心，半径，且圆与圆相内切，∴，即动点到两定点、的距离之和为定值，且大于，有，，∴根据椭圆定义知：M的轨迹C为，故答案为：.2、点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹解析：方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径rM与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆a=4，c=3，方程为3、已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．解析：由题意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，设M(x，y)，半径为R，则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，故|MC1|＋|MC2|＝10，由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2M的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.代数法1、在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．【详解】设，则，化简得.所以，顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)．题型：椭圆焦点所在的位置判断1、对于方程，（1）若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；（2）若该方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；（3）若该方程表示椭圆，求实数m的取值范围．解析：（1）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(2，10)．由题意可知，解得且，故实数m的取值范围为(－6，2)∪(2，10)2、点是椭圆的一个焦点，则实数m的值为________．【详解】依题意，知椭圆的焦点在y轴上，∴，且，∴，解得（舍）或，∴.故答案为：3．题型：椭圆焦点三角形的周长问题1、已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．（1）若点P到焦点F1的距离等于1，求点P到焦点F2的距离，并求出△PF1F2的周长；（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，求的周长为；（3）若，求点P到焦点F1的距离．（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得．2、设，分别是椭圆的左､右点，过的直线与椭圆相交于､两点，且，，成等差数列.（1）求的周长.（2）求的长.【详解】（1）根据椭圆的定义及题中椭圆的标准方程可得：的周长为，；成等差数列，，又；3、已知点，椭圆与直线交于点，，则的周长为。【详解】设椭圆的左焦点为，由题意得与是椭圆的焦点，则直线过椭圆的左焦点，且，所以的周长为题型：椭圆中距离的最值问题1、已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值的取值范围。【解析】由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以2、已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为。【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．3、已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为___________．【详解】解：如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，则，∴的最小值为．故答案为：．4、（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值；（2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值．【详解】（1）∵，，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴的最大值为100．（2）设为椭圆的右焦点，可化为，由已知，得，∴，∴．①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是．②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是．综上，可知的最大值为，最小值为．题型：直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系1、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋m取何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点．【详解】直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.（1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．（2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（3）当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．2、若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）【详解】因为直线和圆没有交点，所以，即，所以，即点在椭圆内，所以过点的直线与椭圆的交点个数为个3、已知直线过点，椭圆：，则直线与椭圆的交点个数为（）【详解】因为，所以点在椭圆的内部，而直线过点，直线与椭圆相交，交点个数为24、直线与椭圆的位置关系是（）【详解】解：根据题意得直线过定点，由于点在椭圆内，故直线与椭圆的位置关系是相交关系.根据直线与圆的位置关系求参数1、已知椭圆的焦点坐标为、，且点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设是直线上一点，过点作两条斜率之积为的直线、，且直线、均与椭圆只有一个公共点，求的坐标.【详解】（1）因为在椭圆上，所以或（舍），所以，椭圆的方程为；（2）如图，设，设、的斜率分别为、，则、的方程为（其中、），由，得，①关于的方程①的判别式，化简得，②关于的方程②有两个实根、分别是切线、的斜率，又，故，解得，所以或.C、椭圆上点到直线的最小最大距离1、已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为。【详解】设直线与椭圆相切，由得，∴，，切线方程为和，与距离较规远的是，∴所求最大距离为．2、已知点P是椭圆上任意一点，则当点P到直线的距离达到最小值时，此时P点的坐标为______．【详解】设直线：，当直线与椭圆相切时，其中一个切点到直线的距离最小，故联立，整理得，相切时，易知当时点到直线的距离最小，代入中，解得，代入中，解得，故点坐标为.故答案为：.3、已知椭圆＋＝1过点M(2，1)，O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)．（1）当m＝4时，判断直线l与椭圆的位置关系；（2）当m＝4时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值．【详解】(1)由题可知，，当m＝4时，直线l的方程为y＝x＋4，由，整理得x2＋8x＋28＝0.∵Δ＝64－4×28＜0，∴原方程组无解，即直线l和椭圆无交点，此时直线l和椭圆相离．(2)设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，设直线a的方程为y＝x＋b，联立，整理得x2＋2bx＋2b2－4＝0，∴Δ＝(2b)2－4(2b2－4)＝0，解得b＝±2，∴直线a的方程为y＝xx2y±4=0，所求P到直线l:x2y+8=0的最小距离等于直线l到直线x2y+4=0的距离，此时d＝＝.4、已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A（0，1），点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.【详解】（1）依题意，离心率，所以，所以椭圆方程为.（2）设，则，.由两点间的距离公式得，所以当，时，的最大值为.5、已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为,过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，的周长为，椭圆上一点与连线的斜率之积（点不是左右顶点）.（1）求该椭圆方程；（2）已知定点,求椭圆上动点N与M点距离的最大值.【详解】（1）如图,由的周长为8,得,即.,,设,则.又,得,即,.则椭圆方程为:.（2）设椭圆上,又,.则当时,.即求椭圆上动点N与M点距离的最大值为题型：求相交弦的长度A、求相交弦的弦长1、直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（）【详解】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝B、已知弦长求相交弦方程1、已知椭圆(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.（1）求椭圆的方程；（2）若|MN|＝，求直线MN的方程．【详解】（1）由题意，，解得，∴椭圆方程为.（2）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)，代入椭圆方程,整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，且Δ＝24－24k2>0，得k2<1.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则，，解得，满足k2<1，∴所求直线方程为．2、已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于､两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程。【详解】（1）因为点到椭圆的右焦点的距离为2，所以，所以，又因为圆配方得：，所以，因为圆心在椭圆上，所以，所以：，，所以椭圆的方程为：；（2）因为过点作直线交椭圆于A，两点，若直线的斜率不存在，椭圆于上下顶点，此时，不合题意；故直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立得，，设，由韦达定理得：，，所以，解得：，即，所以直线的方程为；题型：椭圆中的定值问题A、定值题1、已知椭圆的焦距为，且长轴长与短轴长之比为.（1）求椭圆方程；（2）若不与坐标轴平行的直线与椭圆相切于点，为坐标原点，求直线与直线的斜率之积.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，且，又解得：，所以所求椭圆的方程为.（2）由题意：可设的方程为(存在且)与椭圆联立消去可得由直线与椭圆相切，可设切点为由判别式，整理得：.解得，因此，直线的斜率为，而直线的斜率为，即直线与直线的斜率之积为.2、已知椭圆：的右焦点，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）点是坐标原点，若直线与椭圆相切，过作，垂足为，求证：为定值.【详解】（1）解：由题意知，设椭圆的方程为，可得，解得，，椭圆的方程为；（2）证明：当直线过椭圆长轴两个顶点时，与顶点重合，此时；当直线过椭圆短轴两个顶点时，可得；当直线不过椭圆顶点时，设切线方程为，联立，得．由，得．，且，所在直线方程为，联立，解得，．故为定值2．3、设椭圆的离心率为，且与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）若在轴上的截距为的直线与椭圆分别交于、两点，为坐标原点，且直线、的斜率之和等于，求直线的方程．【详解】解：（1）由有，，则椭圆方程为，整理为：，联立方程，消去得，故有，解得．故所求椭圆方程为：；（2）若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立，由或，所以，，则，解得，故直线的方程为．4、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.【详解】设，且，则，（1），（2）得：，，.又，，（定值）5、已知椭圆，离心率为，短轴长为．为椭圆的左右顶点，P为椭圆上任一点（不同于），直线分别与直线交于两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若F为椭圆右焦点，试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．【详解】（1），，，椭圆方程为：（2）由（1）可得：，设，设，联立方程解得：，同理：设，联立方程可得：，，，，，在椭圆上，所以，，，所以为定值B、定点题1、已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点.（1）求的方程;（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.【详解】（1）由题意可得，解得：或(舍），故椭圆的方程为.（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；当的斜率都存在且不为时，设，设，联立，整理得，，则，所以的中点同理由，可得的中点，则所以直线的方程为化简得故直线恒过定点.综上，直线过定点2、已知椭圆C：（）的焦距为，且过点.（1）求椭圆方程；（2）设直线l：（）交椭圆C于A，B两点，且线段的中点M在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点N.【详解】（1）椭圆过点，即，又，得，所以，，即椭圆方程为；（2）由，得，设，，则，设的中点M为，得，即，所以.所以的中垂线方程为，即，故的中垂线恒过点.题型：求三角形的面积求面积1、已知椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）斜率为l的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为，求△的面积．【详解】（1）由题意，，解得，故椭圆的方程.（2）令为，则中垂线方程为，联立与椭圆方程得：，整理得，若，则，，∴，又在中垂线上，∴，可得，即，，∴，又到的距离，∴.2、一动圆过定点，且与定圆相切，（1）求动圆圆心的轨迹E的方程．（2）直线l经过点A且不与x轴重合，l与轨迹E相交于P、Q两点，求的面积的最大值．【详解】（1）设动圆圆心为，半径为R．定圆C的圆心，半径为4.点A的圆C内．，且，轨迹E是以C、A为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：.（2）设l的方程为：，代入，得，设，则，，，，令，则在为增函数，，即时，取最大值3.3、已知椭圆的左、右焦点分别为、，若在椭圆上存在点使得，且的面积是2，则该椭圆的长轴长为__________.【详解】根据椭圆定义知，由，得为直角三角形，，又的面积为2，，则，，可得，由可得，即，，即.故答案为：.4、如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积．【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，则由已知得，，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．（2）在中，．由余弦定理，得，即，所以，所以．求面积的最值1、已知椭圆，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值．【详解】解：（1）由椭圆的性质可知，，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，所以椭圆方程为，（2）由题意分析可知直线l的斜率不能为零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程为x=my+1，联立方程，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0，△=36m2+36(3m2+4)>0，∴，，∴所以当且仅当m=0时|y1﹣y2|取到最大值3，≤3，即三角形ABF1面积的最大值为3．2、已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为，，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8.（1）求的标准方程.（2）过上的动点作的切线，过原点作于点.问：是否存在直线，使得的面积为1？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【详解】（1）设与轴的交点为，由题意可知，则，当过右焦点时，的周长取最大值，所以，且，所以椭圆的方程为.（2）不存在直线，使得的面积为1.理由如下.显然直线斜率存在且不为0，设直线：，联立方程组得，由，得，所以，因为直线，所以直线的方程为，由，得，所以.又，所以，当且仅当时成立.因此不存在直线，使得的面积为1.3、已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动时，求的最大值；【详解】如图所示，设是左焦点，则，，而．∴,当点F1在线段AM上时，等号成立，即的最大值为．C、已知面积，求直线方程1、已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．【详解】（1）由题意可得，解得：故椭圆C的标准方程为.（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为联立，整理得,则，故,因为的面积为,所以，设，则整理得，解得或（舍去），即.故直线的方程为，即.2、如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知经过的直线与曲线相交于两点，当面积为，求直线的方程【详解】（1）依题意可知，，则，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长的椭圆.因为，，则，所以曲线的方程为.（2）依题意设的方程为，代入得.设，，则，则的面积，解得，即.所以的方程为，即或.D、已知面积，求点的个数1、直线：与椭圆相交于、两点，点是椭圆上的一点，若三角形的面积为12，则满足条件的点的个数为。【详解】由已知可得，，，由，可得到的距离．作与平行的直线，使与椭圆相切，设直线的方程为，把的方程代入椭圆方程化简可得，由△，或，故直线的方程为，或．因为与的距离为，与的距离为．故这样的点共有2个2、设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为()【详解】由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．题型：求中点弦求中点弦1、以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是。【详解】设过点的直线交椭圆于，两点，则，两式相减得，因为，，，两边同时除以得，得，所以直线方程为，即.2、椭圆C：(的离心率为，是椭圆上一点.（1）求椭圆C的方程；（2）为椭圆C的左､右焦点，过焦点的弦中点为，求弦的长.【详解】(1)椭圆半焦点c，离心率e，依题意有，即，又，联立解得，所以椭圆C的方程为；(2)由(1)知，又过的椭圆C的弦中点为，则直线AB斜率为，直线AB：，由消去y得：，即，设，于是得，而，即，解得，从而得，，所以弦的长为.B、求弦的中点1、直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是（）解析联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故AB的中点横坐标x0＝＝－.纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.2、已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3，所以，所以，所以椭圆C的方程为设，由可得，所以，所以线段AB的中点坐标为C、求斜率1、已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（）【详解】设，因为都在椭圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，，所以2、椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（）【详解】解：根据题意，设以点为中点弦的两端点为，，，，则有，两式相减得可得：，变形可得：，又由点为的中点，则有，，则有，即以点为中点的弦所在直线斜率为D、求椭圆的方程1、已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）【详解】设，则，，则，两式相减得：，∴===，又==，∴，联立，得.∴椭圆方程为.2、已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.【详解】设，则，且①，②，由直线的倾斜角为得直线的斜率为，①②得：，，，③，又，④，而⑤，由③④⑤可得，所求椭圆方程为3、已知椭圆，其右焦点为，直线交椭圆于两点，交轴于点，线段中点为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，求的最小值及取得最小值时点的坐标.【详解】（1）设，，中点为，，由得：，，即.右焦点，，，，椭圆的方程为：.（2）由题意得：.设，则，，当时，，此时或.求离心率1、已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则椭圆的离心率为（）【详解】设，，则，，两式作差整理可得：，，，即，2、已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）【详解】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率弦中点的轨迹方程1、直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，求动点的轨迹方