人教A版必修时函数奇偶性的定义及判定课件

3.2.2奇偶性学习目标1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义,培养数学抽象的核心素养.2.能判断函数的奇偶性,能利用奇偶函数的定义和图象解题,发展直观想象的核心素养.3.掌握奇偶性与单调性的综合运用,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.第1课时函数奇偶性的定义及判定知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究情境导入罗素说过:“数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面,至少可与其他任何一种文化门类媲美.”对称美是数学美一个方面,一些数学算式具有对称性,例如1×1=1,11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321.一些函数的图象也具有对称性.探究:(1)举出一个函数,其图象关于y轴对称;答案:(1)y=x2.(2)举出一个函数,其图象关于原点对称;(3)点(x,y)关于y轴对称的点与关于原点对称的点的坐标各是什么?答案:(3)(-x,y),(-x,-y).知识探究函数的奇偶性函数偶函数奇函数条件一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I

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.结论函数f(x)是偶函数函数f(x)是奇函数图象性质关于

对称关于

对称f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点思考:若函数y=f(x),x∈(-2,a)是奇函数,则a=

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提示:2师生互动·合作探究探究点一函数奇偶性的判定[例1]判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x4+2x2;解:(1)函数f(x)的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;解:(2)函数f(x)=|x+1|-|x-1|的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.[例1]判断下列函数的奇偶性.解:(3)函数f(x)的定义域为I={-1,1},因为∀x∈I,-x∈I,且f(1)=f(-1)=0,故f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.解:(4)因为f(1)=0,f(-1)没有意义,所以f(x)是非奇非偶函数.方法总结根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤(1)求出函数f(x)的定义域I.(2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步.(3)∀x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.提醒:(1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式.(2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数.针对训练1:判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;解:(2)函数f(x)=|x+1|+|x-1|的定义域为R,因为∀x∈R,-x∈R,且f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以函数f(x)为偶函数.针对训练1:判断下列函数的奇偶性.针对训练1:判断下列函数的奇偶性.探究点二利用奇偶函数图象解题[例2]如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.解:法一因为函数f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,补全图象如图.由图象可知f(1)<f(3).法二由题图可知f(-1)<f(-3).又函数y=f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).所以f(1)<f(3).方法总结涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题.针对训练2:只将本例中的“偶”改为“奇”呢?解:法一因为函数f(x)是奇函数,所以其图象关于原点对称,补全图象如图.由图象可知f(1)>f(3).法二由图象可知f(-1)<f(-3).又函数y=f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3),所以-f(1)<-f(3).所以f(1)>f(3).探究点三利用函数的奇偶性求参数[例3]已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].(1)求m,n的值;[例3]已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.方法总结(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是关于x的恒等式求解.(3)若函数y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.(4)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=0.学海拾贝抽象函数的奇偶性典例探究:已知y=f(x-1)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴是(

)解析:因为y=f(x-1)是偶函数,则y=f(x-1)的对称轴为直线x=0,将函数y=f(x-1)的图象向左平移1个单位长度可得y=f(x)的图象,所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=-1.故选C.当堂检测CCD解析:A中函数是奇函数,B中函数是偶函数,C中函数解析式不满足f(x)=f(-x),f(x)=-f(-x),D中函数定义域不关于原点对称,因此C,D中函数不具有奇偶性.故选CD.3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为

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答案:-2答案:-2备用例题[例2]若函数y=f(x)的定义域为[0,1],则下列函数中可能是偶函数的是(

)A.y=-f(x) B.y=f(3x)C.y=f(-x) D.y=f(x2)[例3]函数f(x)=x3-3x2的对称中心是(

)A.(1,2) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(-1,2)解析:根据题意,依次分析选项.对于A,若函数f(x)=x3-3x2的对称中心是(1,2),则有f(1-x)+f(1+x)=4恒成立,即(1-x)3-3(1-x)2+(1+x)3-3(1+x)2=4,变形可得该等式不成立,故A错误;对于B,若函数f(x)=x3-3x2的对称中心是(-1,-2),则有f(-1-x)+f(-1+x)=-4恒成立,即(-1-x)3-3(-1-x)2+(-1+x)3-3(-1+x)2=-4,变形可得该等式不成立,故B错误;对于C,若函数f(x)=x3-3x2的对称中心是(1,-2),则有f(1-x)+f(1+x)=-4恒成立,即(1-x)3-3(1-x)2