河南省新乡市新乡县新时代学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题（B卷）

新时代学校九年级数学第二次知识点汇总（120分，100分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）1.下列关于x的方程有实数根的是（）A.x2－x＋1＝0 B.x2＋x＋1＝0C.(x－1)(x＋2)＝0 D.(x－1)2＋1＝0【答案】C【解析】【分析】对于一元二次方程根的判别式=：＞0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时；方程有两个相等的实数根；＜0时，方程没有实数根．【详解】A．x2－x＋1＝0中=，所以方程没有实数根；B．x2＋x＋1＝0中=，所以方程没有实数根；C．(x－1)(x＋2)＝0可用因式分解法解x－1=0或x+2=0，所以方程解为x=1或x=－2；D．(x－1)2＋1＝0，移项得，(x－1)2=－1，任何实数的平方都不可能是负数，所以方程无解．故选C．考点：一元二次方程根的判断．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．2.把抛物线y＝－x2向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）．A.y＝－(x－1)2+3 B.y＝－(x+1)2+3C.y＝－(x－1)2－3 D.y＝－(x+1)2－3【答案】C【解析】【分析】根据函数图像平移口诀“左加右减，上加下减”可得出答案.【详解】把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移3个单位可得：，故选C【点睛】本题考查二次函数图像平移，熟记平移口诀，掌握函数图像平移方法是关键.3.如果不为零的n是关于x的方程的根，那么的值为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】把x=n代入，在等式两边同除以n，即可求解．【详解】解：把x=n代入，得：，∵n≠0，∴，即：=1，故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义以及等式的基本性质，掌握“使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解”是解题的关键．4.若函数是二次函数，则m的值是（）A.2 B.-1或3 C.-1 D.3【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的一般形式，可列出方程和不等式，计算即可．【详解】根据题意得：解得：m=3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数一般形式满足的条件是解题的关键．5.若a，b是方程的两根，则（）A.2016 B.2017 C.2014 D.2019【答案】C【解析】【分析】利用根与系数的关系，推出a＋b的值，然后求解即可．【详解】解：a，b是方程的两根，，，故选：C．【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（）A. B.且C. D.且【答案】C【解析】【分析】分类讨论：当时，方程为一元一次方程，有解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况就看得到的取值范围．【详解】解：当时，，解得；当时，，解得且，所以的取值范围为．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．7.已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m≤5 B.m≥2 C.m＜5 D.m＞2【答案】A【解析】【分析】由题意可知△=(-1)2-4×1×(m-1)≥0，解不等式即可求得m的取值范围.【详解】∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=(-1)2-4×1×(m-1)≥0，解得：m≤5，故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与△=b2-4ac的关系，△>0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个交点；△=0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；△<0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.8.已知抛物线，若点与点Q关于该抛物线对称轴对称，则点Q的坐标是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据抛物线的解析式求出其对称轴为，然后利用抛物线的对称性求解即可．【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为，∵点与点Q关于该抛物线的对称轴对称，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线的对称性．9.已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，则，，，故，故①错误；当时，，即，当时，，即，故②错误；当时函数值小于0，，且，即，代入得，得，故④正确；当时，的值最大．此时，，而当时，，所以，故，即，故⑤正确．综上所述，③④⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．10.已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口、对称轴与y轴的关系以及与y轴的交点即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴与负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交原点，∴a＜0，b＞0，c＝0，∴一次函数图象应该过第一、三象限，B错误；C、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴与负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴正半轴，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，D错误．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b、c的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）11.有下列函数：①y=1﹣x2；②y=；③y=x（x﹣3）；④y=ax2+bx+c；⑤y=2x+1．其中，是二次函数的有______（填序号）【答案】①③【解析】【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．①是二次函数；②分母含字母，不是二次函数；③可化为二次函数；④二次项系数的值不确定，不能确定是二次函数；⑤是一次函数．【详解】解：①y=1﹣x2；②y=，是反比例函数；③y=x（x﹣3）；④y=ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y=2x+1，是一次函数．其中，是二次函数有：①y=1﹣x2；③y=x（x﹣3）．故答案为：①③．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．12.已知，是一元二次方程两个实数根，则的值为______．【答案】10【解析】【分析】先将通分变形为，然后根据一元二次方程根与系数的关系代入和的值即可．【详解】解：∵，是一元二次方程两个实数根，∴，，∴原式故答案为：10．【点睛】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，将原式进行变形是解题关键．13.已知的值为，则代数式的值为________．【答案】【解析】【分析】由x2+3x+5=11得出x2+3x=6，代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可【详解】解：∵x2+3x+5值为11∴x2+3x=6,∴3(x2+3x)=18，∴3x2+9x+12，=3(x2+3x)+12，=3×6+12，=30.【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用．14.已知，点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，以及二次函数对称的性质即可得出答案．【详解】∵，∴图象的开口向下，对称轴是直线，∴关于直线的对称点是，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的性质进行推理是解题的关键．15.已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是_____．【答案】4．【解析】【分析】把点P（m，n）代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，整理可得m+n＝﹣（m+1）2+4，利用二次函数的性质求解即可.【详解】∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，∴n＝﹣m2﹣3m+3，∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．故答案为4．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数求最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.三、解答题（本题共8小题，共75分）16.解方程：（1）（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）移项后，提取公因式，利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：因式分解，得，∴或，解得，；【小问2详解】解：移项并整理，得，因式分解，得，∴或，解得，．17.先化简再计算：，其中x是一元二次方程的正数根.【答案】.（或）.【解析】【分析】先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可．【详解】原式===．解方程x2﹣2x﹣2=0得：x1=1+＞0，x2=1﹣＜0，所以原式=．18.若是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：是方程的一个根，，，．19.已知关于的方程（）求证：无论取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．【答案】（1）见详解；（2）4和2【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m-3)2⩾0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；

(2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m+1）]2-4×2（m-1）=m2-6m+9=（m-3）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16-4（m+1）+2（m-1）=0，解得：m=5，∴原方程为x2-6x+8=0，解得：x1=2，x2=4．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，∴△=0，即m=3，此时方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，由于2+2=4，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边长度为4和2．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ⩾0时，方程有实数根”；(2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解．20.如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽度．【答案】道路宽度为1m【解析】【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（16-x）（10-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．【详解】解：原图经过平移转化如图所示，设道路宽为xm，根据题意，得，整理得：，解得：（不合题意，舍去），．则道路宽度为1m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．21.某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）【解析】【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）设，由题意有，解得，所以y关于x的函数解析式为；（2）由（1），又由表可得：，，．所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；（3）由题意，其对称轴，时上述函数单调递增，所以只有时周销售利润最大，．．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明根据已学的函数知识对函数的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下．0123442042（1）表中______，______；（2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系描点画出函数图象；并根据函数图象写出该函数的一条性质______________；（3）已知直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当时，直接写出的取值范围．【答案】（1）2，；（2）图像见详解，当x≥0时，y随着x的增大而减小；（3）x＜2且x≠−2【解析】分析】（1）把x=-1代入y1＝a=2，把x=3代入y1=，即可求解；（2）描点、连线画出函数图象，再写出一条函数的性质，即可；（3）根据图象直接写出答案即可．【详解】解：（1）把x=-1代入y1＝得：a=2，把x=3代入y1=得：b=，故答案是：2，；（2）函数图象如图：该函数的性质：当x≥0时，y随着x的增大而减小，故答案是：当x≥0时，y随着x的增大而减小；（3）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜2且x≠−2．【点睛】本题考查了函数图像上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．23.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）点M坐标（，）；（3）点Q坐标为（1，-）或（1，）或（1，）或（1，）．【解析】【分析】（1）在抛物线解析式中，令x=0可求得点C坐标，令y=0则可求得A、B的坐标；（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y=-x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM面积最大值时t的值，可求得点M坐标；