湖南省长沙外国语学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

长沙外国语学校九年级上人学考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形定义，找到一条直线，图形沿该直线折叠，两边可完全重合，则为轴对称图形．【详解】解：根据轴对称图形定义，可知图Ｃ中不存在一条直线，折叠后两边可重合；故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，判断能否找到对称轴是解题的关键．2.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．【详解】解：∵S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选B．【点睛】本题考查方差．3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．【详解】解：，，，，方程有两个不相等的实数根，，解得．故选：C．【点睛】本题考查根判别式，正确记忆一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．4.下列命题是真命题的是（）A.四边都是相等的四边形是矩形 B.菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；B、矩形的对角线相等，故错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选D．【点睛】熟练掌握特殊平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形．5.如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，根据矩形ABCD可得△ABE是等腰直角三角形，所以BE=AB=3，从而可求EC=1，连接DE，由勾股定理得DE的长，再根据三角形中位线定理可求FG的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=3，∵BC=AD=4，∴EC=1，连接DE，如图，∴DE=，∵点F、G分别为AD、AE的中点，∴FG=．故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理，熟记性质与定理是解题关键．6.在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A.x≥0 B.x＞0且x≠3 C.x≥0且x≠3 D.x＞0【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】根据题意得：x≥0且x﹣3≠0，解得：x≥0且x≠3．故选C．【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．7.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是（）A.2 B.2.4 C.2.5 D.3【答案】B【解析】【分析】在直角坐标系中利用勾股定理求出线段AB的长，然后利用面积相等的方法求得原点到线段AB的距离．【详解】解：在坐标系中，OA＝3，OB＝4，∴由勾股定理得：AB＝，设点O到线段AB的距离为h，∵S△ABO＝OA•OB＝AB•h，∴3×4＝5h，解得h＝2.4．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，利用面积相等求直角三角形的斜边上的高是常用的方法．8.已知抛物线y＝﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2019的值为()A.2018 B.2019 C.2020 D.2021【答案】C【解析】【分析】把(m，0)代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值即可；【详解】解：把(m，0)代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，所以m2﹣m＝1，所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020.故选：C.【点睛】本题主要考查了整体代入求值，掌握整体代入求值是解题的关键.9.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即．故选：A．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．10.如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象判断二次函数解析式中的参数取值，再判断一次函数图象即可．【详解】解：根据图象可知，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴，故，则一次函数为减函数，与轴交于正半轴，故D符合，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与解析式，一次函数的图象与解析式，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.已知m、n是关于x的方程x2+2x﹣1=0的两个不相等的实数根，则m+n=______．【答案】﹣2．【解析】【分析】由根与系数的关系求解即可．【详解】∵m、n是关于x的方程x2+2x﹣1=0的两个不相等的实数根，∴m+n=﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝．12.当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____．【答案】.【解析】【分析】根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；【详解】经过第二、三、四象限，∴，，∴，，∴，故答案为.【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．13.一次函数的图像与轴的交点坐标是__．【答案】【解析】【分析】令一次函数解析式中，则可得出关于的一元一次方程，解方程得出值，从而得出一次函数图像与轴的交点坐标．【详解】解：对于一次函数令，则有，解得，∴一次函数的图像与轴的交点坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点、解一元一次方程等知识，熟知一次函数图像上各点的坐标的特征是解答此题的关键．14.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于______.【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质可证≌,可将阴影部分面积转化为△AOB的面积，根据菱形的面积公式计算即可.【详解】四边形是菱形∴OC=OA，AB∥CD，∴∴≌(ASA)∴S△CFO=S△AOE∴S△CFO+S△EBO=S△AOB∴S△AOB=SABCD=×故答案为.【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为三角形AOB的面积为解题的关键.15.点关于x轴对称的点的坐标为________．【答案】(-2,-5)【解析】【分析】关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而可求解．【详解】解：由点关于轴对称点的坐标为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键．16.二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是_____．【答案】﹣0.5≤t≤4【解析】【分析】一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，即直线y＝2t与二次函数y＝x2+bx，在这个范围内有交点，则：y＝2t在顶点和x＝4时之间时，两个函数有交点，即可求解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点坐标为（1，﹣1），当x＝﹣1时，y＝3，当x＝4时，y＝8，∵一元二次方程x2+bx﹣2t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4的范围内有解，∴直线y＝2t与二次函数y＝x2+bx在﹣1＜x≤4范围内有交点，∴﹣1≤2t≤8，∴﹣0.5≤t≤4．故答案为：﹣0.5≤t≤4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．题目关键是把一元二次方程x2＋bx−2t＝0转化为直线y＝2t与二次函数y＝x2＋bx的交点．三、解答题（本大题共8个小题，共66分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】先化简二次根式，绝对值，计算负指数幂和零指数幂，再算加减法．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握各部分的化简和运算法则．18.解一元二次方程．【答案】【解析】【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．【详解】解：方程移项得：，配方得：，即，开方，得：，或，解得：.【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．19.为了调查学生每天的零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是______________；中位数是______________．（2）求这50名同学零花钱的平均数．【答案】（1）20；20（2）18元【解析】【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解，由图知，中位数为从小到大排列的第25，26个数的平均数；（2）根据加权平均数的定义求解．【小问1详解】解：出现次数最多数为20，故众数为20；数据个数为50个，中位数为从小到大排列的第25，26个数的平均数，由图知，第25，26个数均为20，故中位数为20.【小问2详解】解：（元）故平均数为：18【点睛】本题考查众数，中位数，加权平均数的定义和计算；理解相关定义是解题的关键．20.已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当时，取值范围为______．（直接写出答案）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，然后代入求出a的值即可；（2）由函数图象得：在的范围内，当时，y取最小值；当时，y取最大值0，可得答案．【小问1详解】解：抛物线的顶点坐标为，设这个二次函数的解析式为，把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为；【小问2详解】解：由函数图象得：在的范围内，当时，y取最小值；当时，y取最大值0，取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若菱形的周长为，，求的大小．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得（2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长．【小问1详解】证明：四边形为平行四边形，，即，，∴四边形为平行四边形，平分，，，，，，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：连接交于点；则于点，，，，∵菱形的周长为，，在中，，由勾股定理可得：，．【点睛】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，关键是利用这些性质和判定解决问题．22.为响应国家全民阅读的号召，望月湖社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2020年图书借阅总量的增长率与前两年相同，那么2019至2020年的人均借阅量增长率是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设从2017年至2019年的平均增长率为，根据两年的借阅总量列出方程，解之即可；（2）先算出2020年图书借阅总量，再算出2019年和2020年人均借阅量，继而计算增长率．【小问1详解】解：设从2017年至2019年的平均增长率为，由题意可得：，（舍），答：从2017年至2019年的平均增长率为；【小问2详解】由题意可得：2020年图书借阅总量为：（本），则2019年人均借阅量为：（本），2020年人均借阅量为：（本），∴，2019至2020年的人均借阅量增长率是．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出算式．23.某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如表：x10121416y300240180m（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为个，此时，获得日销售利润是．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．【答案】（1）y＝﹣30x+600；m的值为12