选修1-2高中数学2

2.2直接证明与间接证明

k知识

1.综合法的定义

利用和某些数学、、等，经过一系列的

,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.

2.综合法的特点

从“已知"看""，逐步推向“"，其逐步推理，是由导,

实际上是寻找“已知”的条件.

3.综合法的基本思路

用表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法的

推理形式为

IPnQi|-Qi-Qz]—IQznQ：]—>|

其逻辑依据是三段论式演绎推理.

4.分析法定义

从要证明的出发，逐步寻求使它成立的条件，直至最后，把要证明的结论归结为判

定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.

5.分析法的特点

分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“"，执果索因，逐步靠拢“”，其逐

步推理，实际上是要寻找“结论”的条件.

分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理.

6.分析法的基本思路

分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个

明显成立的条件.若用表示要证明的结论，则分析法的推理形式为

IP<=Pi|―|P1UP2I-|P2UP3I>得到一个明显成立的条件

7.分析法与综合法的区别与联系

(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法.分析法

便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来

运用效果会更好.

(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归

结为己被证明了的事实.因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就

是综合法.

(3)分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程,

表述简单，条理清楚.所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写

过程.

8.反证法的定义

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

,因此说明假设,从而证明了原命题,这样的证明方法叫做反证法.反证法

是间接证明的一种基本方法.

9.反证法证题的原理

(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.

(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确.

10.反证法常见的矛盾类型

(1)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与

定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等.矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的.

(2)反证法的适用对象

作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：

①直接证明需分多种情况的；

②结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；

③关于唯一性、存在性的命题：

④结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；

⑤条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容

易研究的命题.

K知识参考答案：

1.已知条件定义公理定理推理论证2.可知未知因果必要

3.PQ4.结论充分5.需知已知充分6.P

8.矛盾错误成立

重占

.产

K一重点综合法和分析法的思维过程及特点，反证法的特点

K—难点综合法和分析法的应用，反证法的应用

K一易错忽视隐含条件导致错误

-第鼠感&综合法的应用

1+1+<

跟n求证:log519log319log219,

【答案】见解析.

1,1

屏析】因为七

:323

所以左边=log155+21og193+31og192=log195+log193+log192=log19(5x3x2)=log19360.

111

因为log19360<logl5361=2,所以-―-+--+-―-<2.

log519log319log?19

【名师点睛】综合法的证明步骤如下：

(1)分析条件，选择方向：确定己知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等;

(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.

特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.学科@网

二’留置或&分析法的应用

当。+。>0时，求证：yja2+b2>(a+h).

【答案】见解析.

(解析】要证\Ja2+b2>与(a+»，只需证(5/解+>)2>8)『，

222222

即证a+b>-(a+b+2ab),即证a+b>2ab.

2

因为〃+〃之2出?对一切实数恒成立，所以2*(a+3成立.

综上所述，不等式得证.

【名师点睛】分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行

转化，直到获得一个显而易见的命题即可.

一留四点臼反证法的应用

|设数列｛4｝是公比为4的等比数列,

Sn是它的前〃项和.

（1）求证：数列｛S,,｝不是等比数列;

（2）数列｛S“｝是等差数列吗？为什么？

【答案】（I）见解析；（2）当4=1时，数列｛S“｝是等差数列，当时，｛S“｝不是等差数歹（I.

【解析】（I）方法1：（反证法）若｛SJ是等比数列，贝=s[H,

即a；（l+q）2=49（1+。+/）.

因为用工0,所以（l+q）2=l+q+g2,

即q=o,这与qxo矛盾，故｛S'｝不是等比数列.

方法2：只需证明S“S”+2WS,3，

因为S,+1=4+qS„,S“+2=%+qS,、+\,

所以S£+2一S；+|=Sn（Oj+qSn+l）-（a,+qSn）Sn+l=a｛⑸-5,用）=-q%+产0.

（2）当4=1时，｛S,』是等差数列.

当时，｛S,J不是等差数列，否则有百、S3成等差数列.即2s2=SI+S3，

所以2%（1+4）=%+q（1+夕+/）.

由于。尸0,所以2（l+q）=2+q+/,g=q2,

因为4H1,所以q=0,与qkO矛盾.

综上，当4=1时，数列｛S“｝是等差数列，当时，｛S“｝不是等差数列..

【名师点睛】应用反证法的注意事项：

（1）用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法.有时在证明命题“若P,则

q”的过程中，虽然否定了结论q,但是在证明过程中没有把“r”当作条件使用，也推出了矛盾或证得

了结论，那么这种证明过程不是反证法.

（2）用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或

已被证明了的结论相矛盾；②与假设矛盾；③与已知条件矛盾；④与公认的简单事实矛盾.

（3）矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的.

四）留易锢&忽视隐含条件导致错误

设4+。>0，〃为偶数，求证：专+

【错解】竺：+火」」=心丝叱上.

anb"aba"bn

♦.•〃为偶数，

rn-1w-1i[

又"/a"-b"和a"-'-b'-'同号，；----+----------->0，

anb"ab

.b"-'L、11

..---+---->—+-.

a"b"ab

【错因分析】这里题目中的条件为a+b>0,而不是因此,应分a>0且Z?>0和4功有一个

为负值两种情况加以讨论.

【正解】空+穹一—喧廿）.

ababab

①当a>01>0时，（/一b"Xa--广i）N（刈）*>0,（a”一bn\a^一6N）之0,（。6）”>0,

.-广i）、八.尸/二11

..>UH--.

ababab

②当a、匕中有一个为负值时，不妨设a>0力<0,5.a+b>0,.\a>\b\.

(ab)">0,an>hn>0,a"-'>0,h"-'<0,

故(相-b"-')八.b"-'an''11

a"-b">0,a'-'-b"-'>0,A〉€),•♦+>+

a"bna"bnab

，由①②知结论成立.

【名师点睛】审题过程中注意将条件等价转化，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件.

J已知a+0+c>0,ab+bc+ca>0>abc>0>求证：a>Q,b>0,c>0.

【错解】假设aWO，b<0,c<0>则a+/?+c40,abcWO与题设条件a+b+c>0,abc>0

矛盾....假设不成立，.•.原命题成立.

【错因分析】错解没有弄清原题待证的结论是什么，导致反设错误.“求证：”>0,b>0,c>0”的含义是“求

证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”.

【正解】证法1：假设。、从c中至少有一个不大于0,

不妨设a«0,若a<0,贝ij由abc>0,得bc<0,由a+6+c>0得，b+c>-a>0>

；.ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知帅+bc+ac>0矛盾.

又若a=0,贝"abc=0与abc>0矛盾.

故"aS(T不成立，「.a>0,同理可证b>04>0.

证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于a历>0,所以a、b、c中只能是两负一正，

不妨设a<0,b<0,c>0,,：ab+bc+ac>0,Aa(b+c)+bc>0,

•；bc<0,:.a(,b+c)>0,'：a<0,Ab+c<0,

a+b+c<0>这与a+b+c>0矛盾，故假设不成立，原结论成立.

即凡"c全为正实数.

好题

基砒

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证

明法；⑤分析法是逆推法.其中正确的表述有

A.2个B.3个

C.4个D.5个

2.用反证法证明命题：”三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是

A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度

C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度

3.要证明6+J弟+J石Z(aNO),可选择的方法有多种，其中最合理的是

A.综合法B.类比法

C.分析法D.归纳法

4.用反证法证明“如果a〉b,那么网>指”，假设的内容应是

A.y/a=\[bB.&i〈&且也=配

C.l[a<y/bD.=&或也<指

5.下列函数y(x)中，满足“对任意XI,X2G(0,4-00),当XIVX2时，都有/»)次X2)”的是

1,

A.«x)=—B./(x)=(x—

X

C.於)D.於)=ln(x+l)

6.用反证法证明命题“设。力为实数，则方程/+公+人=。至少有一个实根”时，要做的假设是

A.方程/+必+8=o没有实根B.方程元之+公+匕=()至多有一个实根

C.方程X2+以+匕=。至多有两个实根D.方程/+以+力=。恰好有两个实根

7.用反证法证明命题"a,bwN,如果仍可以被5整除，那么。，b至少有1个能被5整除.”假设的内

容是

A.人都能被5整除B.匕都不能被5整除

C.。不能被5整除D.。，b有1个不能被5整除

8.对一切实数x,不等式d+HM+lNO恒成立，则实数〃的取值范围是

A.(-co,-2]B.[—2,2]

C.[-2,+oo)D.[0,+oo)

9.V3-V20—1.(填或“V”)

10.用反证法证明命题“若1=0,则x=-l或x=l”时，应假设.

11.补足下面用分析法证明基本不等式勺士Z2的步骤：

2

要证明£1^12。匕，只需证明片十廿之？〃；，只需证,

2

只需证,由于，显然成立，因此原不等式成立.

sin(2a+〃)c/q、sinB

12.求证：——:------2cos(。+，)=二一.

sinasina

3321

13.设〃，b>09且存瓦用分析法证明:a+b>ab+ab.

14.已知正数a,"c成等差数列，且公差用反证法证明：不可能是等差数列.

abc

怩力

15.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设.否定“自然数中恰有一个偶数”

时正确的假设为

A.自然数都是奇数B.自然数a*,c都是偶数

C.自然数a/,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数

16./,,12,/3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A./1J_/2,/2_L/3=>/l〃/3B.Z1-L/2,11///3=»/|J_/3

C.b,，3共面D.h,b,，3共点=/|,，2,，3共面

17.要使孤-孤<狂］成立，则。，方应满足的条件是

A.ab<0JI.a>bB.。匕>0且a>b

C.ab<0Ka<bD.ab<0且a<b或ab>0且a>b

18.已知aua,bu£,若a,b为异面直线，则

A.a,b都与/相交B.a,匕至少有一条与/相交

C.a,b至多有一条与/相交D.a,6都与/不相交

32

19.已知。>0,且存1,P=logrt(a+1),Q=loga(a+1),则P,Q的大小关系是

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.与。的值有关

20.若定义在R上的二次函数4以+b在区间［0,2］上是递增函数，且式M/0）,则实数"z的取

值范围是

A.0<w<4B.09E2

C.m<0D.m<0或m>4

21.已知a、夕为实数，给出下列三个论断：①3>0；②|a+£|>5；③|a|>2吸，网>2啦.以其中的两个论断

为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是.（用序号及表示）

22.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角“有三个步骤:

①/4+/8+/。=90。+90。+/。>180。，这与三角形内角和为180。矛盾，故假设错误.

②所以一个三角形不能有两个直角.

③假设△A8C中有两个直角，不妨设NA=90。，ZB=90°.上述步骤的正确顺序为

23.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CO是矩形，必，平面ABC。，AP=AB,BP=BC=2,E,F分

别是PB,PC的中点.

(1)证明：即〃平面以。；

(2)求三棱锥E-ABC的体积V.

24.已知函数/(幻=优+土匚(。＞1).

x+1

(1)证明：函数人处在(-1,+8)上为增函数;

(2)用反证法证明方程负x)=0没有负数根.

I-白♦碧一-

I.【答案】C

【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正

确.故选C.

2.【答案】B

【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，故选B.

3.【答案】C

【解析】SiiEy[a+yja+l<Ja+3+Ja+4.只需证2a+7+2y/a(a+7)<2a+7+

2J(a+3)(a+4)，

只需证Ja(a+7)<J(a+3)(a+4)，只需证a(a+7)<(a+3)(a+4),只需证0V12,故选用分析法最合

理.故选C.学科@网

4.【答案】D

【解析】原命题的结论为正〉蛎，反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，即也=四或

>Ja<i/b.故选D.

5.【答案】A

【解析】若满足题目中的条件，则应0在(0，+8)上为减函数，在A、B、C、D四个选项中，只有A满

足，故选A.

6.【答案】A

【解析】Q方程^+g+6=0至少有一个实根的否定是方程/+g+方=0没有实根，二用反证法证

明命题“设。力为实数，则方程%2+衣+6=0至少有一个实根”时,要做的假设是'方程/+ac+b=0

没有实根故选A.

7.【答案】B

【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设。，匕都不能被5整除.故

选B.

8.【答案】C

11

【解析】用分离参数法可得介一(国+凡）（左0），而|x|+Rp2,Aa>-2,当x=0时原不等式显然成

立.故选C.

9.【答案】V

血_

1G+/TFT1收+1

【解析】•/V2+1,

ET（0-梃）（6+丘）V2-1（V2-1）（72+1）

显然百+痣>行+1，百—也<0—1.

10.【答案】X。一1且XW1

【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以应假设“尤w-1且XW1

11.【答案】“2+按-2,必之0(a-Z))2>0(a-h)2>o

【解析】要证明\*°.n帅，只需证明。2+乒22。方，只需证人+分―2出仑0,

2

只需证m—份2对，由于3一份2之。显然成立，因此原不等式成立.

12.【答案】证明见解析.

【解析】要证明原等式成立，只需证明sin(2ot+0-2smacos(a+0=si3，

因为sin(2a+jff)-2sinacos(a+^)=sm[(a4-m+可-2smacos(a4-p)

=sin(a+0cosa+cos(a4-)ff)sma-2sinacos(a4-jff)

=sin(a+^)cosa-cos(a+为sina=sm[(a+Q—可=sin^.

所以原命题成立.

13.【答案】证明见解析.

【解析】证明：要证东+分>。2。+〃炉成立.

只需证(n+b)(〃2—ab+〃)>ab(a+b)成立,乂因为a+方>0,

所以只需证a?—ab+b?>ab成立，只需证a2—2tz/?+/?2>0成立，

即需证(a—8)2>0成立,而a处，则(4一份2>0显然成立.

由此命题得证.

14.【答案】证明见解析.

【解析】证明：假设一,一,一成等差数列，则-----------，即-----=-----,

abcbacbabbe

两边乘以从得伫2="巧,

ac

乂a,4c成等差数列，且公差不为零，・,・Q—Z?=b—cwO,

两边都乘以ac,得。=。.

ac

这与已知数列出b,c的公差不为零，awe相矛盾，

所以数列不可能成等差数列.

abc

15.【答案】D

【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数4c中至少有两个偶

数或都是奇数.故选D.

16.【答案】B

【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错：两平行线中的一条垂直于第三

条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条

侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.故选B.

17.【答案】D

【解析】用分析法寻求使不等式成立的条件.

yfa—y/b<y/a—b<=>a—b+—3y/a~b<a—d<=>>

...当曲>0时，有既<爪，IPb<a}

当面<0时，有近>版，即b>a.故选D.

18.【答案】B

【解析】若m〃都与/不相交，则a〃/,b//l,：.a//b,这与a,h为异面直线矛盾，.•.〃，〃至少有一

条与/相交.故选B.

19.【答案】A

【解析】当”>1时，a3+l>a2+］,所以P>。；当0<。<1时，a3+l<a2+l,所以P>。.故选A.

20.【答案】A

【解析】•.•二次函数/(x)=ar2-4ax+b的对称轴为x=2,段)在［0,2］上是递增函数，:

X；n)>A0),.\0<??1<4,故选A.

21.【答案】①③"②

【解析】：c#>0,|«|>2^2,网>2小，Ala+fil2=a2+/H2+2a/i>S+8+2x8=32>25.A|ct+y?|>5.

22.【答案】③①②

【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.

23.【答案】（1）证明见解析；（2）