2023-2024学年人教A版必修第二册 7-3 复数的三角表示 学案

7.3*复数的三角表示新课程标准解读核心素养1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系数学抽象2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义数学运算设复数z＝1＋3i在复平面内对应的点为Z.问题（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量OZ；（2）记r为向量OZ的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋3i的实部、虚部之间的关系.

知识点一复数的三角形式1.定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r（cosθ＋isinθ）叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.

2.辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz＜2π.提醒辐角和辐角主值的区别与联系：区别，辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系，θ＝2kπ＋argz，k∈Z.知识点二复数三角形式的乘、除运算1.乘法运算法则设z1＝r1（cosθ1＋isinθ1），z2＝r2（cosθ2＋isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）].即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.2.除法运算法则设z1＝r1（cosθ1＋isinθ1），z2＝r2（cosθ2＋isinθ2），且z2≠0，则z1z2＝r1r2[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.1.复数1＋i的辐角主值为（）A.π6 B.C.π4 D.解析：C因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg（1＋i）＝π42.将复数i对应的向量ON绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM，则OM对应的复数是（A.32＋12I B.－32C.－32－12I D.32解析：Bi＝cosπ2＋isinπ2，将ON绕原点按逆时针方向旋转π3得到OM对应的复数为cos5π6＋isin5π3.计算（cosπ＋isinπ）÷（cosπ3＋isinπ3）＝解析：（cosπ＋isinπ）÷（cosπ3＋isinπ3）＝cos2π3＋isin2π3答案：－12＋3题型一复数的代数形式化为三角形式【例1】将下列复数的代数形式化成三角形式：（1）3＋i；（2）1－i.解（1）r＝（3）2＋12＝2，因为对应的点在第一象限，所以arg（3＋i）＝π6故3＋i＝2cosπ（2）r＝12＋(-1）2＝2，因为对应的点在第四象限，所以arg（1－i）＝7π故1－i＝2cos通性通法将复数的代数形式转化为三角形式的步骤（1）求复数的模；（2）确定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角；（4）求出复数的三角形式.下列复数是复数三角形式表示的是（）A.12cosπ4－C.12sin34π＋icos解析：D选项A，cosπ4与isinπ4之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－12＜0不符合r≥0的要求；选项C，是icos34π与sin34π用“＋”连接而不是cos34π＋isin34π的形式.故A、题型二复数的三角形式化为代数形式【例2】复数z＝3（cos2π3＋isin2π3）A.32＋32i B.－32C.－32＋32i D.32解析z＝3cos2π3＋isin2π3＝3cos2π3＋（3sin2π3）i＝3×答案C通性通法将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z＝r（cosA＋isinA），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcosA，y＝rsinA.复数2cos74π＋解析：2（cos74π＋isin74π）＝2［cos（π＋34π）＋isin（π＋34π）］＝2－cos34π－i答案：1－i题型三复数三角形式的乘、除法运算【例3】计算：（1）2cos2π3（2）6（cos160°＋isin160°）÷[2（cos25°＋isin25°）].解（1）2cos2π＝23＝－23i.（2）原式＝32[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）]＝32（cos135°＋isin135°）＝32＝－3＋3i.通性通法在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.计算：2i÷12解：2i÷1＝2（cos90°＋isin90°）÷1＝4（cos60°＋isin60°）＝2＋23i.题型四复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数解因为3－3i＝23＝23cos所以23cos11＝23＝23＝23cosπ6＋isin23cos11＝23＝23cos32π＋故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－2通性通法两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时，z1z2＝r1r2[cos（θ1在复平面内，把与复数334＋34i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2解：334＋34i由题意得32（cosπ6＋isinπ6）×2（cosπ3＝32×2＝3cosπ2＋即与所得向量对应的复数为3i.1.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（）A.z＝2（sin45°＋icos45°）B.z＝2（cos45°＋isin45°）C.z＝2[cos（－45°）－isin（－45°）]D.z＝2[cos（－45°）＋isin（－45°）]解析：B依题意得r＝12＋12＝2，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cosθ＝22，因此，argz＝45°，结合选项知2.已知i为虚数单位，z1＝2（cos60°＋isin60°），z2＝22（sin30°－icos30°），则z1·z2＝（）A.4（cos90°＋isin90°）B.4（cos30°＋isin30°）C.4（cos30°－isin30°）D.4（cos0°＋isin0°）解析：D∵z2＝22（sin30°－icos30°）＝22·（cos300°＋isin300°