2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-2　第二课时　直线与平面垂直的性质 学案

8.6.2第二课时直线与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系数学抽象2.归纳出直线与平面垂直的性质定理逻辑推理3.了解直线与平面、平面与平面的距离直观想象问题（1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；（2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由.

知识点一直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言a⊥αb⊥α⇒图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？提示：棱AA'，BB'所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行.知识点二线面距与面面距1.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.2.平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等.是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？提示：不是.只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距离问题.1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（）A.相交 B.异面C.平行 D.不确定解析：C∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.2.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为.

答案：23.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝.

解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝CD2＋DE答案：13题型一线面垂直有关性质的理解【例1】已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m⊂α”是“n⊥m”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若n⊥α，m⊂α，则n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，n⊥α，则m⊂α或m∥α，故必要性不成立，故“m⊂α”是“n⊥m”的充分不必要条件.故选A.答案A通性通法1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化.2.常用的线面垂直的性质还有：①b⊥α，a⊂α⇒b⊥a；②a⊥α，b∥a⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥β⇒α∥β.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则下列选项正确的是（）A.AD1与平面A1DC相交B.AD1⊥平面A1DCC.AD1与MN异面D.AD1∥MN解析：ABD因为AD1∩A1D＝O，则点O∈平面A1DC且点A∉平面A1DC，A正确；因为AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正确；又因MN⊥平面A1DC，则AD1∥MN即D正确，C错误.故选A、B、D.题型二直线与平面垂直的性质的应用【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，②由①②可知EF∥BD1.通性通法证明线线平行常用的方法（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；（2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.题型三空间中的距离问题【例3】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离：（1）点A到平面BB1D1D的距离；（2）点C到平面BDC1的距离.解（1）连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的12，即22（2）设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V，在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝2a，则△BDC1的面积为34×（2a）2＝32a由等体积法可得V＝13×12×a×a×a＝13×32a解得h＝33a.所以点C到平面BDC1的距离为33通性通法求点到平面的距离的两种方法（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用体积相等建立方程求解.无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离.1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，平面AB1D1到平面BC1D的距离为（）A.22 B.62 C.63解析：C因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得V三棱锥C1-AB1D1＝V三棱锥A-B1C1D1，即h×13×12×22×sin60°＝13×12×22.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距离.解：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝22，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得13PA·S△ABC＝13d·S△PBC，所以13×2×12×2×2＝13d×12×22×2，得d＝2，所以1.在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（）A.一个点 B.一条直线C.一个平面 D.一个球面解析：B过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选B.2.已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝（）A.2 B.1C.32 D.解析：A如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以OAOB＝ACBD.因为OA＝AB，所以OAOB＝12.因为AC＝1，所以BD3.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是.

解析：易知BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形