2023-2024学年人教A版必修第二册 10-1-1　有限样本空间与随机事件 学案

10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件新课程标准解读核心素养1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义数学抽象2.理解随机事件与样本点的关系数学建模体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球.问题观察两个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？

知识点一随机试验及样本空间1.随机试验的概念和特点（1）随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示；（2）随机试验的特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的.2.样本点和样本空间定义字母表示样本点随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}提醒对样本点和样本空间的再理解：①样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；②只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.知识点二三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称⌀为不可能事件1.下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天.其中是随机事件的是（）A.①②B.②③ C.①③D.②解析：B①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形是必然事件；②经过有信号灯的路口，可能遇上红灯也可能不遇上红灯，是随机事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是随机事件.故选B.2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A.3件都是正品 B.至少有1件次品C.3件都是次品 D.至少有1件正品解析：D将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{（1，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，因此至少有1件正品为必然事件.3.“袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色”这一试验的样本空间为.

解析：袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色，可能的组合有：（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝），故该试验的样本空间为{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}.答案：{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}题型一事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）没有空气和水，人类可以生存下去；（3）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；（4）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.解（1）所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件.（2）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.（3）任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件.（4）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.通性通法判断一个事件是哪类事件的方法一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是（）A.必然事件 B.不可能事件C.随机事件 D.以上选项均不正确解析：C因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，故选C.题型二确定试验的样本点与样本空间【例2】写出下列试验的样本空间：（1）同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；（2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；（3）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.解（1）该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}.（2）该试验所有可能的结果如图所示，因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.（3）列出抛掷两次骰子出现点数和对应的表由上表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.通性通法写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法（1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；（2）树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举；（3）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.1.一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（）A.（男，女），（男，男），（女，女）B.（男，女），（女，男）C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D.（男，男），（女，女）解析：C把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故选C.2.甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间.解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}.题型三随机事件的含义【例3】柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义：（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.解（1）事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.（2）事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.（3）事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.通性通法解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件的含义.在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：（1）事件A＝{（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3）}；（2）事件B＝{（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）}；（3）事件C＝{（1，3），（3，1），（4，2），（2，4），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）}.解：（1）事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.（2）事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.（3）事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.1.以下事件中不是随机事件的是（）A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，两次都出现反面B.明天下雨C.连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点D.平面四边形的内角和是360°解析：D因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个都是随机出现的，所以选项D不符合题意，故选D.2.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（）A.8 B.9C.12 D.11解析：D从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点.3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）}，则事件M的含义是.

答案：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为84.笼子中有4只鸡和3只兔，依次随机抽取，每次只取一只，直到3只兔全部被取出.记录剩余动物的脚的只数，则该试验的样本空间为.

解析：由题意知，最少取3次，最多取7次，那么剩余鸡的只数最多为4，最少为0，所以剩余动物的脚的只数可能是8，6，4，2，0，故样本空间为{0，2，4，6，8}.答案：{0，2，4