《现代控制理论》课件第2章

控制系统的状态空间表达式在现代控制理论中，用状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能够反映系统全部独立变量的变化，还能确定系统的全部内部运动状态。对一个线性定常系统在经典控制论中，用常微分方程或是传递函数来描述，把输出和输入变量直接联系起来，但是对于中间变量不能描述。

系统的外部描述传递函数系统的内部描述状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1236状态空间表示式状态空间表达式的建立状态向量的线性变换状态空间表达式与传递函数矩阵本章主要内容基于Matlab方法的系统状态空间描述45离散时间系统的状态空间表达式2.1状态空间表示式状态变量------足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。表示系统时刻的状态；当时的输入给定，且上述时的行为。初始状态确定时，在2.1.1状态空间的基本概念状态-----描述一个系统的过去、现在和将来的状况；状态变量能完全确定系统状态变量的特点：(1)独立性：状态变量之间线性独立，个数等于微分方程的阶数也就是

独立储能元件的个数；

(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案；(3)等价性：两组状态向量之间只差一个非奇异变化；(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量；(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.2.1状态空间表示式2.1状态空间表示式

以n个独立的状态变量作为矢量的分量，则

状态矢量

就称为状态矢量。2.1状态空间表示式

状态空间-----以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。状态空间状态轨迹-------随着时间的推移，

将在状态空间中描绘出一条轨迹。对于一个特定时刻t，那么状态矢量就是状态空间的一个点。2.1状态空间表示式2.1.2状态空间表达式状态空间表达式-----状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述。状态变量输入变量输出变量输出方程状态方程2.1状态空间表示式2.1.2状态空间表达式状态方程----描述状态变量与输入变量之间关系的一阶微分（差分）

方程组。一般形式：输出方程----描述状态变量与输出变量之间关系的代数方程。一般形式：状态空间方程----2.1状态空间表示式系统的分类自治系统线性系统线性定常系统离散线性系统连续线性系统2.1状态空间表示式系统矩阵输入矩阵直接传递矩阵输出矩阵状态向量输入向量输出向量2.1状态空间表示式设一个单入单出系统，n个状态，状态方程为：输出方程为：2.1状态空间表示式对于SISO系统，状态空间表达式为：状态矢量输入矢量输出矢量系统矩阵输入矩阵输出矩阵2.1状态空间表示式对于MIMO系统，状态空间表达式为：状态矢量输入矢量输出矢量系统矩阵输入矩阵输出矩阵直接传递矩阵2.1状态空间表示式一个系统，有n维状态，r维输入，m维输出，状态方程为输出方程为：2.1状态空间表示式状态空间表达式的系统框图从状态空间表达式和系统框图可以看出：

它们既表征了输入对系统内部状态的因果关系，

也反映了内部状态对外部输出的影响；是对系统的完全描述。2.1状态空间表示式状态空间表达式结构图有三种基本单元：（1）积分器（2）比例器（3）加法器用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。2.1.3状态空间表达式的模拟结构图2.1状态空间表示式绘制步骤：

1）根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；3）根据所给的状态方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这

些元件连接起来。2）积分器的数目应等于状态变量个数，将它们画在适当的位置，每个

积分器的输出表示相应的某个状态变量；2.1状态空间表示式例1:设一阶系统状态方程为则其状态图为2.1状态空间表示式例2设系统的状态空间表达式如下，绘制其结构图。分析：本系统状态变量有三个一个输入量u，一个输出量y解：

系统模拟结构图如示：

系统有两个独立储能元件，应有两个状态变量。

状态变量的选择是任意的，选择uc和I作为状态变量。

例如：PLC无源网络2.1状态空间表示式2.1.4实例分析2.1状态空间表示式微分方程组：微分方程

系统输出方程写成矩阵形式，即为输出方程或者2.1状态空间表示式或者将状态变量用一般符号xi来（）表示：2.1状态空间表示式选择uc和I作为状态变量：选择uc和作为状态变量：2.1状态空间表示式练习题：设系统的状态空间表达式如下，绘制其结构图。

分析：本系统状态变量有两个两个输入量，两个输出量2.2状态空间表达式的建立1从系统的物理或化学的机理出发进行推导；2由高阶微分方程或传递函数予以演化而得。用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。建立表达式途径：2.2状态空间表达式的建立2.2.1从系统机理出发建立状态空间表达式状态变量的选取有三种途径：

（1）选取系统的储能元件的输出量作为状态变量；（2）选取系统的输出量及其各阶导数;

（3）选择使系统状态方程为某标准形式的变量。2.2状态空间表达式的建立27例1.列写RLC网络的电路方程，选择状态变量并建立状态空间表达式。解：法一：选为系统的状态变量,则2.2状态空间表达式的建立法二：选为系统的状态变量2.2状态空间表达式的建立(1).状态变量选取具有非唯一性，但状态变量个数相同=系统的阶次；(2).状态变量具有独立性；(3).不同组状态变量之间可做等价变换，称作状态的线性变换。结论：2.2状态空间表达式的建立例2系统如图所示解：选择状态变量：2.2状态空间表达式的建立状态方程输出方程矩阵形式2.2状态空间表达式的建立没有零极点对消的传递函数的实现----最小实现。实现问题------已知系统的传递函数或运动方程式，建立系统状态空

间表达式。从传递函数求得的状态空间的表达式并不唯一，

-------实现的不唯一性；2.2.2由传递函数建立状态空间表达式2.2状态空间表达式的建立一个单变量线性定常系统，它的运动方程如下：

传递函数：实现问题：当；当时，实现存在的条件：传递函数中没有零点时的实现传递函数:即取状态变量2.2状态空间表达式的建立2.2状态空间表达式的建立其中：能观标准型2.2状态空间表达式的建立状态变量令状态空间表达式为能控标准型2.2状态空间表达式的建立解:选择状态变量状态空间表达式例1设系统，求其状态空间表达式。模拟结构图如下：2.2状态空间表达式的建立传递函数中有零点的实现传函变形：传递函数原则：使状态方程不含u的导数。2.2状态空间表达式的建立则：令：拉氏反变换：则：其中:U(s)Y1(s)Y(s)2.2状态空间表达式的建立则：令：拉氏反变换：其中:U(s)Y1(s)Y(s)2.2状态空间表达式的建立选择状态变量2.2状态空间表达式的建立状态空间方程能控标准型其中2.2状态空间表达式的建立例2：已知系统的输入输出方程如下，试列写其状态空间表达式。解：系数系统矩阵状态空间表达式2.2状态空间表达式的建立定义状态变量:2.2状态空间表达式的建立状态变量其中状态空间表达式能观标准型2.2状态空间表达式的建立例3：已知系统的输入输出方程如下，试列写其状态空间表达式。解：列写状态变量2.2状态空间表达式的建立多入--多出系统微分方程的实现解：选择状态变量：例4：双入-双出的系统的微分方程为：状态空间表达式：2.2状态空间表达式的建立分析：前向通道上有一个积分环节和一个一阶惯性环节，分别选取它

们的输出作为状态变量。2.2.3由方框图建立状态空间表达式例5：控制系统方框图如下所示，

建立其状态空间表达式。2.2状态空间表达式的建立分析：例6：控制系统方框图如下所示，

建立其状态空间表达式。可以看出系统共有三个环节，需要进行等价变形。等价于和的反馈2.2状态空间表达式的建立分析：例6：控制系统方框图如下所示，

建立其状态空间表达式。可以看出系统共有三个环节，需要进行等价变形。等价于和的反馈2.2状态空间表达式的建立系统有四个状态变量2.3状态向量的线性变换（坐标变换）由于它们都是同一个系统的状态空间描述，之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程,便于系统特性分析和综合设计,且不会改变系统的性质。2.3状态向量的线性变换（坐标变换）系统动态方程为：对于状态变量x，有非奇异矩阵T，使

由于T是任意非奇异矩阵，因此变换不是唯一的。2.3.1系统状态空间表达式的线性变换2.3状态向量的线性变换（坐标变换）例1考虑系统取变换：状态变量变为：状态空间表达式2.3状态向量的线性变换（坐标变换）取线性变化矩阵：状态空间表达式结论：状态变量经过某种变换，化A阵为对角化后，解除了系统

状态的耦合，为研究系统提供的方便。2.3状态向量的线性变换（坐标变换2.3.2系统变换的性质设系统系统的特征值就是系统矩阵A的特征值，即：特征方程的根。(1)系统特征根2.3状态向量的线性变换（坐标变换）(2)系统特征向量可知：矢量经线性变换后，方向不变，仅长度变化倍。设：A为n阶矩阵，矩阵A的特征根。若和n维向量满足：则称为对应的特征向量。2.3状态向量的线性变换（坐标变换）特征向量：例2：试求矩阵的特征向量。解：2.3状态向量的线性变换（坐标变换）对于状态变量x，有非奇异矩阵T，使特征方程：结论：状态变量经过某种变换，特征值的不变性。（3）特征值不变性2.3状态向量的线性变换（坐标变换）

2.3.3约当标准型1系统方程A的特征值(无重根时)1)矩阵A为任意形式定理：对于系统，若矩阵A具有n个两两相异的特征根，则存在着线性非奇异变换将系统化为对角标准型。其中：2.3状态向量的线性变换（坐标变换）充要条件：n阶系统矩阵A有n个线性无关的特征向量。化对角标准型的步骤：求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量令2.3状态向量的线性变换（坐标变换）解：1)求系统特征根例3将下系统化为对角标准型2.3状态向量的线性变换（坐标变换）2)求特征向量2.3状态向量的线性变换（坐标变换）3)新的状态方程为：构成状态转移矩阵T2.3状态向量的线性变换（坐标变换）解：1)求系统特征根例4将下系统化为对角标准型2.3状态向量的线性变换（坐标变换）2)求特征向量对由得2.3状态向量的线性变换（坐标变换）对由得67对由得2.3状态向量的线性变换（坐标变换）3)新的状态方程为：构成状态转移矩阵T2.3状态向量的线性变换（坐标变换）特例：2.3状态向量的线性变换（坐标变换）解：系统特征根例5将系统化为对角标准型。范德蒙行列式标准型：2.3状态向量的线性变换（坐标变换）有q个重根时：q阶约旦块2系统方程A的特征值(有重根时)线性变换矩阵：2.3状态向量的线性变换（坐标变换）与q阶约旦块对应的特征向量为：为对应的特征向量，则称为广义特征向量。

2.3状态向量的线性变换（坐标变换）求约旦标准型的步骤：求解令

2.3状态向量的线性变换（坐标变换）例7将下系统化为对角标准型解：求特征根和特征矩阵2.3状态向量的线性变换（坐标变换）2)求特征向量对由得2.3状态向量的线性变换（坐标变换）2)求特征向量对由得对由得2.3状态向量的线性变换（坐标变换）3)新的状态方程为：构成状态转移矩阵T2.3状态向量的线性变换（坐标变换）本节小结：本节内容是状态方程的线性变换，线性变换在整个现代控制理论中占有非常重要的地位。最主要是：确定线性变换矩阵。第一种特殊的线性变化：对角标准型。对角标准型线性变换矩阵的选择：特征向量构成的线性变换矩阵。作业：2.4状态空间表达式与传递函数矩阵2.4.1单入-单出系统定义：初始条件为零时,输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵,简称传递矩阵。

动态方程：式中：x是n维状态矢量，A是nxn矩阵,b是nx1矩阵，

c是1xn矩阵；d是一个标量。

2.4状态空间表达式与传递函数矩阵令初始条件为零,进行拉氏变换有：系统传递函数为：系统传递函数是一个标量。2.4状态空间表达式与传递函数矩阵

例1已知系统动态方程，求系统的传递矩阵。解:

2.4状态空间表达式与传递函数矩阵动态方程：2.4.2多输入—多输出系统式中：x是n维状态矢量，u是r维输入，y是m维输出，A是nxn矩阵,B是nxr矩阵，C是mxn矩阵；D是mxr直接传递矩阵。

传递函数为：2.4状态空间表达式与传递函数矩阵

例1已知系统动态方程如下，试求系统的传递矩阵。解:

2.4状态空间表达式与传递函数矩阵

不变性系统经线性变换后，传递函数阵不变。同一系统的传递函数矩阵是唯一的。2.4.3传递函数矩阵不变性2.4状态空间表达式与传递函数矩阵

工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等连接方式构成的。下面以两个子系统和构成的组合系统进行介绍。2.4.4组合系统的传递函数矩阵2.4状态空间表达式与传递函数矩阵的系统方程为的系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩阵为满足条件：2.4状态空间表达式与传递函数矩阵1并联连接系统方程传递函数矩阵满足条件子系统状态空间方程2.4状态空间表达式与传递函数矩阵2串联连接串连组合后系统方程传递函数矩阵所以2.4状态空间表达式与传递函数矩阵3反馈连接两个子系统状态方程为：由两个子系统的连接关系可得：2.4状态空间表达式与传递函数矩阵组合后系统方程为可得：传递函数矩阵为

在反馈连接的组合系统中，

存在的条件是至关重要的。或2.5离散时间系统的状态空间表达式

离散系统与连续系统的根本区别是系统中信号的连续性，联系时间系统的状态