2024年九年级中考数学专题复习热点专题加练二次函数与等腰三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年九年级中考数学专题复习热点专题加练二次函数与等腰三角形1．如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；(3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）；(3)如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与x轴交于另一点B．(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)求点B坐标；(3)设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M．交直线于点N．①若点P在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；②当点P运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E．连接，已知点A，D的坐标分别为，．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请求点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，当是等腰三角形，请直接写出m的值．5．如图，抛物线的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，且．

(1)求m的值；(2)求抛物线的函数解析式；(3)在线段上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点：，与轴交于点．点分别是上的动点，当点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设同时运动的时间为秒．(1)求抛物线的表达式；(2)设的面积为，当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？(3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？7．抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于点A，顶点为D．(1)填空：点B的坐标为，点D的坐标为．(2)如图1，连结，P为x轴上的动点，当以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横生标为m，连结，，与直线交于点E．设和的面积分别为和，设己，试求t关于m的函数解析式并求出t的最值，8．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．(1)求的面积；(2)若点为直线上方抛物线上的动点，求点到直线距离的最大值；(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，平移后的顶点记作，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作为直线上的动点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与x轴交于点和．

(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点，C是第一象限抛物线上一点，若，点C的横坐标是5，求证：四边形是平行四边形；(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当是等腰三角形时，求点P的坐标．11．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B．

(1)求抛物线解析式；(2)是x轴上一动点．过点E作轴交于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，连接．①点E在线段上运动，当线段的长度最大时，求点P的坐标；②点E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．13．综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)连接，为线段上的动点，连接，当与相似时，求出点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图甲，直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标．(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；15．综合与实践如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为．过点作，交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标；(3)连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)(3)存在，或或2．(1)，(2)(3)存在，或，3．(1)(2)(3)①线段的长度的最大值为；②点的坐标为，，的面积为；或点的坐标为，，的面积为．4．(1)(2)存在，点F坐标或(3)或或5．(1)(2)(3)存在．或或，6．(1)(2)当的面积最大，最大面积是(3)当或时，是以为腰的等腰三角形7．(1)，(2)点P的坐标为(3)，t的最大值为8．(1)15(2)(3)或9．(1)(2)四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；(3)存在，点的坐标为或或或10．(1)抛物