浙江省强基联盟2022-2023学年高一下学期5月统测数学试题（含解析）

2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测数学试题命题人：浙江省义乌中学审题人：杭师大附中一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，则图中阴影部分对应的集合是()A. B. C. D.2.已知(其中为虚数单位)，则()A. B. C. D.3.下列说法错误的是()A.一个八棱柱有10个面 B.任意四面体都可以割成4个棱锥C.棱台侧棱的延长线必相交于一点 D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱4.设是平行四边形的对角线的交点，则()A. B. C. D.5.若，则()A.－1 B.1 C.－2 D.26.若，则()A B.C. D.7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是()A B. C. D.8.如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且．在线段上分别取靠近点的等分点，记为，．过作平行于的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是()A.截面都为平行四边形B.C.D二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知是虚数单位，下列说法正确的是()A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.若是纯虚数，则实数D.若，则的最大值为10.在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是()A. B. C. D.11.如图，在中，，则的可能值为()A. B. C. D.12.在正方体中，为棱的中点，在侧面上运动，且，已知正方体的棱长为2，则()A平面B.的轨迹长度为C.的最小值为D.当在棱上时，经过三点的正方体的截面周长为三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为__________．14.已知，则__________．15.已知向量，若，则的最小值为__________．16.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为__________．四､解答题：第17题10分，18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知向量．(1)若，求实数的值；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．18.在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③．求解以下问题．(选择多个条件的，以所选的第一个计分)(1)求角；(2)若，且，求的内切圆半径．19.在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面是的中点，是的中点，分别在线段和上，且．(1)证明：平面平面．(2)求直线与底面所成角的大小．20.杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形．运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，为赛道，，．(1)设点到赛道的最短距离为，请用表示的解析式；(2)应该如何设计，才能使折线段赛道最长(即最大)，最长值为多少？21.如图，在多面体中，平面平面，平面平面菱形，．(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．22.已知函数，其中．(1)当时，求的值域；(2)若对任意，求实数的取值范围．2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测数学试题命题人：一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，则图中阴影部分对应的集合是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】图中阴影部分表示，由交集的补集的定义求解即可.【详解】图中阴影部分表示，，则或，因为所以，故选：D．2.已知(其中为虚数单位)，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算可得结果.【详解】，故选：D．3.下列说法错误的是()A.一个八棱柱有10个面 B.任意四面体都可以割成4个棱锥C.棱台侧棱的延长线必相交于一点 D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验．【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A说法正确；对于选项B：任意四面体，在四面体内取一点为，将点与四面体的各个顶点连，即可构成4个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D．4.设是平行四边形的对角线的交点，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形性质及向量线性运算化简得解.【详解】如图，，故选：A．5.若，则()A.－1 B.1 C.－2 D.2【答案】C【解析】【分析】由，得，解得，由题意可知是方程的两根，由韦达定理可得答案.【详解】∵，∴，解得，∴，∴是方程的两根，则，∴.故选：C．6.若，则()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接与0比较，均在内，所以作差法进一步比较，与1比较即可.【详解】因，所以，因为，所以，即，，所以，故选：A7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象平移的规律得的解析式，结合的范围，根据正弦函数的性质列出不等式即可得结果.【详解】，则，∵，∴，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则，解得，即实数的取值范围是.故选：B．8.如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且．在线段上分别取靠近点的等分点，记为，．过作平行于的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是()A.截面都为平行四边形B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质可证明截面为平行四边形判断A，利用平行四边形面积公式可求出，据此判断B，由的单调性判断C，化简后判断函数的单调性可判断D.【详解】过作平行于平面分别交于，如图，对于A，因为平面，且平面平面，所以，同理，故四边形为平行四边形．故A正确；又所成的角为，所以所成的角也为．又为靠近的等分点，故．故．对于B，，故B正确；对于C，是关于的开口向下的二次函数，先增后减，C错误；对于D，，当时是单调递增的，故D正确．故选：C．二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知是虚数单位，下列说法正确的是()A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.若是纯虚数，则实数D.若，则的最大值为【答案】BD【解析】【分析】利用特值法可判断A；设，所以，求出可判断B；由纯虚数概念求解可判断C；由得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，利用圆的性质可判断D．【详解】对于A，当时，，所以A错误；对于B，设，因为，所以，于是，所以B正确；对于C，是纯虚数，则即，故C错误；对于D，由，得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，所以，所以D正确．故选：BD．10.在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据锐角三角形可判断A，由正弦定理及两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性可判断C，由锐角三角形可判断角的范围，利用正切函数的单调性判断D，根据C及正弦定理、二倍角的正弦公式判断B.【详解】为锐角三角形，，即，可得，故正确；由正弦定理可知，，即，，又三角形为锐角三角形，，即，故C正确；由C知，，解得，所以，所以，故D正确；，而，所以，故B错误．故选：ACD11.如图，在中，，则的可能值为()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用向量的运算求得，从而得，由基本不等式得，由此判断可得答案．【详解】由于是上的两个三等分点，则．由图形可得，因为，所以，整理得，即，结合基本不等式得，当且仅当时，等号成立．所以的最小值为.故选：BD．12.在正方体中，为棱的中点，在侧面上运动，且，已知正方体的棱长为2，则()A.平面B.的轨迹长度为C.最小值为D.当在棱上时，经过三点的正方体的截面周长为【答案】BCD【解析】【分析】直观想象即可判断A；以以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直判断的轨迹即可判断B；利用空间向量求点到直线的距离可判断C；用向量判断截面，然后可求周长，可判断D.【详解】对A，取的中点，连接，则，所以，所以共面，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，故A错误，对B，因为平面，平面，所以．取的中点，连接，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，因为，所以的轨迹为，B正确．对C，由上知平面，记垂足为K，因为平面，所以，所以，即为点M到AH的最小距离，又，所以，所以，所以点M到AH的距离，C正确．对D，取上靠近点的四等分点，上靠近的三等分点，则，，因为，所以五点共面，所以五边形即为截面，所以周长，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点睛：本题难点主要在于截面的确定，关于截面的确定，主要是利用线面平行性质定理，通过作平行线的方法来确定截面.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为__________．【答案】##【解析】【分析】由平面，可证得平面，从而，可知三棱锥的四个面均为直角三角形，从而可求表面积．【详解】因为平面，平面，所以，，,又，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以，因为，，所以，所以三棱锥的表面积为．故答案为：.14.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解即可.【详解】令，则，故．故答案为：.15.已知向量，若，则的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】由向量平行坐标表示可得，根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】，，当且仅当，即，即，时，等号成立．故的最小值为6．故答案为：6.16.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】以3个小球球心和与桌面的切点为顶点作三棱柱，结合图形分析可解.【详解】如图所示，设3个球心分别为个球分别与水平桌面相切于三点，假设半球形的容器与球相切于点，此时半球形容器内壁的半径最小，记最小半径设为，易知是边长为4的正三角形，记AB中点为E，半球形容器的球心O为的中心，则.则．故答案为：四､解答题：第17题10分，18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知向量．(1)若，求实数的值；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列式计算即可；(2)的夹角为锐角，则且不共线，列式计算即可.【小问1详解】，，，，解得.【小问2详解】的夹角为锐角，且不共线同向，且，解得且，即实数的取值范围为.18.在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③．求解以下问题．(选择多个条件的，以所选的第一个计分)(1)求角；(2)若，且，求的内切圆半径．【答案】(1)(2)1【解析】【分析】(1)选①．由已知得，由正弦定理得化边为角，进而得，结合的范围可得．选②．由正弦定理化角为边得，则，可得．选③．由已知得，即，则，可得．(2)因为，所以，由余弦定理求得，求得的面积，利用面积法求得内切圆半径．小问1详解】选①．因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以．选②．，则，所以，即，所以，因为，所以．选③．因为，所以，又，所以，因为，所以．【小问2详解】因为，由(1)可知，所以，又，则，所以，又的面积，设的内切圆半径为，则，所以，解得．19.在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面是的中点，是的中点，分别在线段和上，且．(1)证明：平面平面．(2)求直线与底面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据比例关系可得线线平行，由此可得线面平行，再由面面平行的判定定理得证；(2)根据线面角的定义得出线面角，再求解即可.【小问1详解】取的中点，取上靠近的四等分点，连接，，且，，且，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，，，又平面平面，平面，平面平面平面．【小问2详解】由(1)知，又底面，底面，连接，就是与底面所成的角．在中，，，，与底面所成角的大小是．20.杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形．运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，为赛道，，．(1)设点到赛道的最短距离为，请用表示的解析式；(2)应该如何设计，才能使折线段赛道最长(即最大)，最长值为多少？【答案】(1)(2)当时，取得最大值【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理求得，由可求出结果；(2)在中，由正弦定理得，，从而得，然后利用三角函数的性质求得答案.【小问1详解】由已知得．在中，由正弦定理得，．又，且，，即．【小问2详解】在中，由正弦定理得，，．，当，即时，取得最大值