核反应堆物理分析课后习题参考答案

核反应堆物理分析课后习题参考答案

核反应堆物理分析答案

第一章

1T.某压水堆采用U02作燃料，其富集度为2.43%(质量)，密度为10000kg/m3。试计

算：当中子能量为0.0253eV时，U02的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解：由18页表1-3查得,0.0253eV时:

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b由289页附录3查得，0.0253eV时：

a(0)0.00027b

以c5表示富集铀内U-235与U的核子数之比，表示富集度，则有:

235c5235c5238(1c5)

lc5(10.9874(1))10.0246

M(UO2)235c5238(1c5)162269.9

1000(U02)NAN(U02)2.231028M(U02)

所以，N(U5)c5N(U02)5.491026(m)3(m3)

(m3)N(U8)(1c5)N(UO2)2.181028

N(0)2N(U02)4.461028(m3)

a(U02)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)N(0)a(0)

0.0549680.92.182.74.460.0002743.2(m1)

f(U02)N(U5)f(U5)0.0549583.532.0(m1)

1-2.某反应堆堆芯由U-235,H2O和Al组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和

0.398,计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：a(U5)680.9b

由289页附录3查得，0.0253eV时：

a(Al)1.5m1,a(1120)2.2m1,M(U)238.03,(U)19.05103kg/m3

可得天然U核子数密度N(U)1000(U)NA/M(U)4.821028(m3)

(m1)则纯U-235的宏观吸收截面：

a(U5)N(U5)a(U5)4.82680.93279.2

总的宏观吸收截面：a0.002a(U5)0.6a(H20)0.398a(Al)8.4(m1)

『3、求热中子(0.025电子伏)在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散

射碰撞次数。-解：设碰撞次数为t

10313.67nsstH2O156tD2O13600tCd2.86103tas

sanaa0.660.24500011-4、试比较：将2.OMeV的中子束强度减弱到

1/10分别需要的Al,Na,和Pb的厚度。

解：查表得到E=0.0253eV中子截面数据：

2aXs

Al：0.0150.084

Na：0.0130.102

Pb：0.0060.363

Al和Na的宏观吸收截面满足1/v律。

Q：铅对2MeV中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略？(在跨越了可分辨共振区后截面

变得非常小)

Sa=Sa(0.0253)(0.0253/2X106)*1/2

Sa

Al0.0169X10-4

Na0.0146X10-4

窄束中子衰减规律：

I=I0e-Ex

1=(1/10)10

二x=(lnlO)/£

因此若只考虑吸收衰减:

xAl=136.25X104m

xNa=157.71X104m

对于轻核和中等质量核，弹性散射截面在eV〜几MeV范围内基本不变。所以只考虑弹性

散射截面时，结果如下：（相比较之下能量为2MeV时、弹性散射截面要比吸收界面大很多）

但是不清楚对于重核铅弹性截面基本不变的假设是否成立？

xAl=27.41m

xNa=22.57m

xPb=6.34m

1-6PVV3.21011

P2107

1721.2510m11113.21053.210

1-7.有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%,试估算该电站反

应堆额定功率运行一小时所消耗的铀-235数量。EPtEthee解：热能：裂变

U235核数：Ethn5f2001061.61019

Petn5f2001061.61019

1510410336000.272001061.61019

6.251022

680.9n5n5fa6.251022俘获加裂变U235核数：f583.5

7.301022

消耗U235总质量量：22n7.30105m5M523523NA6.021028.5g

8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产物的

放射性活度为L08X10T6t-L2居里。此处t为裂变后的时间，单位为天，试估算停堆

24小时堆内裂变产物的居里数

解：day500106243600JEEdaynday2001061.61019

5001062436002001061.61019

1.351024

3124161.2A1.35101.08lOtdt13.62108Ci

1-9.设核燃料中铀-235的浓缩度为3.2%(重量)，试求铀-235与铀-238的核子数之

比。

lc5[10.9874(1)]1

n5c50.032410.11)10335n81c510.032

ITO.为使铀的H=1.7,试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。0.0324

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：

a(U5)680.9b,f(U5)583.5b,a(U8)2.7b

,v(U5)2.416由定义易得：v(U5)f

av(U5)N(U5)f(U5)N(U5)a(U5)N(U8)a(U8)

N(U8)N(U5)v(U5)f(U5)(a(U5))a(U8)

N(U5)2.416583.5(680.9)54.9N(U5)2.71.7为使铀的n=1.7,N(U8)

富集

11.＞为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀-235裂变

解：设单次裂变产生能量200MeV

E100036003.6106J

EU235裂变数：n52001061.61019

3.6106

2001061.61019

U235质量：1.1251017

n53.6106

m5M5235NA2001061.610196.021023

0.43104g

1-12.反应堆的电功率为1000兆瓦，设电站的效率为32%。问每秒有多少个铀-235发

生裂变？问运行一年共需消耗多少公斤易裂变物质？一座相同功率煤电厂在同样时间需要

多少燃料？12知标准煤的燃烧热为Q=29兆焦/公斤。

1000106

每秒钟发出的热量：E3.125109J0.32PT

每秒钟裂变的U235：N3.12510103.1251099.76561019(个)

运行一年的裂变的U235：N'NT9.765610193652436003.07971027(个)

消耗的u235质量：(1)N)(10.18)3.07971027235

mA1.4228106g1422.8kg23NA6.02210

E1110936524360096需消耗的煤：m3.3983lOKg3.398310吨

7Q0.322.910

.一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额

定年发电量)为0.85,U-235的俘获一裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。

解：该电站一年释放出的总能量=900100.85360060243652.412510J

616

2.41251016

7.541026对应总的裂变反应数=619200101.610

因为对核燃料而言：tf

核燃料总的核反应次数=7.541026(10.169)8.811026

8.811026235344(kg)消耗的U-235质量=6.0210231000

消耗的核燃料质量=344/20%1720

(kg)第二章

.某裂变堆，快中子增殖因数L05,逃脱共振俘获概率0.9,慢化不泄漏概率0.952,扩

散不泄漏概率0.94,有效裂变中子数1.335,热中子利用系数0.882,试计算其有效增殖

因数和无限介质增殖因数。

解：无限介质增殖因数：kpf1.1127不泄漏概率：

sd0.9520.940.89488有效增殖因数：keffk0.9957

2-1.H和0在1000eV到leV能量范围内的散射截面近似为常数,分别为20b和38b»计

算H20的€以及在H20中中子从lOOOcV慢化到leV所需的平均碰撞次数。

解：不难得出，H20的散射截面与平均对数能降应有下述关系：

oH20-gH20=2。出；H+o0-0

即：

(2oH+o0)•，H20=2oHCH+。0y0

€H20=(2oII-UI+o0-^0)/(2oH+o0)

查附录3,可知平均对数能降：€H=l.000,,0=0.120,代入计算得：

&H20=(2X20X1.000+38X0.120)/(2X20+38)=0.571

可得平均碰撞次数：

Nc=ln(E2/El)/&H20=ln(1000/l)/0.571=12.09*12.12-6.在讨论中子热化

时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能Ec以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来

的。设慢化能谱服从①(E)=e/E分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由Ec以上能

区，(1)散射到能量E(E<Ec)的单位能量间隔内之中子数Q(E)；(2)散射到能量区间

AEg=Eg-l-Eg内的中子数Qg。

解：(1)由题意可知：

Q(E)s(E')(E')f(E'E)dE'Ec

对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数：

Q(E)Ec

E/as(E')f(E'E)dE'在质心系下，利用各向同性散射函数：

f(E'E)dE'dE'。已知(E'),有：E'(1)E'

Ecs1(EEc)sdE'dE'1

Q(E)ss()E/aE/a(l)E'2E'(1)E'(1)EcE/(1)EEc

Ec

(这里隐含一个前提：E/a>E')

(2)利用上一问的结论:

QgEg1

EgEQ(E)dEs(l)EcEg1EgEg11EsEEgdEs(g1Ing

1)(1)EgE(l)EcEg

2-8.计算温度为535.5K,密度为0.802X103kg/m3的H20的热中子平均宏观吸收截

解：已知H20的相关参数，M=18.015g/mol,P=0.802X103kg/m3,可得：

103NAO.8021066.0231023

N2.681028m-3M18.015

已知玻尔兹曼常数k=1.38X10-23J»K-1,则:

kTM=1.38X10-23X535.5=739.0(J)=0.4619(eV)

查附录3,得热中子对应能量下，oa=0.664b,&=0.948,。s=103b,oa=

0.664b,由“1/v

*0.02网,

”律：a(kTM)a0.4914(b)

由56页(2-81)式，中子温度：

TnTM[10.462Aa(kTM)218N0.4914]535.5[10.46]577.8(K)

sN103

对于这种“1/v”介质，有：

%(0.0253)1293

L128V亍

0.664HoT

1.128V577.8

na0.4192(b)所以：aNa2.680.41081.123(m-1)

三章

3.1有两束方向相反的平行热中子束射到235U薄片上，设其上某点自左面入射的中子

束强度为1012cm-2•s-1,自右面入射的中子束强度2X1012cm-2•sT。计算：

(1)该点的中子通量密度；

(2)该点的中子流密度；

(3)设£a=19.2X102m-1,求该点的吸收率。

解：(1)由定义可知：II3X1012(cm-2•s-1)(2)若以向右

为正方向：JII-1X1012(cm-2♦s-1)

可见其方向垂直于薄片表面向左。

(3)Raa19.2«3X1012=5.76X1013(cm-3•s-1)

3.2设在x处中子密度的分布函数是

nn(x,E,)0ex/eaE(lcos)2

其中：入，a为常数，l*是与x轴的夹角。求：

(1)中子总密度n(x)；

(2)与能量相关的中子通量密度6(x,E)；

(3)中子流密度J(x,E)。

解：由于此处中子密度只与与x轴的夹角有关，不妨视U为极角，定义

在Y-Z平面的投影上与Z轴的夹角＜1＞

为方向角，则有：

(1)根据定义：

n0x/aEn(x)dEee(1cos)d042

2ndEdOex/eaE(1cos)sind0002

nOex/OedE(1cos)sindOaE

可见，上式可积的前提应保证。＜0,则有:

aEx/en(x)nOe()(sindcossind)0a00

nOe

ax/(cos00)2n0eax/

(2)令mn

为中子质量，则Emnv2/2v(E)

X/2£7^[

(X,E)n(x,E)v(E)

cossincos4n(x,E,)d2n0ex/e(等价性证明：如果不作

坐标变换，则依据投影关系可得：

则涉及角通量的、关于空间角的积分：

dsindcosdsind

2(cos)(sinsind)404400222000022

0002(1cos)dd(1sincos)sind对比：

dsinddsincosd

2(cos)(sincosd)404

4

2

(1cos)dd(1cos)sind

可知两种方法的等价性。）（3）根据定义式:

J2E/〃小

J(x,E)

(x,E,)dn(x,E,)v(E)d

4

2

dcos(1cos)sind

nOex/eaEcossincos2sind

利用不定积分:

cosnlx

cosxsinxdxC（其中n为正整数），则:

J2七

久命产师

n1

n

J(x,E)nOex/ecos3

)

30

3.7设一立方体反应堆，边长Q=9m。中子通量密度分布为

x,y,z31013cos(

已知D=0.84X10-2m,L=0.175mo试求：

x

a

)cos(

y

a

)cos(

z

a

)

(cm2s1)

(1)J(r)表达式；

(2)从两端及侧面每秒泄漏的中子数;

(3)每秒被吸收的中子数(设外推距离很小可略去)。解：有必要将坐标原点取在

立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设4>0=

3X1013cm-2*s-lo

(1)利用Fick'sLaw：

J(r)J(x,y,z)Dgrad(x,y,z)D(ijk)

xy

xyzyxz

nI.工、，，//rx、TTTZ.，/一

—Jsin"(——)cos~(—^-)cos~(——)+sin'(-^-)cos"(——)cos"(——)+sin-(—

aVaaaaaaa

zxyD0[sin()cos()cos()isin()cos()cos()jsin()cos0cosOk]

aaaaaaaaaa

J(r)J(r)

D0

2)先

计算上端面的泄漏率：

Lza/2

a/2a/2xy

J(r)kdSD0dxsin()cos()cos()dyS(za/2)a/2aa/22aa

a/2

a/2

axayaD0[sin()][sin()]4D0

aaa/2aa/2

同理可得，六个面上总的泄漏率为：

L=64D0a240.841023101310491.7X1017(s-l)3.14

其中,两端面的泄漏率为L/3=5.8X1016(s-1)；侧面的泄漏率为L-L/3=

1.2X1017(s-1)

(如果有同学把问题理解成‘六个面'上总的泄漏，也不算错)

(3)由L2D/a可得aD/L2

由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：

a/2a/2a/2DxyzD2a3dxdycos0cos()cos()dz()20a/220a/2a/

2LaaaLVRadVadVV

20.841021381720-1310)1.24X10(s)20.1753.14

3.8圆柱体裸堆内中子通量密度分布为

(r,z)1012cos(z

H)JO(2.405r)R(cm2s1)

其中，II,R为反应堆的高度和半径(假定外推距离可略去不计)。试求：

(1)径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比；

(2)每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数；

(3)设H=7m,R=3m,反应堆功率为10MW,。f,5=410b,求反应堆内235U

的装载量。

解：有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达

式起见，不妨设60=1012cm-2-s-lo且借用上一题的D值。

(1)先考虑轴向：

z

且

H/2H/2dz/H/2H/2dzH/2H/20cos(H/2zH)J0(2.405r)dr/HR0HJ0(2.40

5rHz22.405r)[sin()]OJO()RHH/2Rz2.405r0sin()J0()在整

个堆内只在z=0时为0,故有：zIIIIR

2.405rz,max(r,0)OJO()R

z/z,max

径向:

R20J0(R2.405r2.405r2)/OJO()RRR2.405r)dr/R00011R

z2.405r2.405z2.405rOcos0JO)Ocos()JI()在整个堆内只在r=

0时为0,故有：且rHRRHR

zr,max(0,z)OcosOH

RzR2.405rz2.405rr/r,maxOcos()JO()dr/ROcos()JOOdr/R

OHORHRrdr/drOcos(z)JO(

已知2.405

0J0(x)dx1.47,所以：

1.47R/R0.6112.405r/r,max

(2)先计算上端面的泄漏率:

LzH/2S(zH/2)

2J(r)ezdSR

0S(zH/2)Dgrad(r,z)ezdSDd02Rz2.405rrdr

Ddsin()rJ0()dr00zIIIIRzH/2zH/2

R2D0R2R2.405rD02JI⑵405)112.405R2.405110

2D0R2

JI(2.405)2.93X1014(s-1)易知，两端面总泄漏率为22.405H

侧面泄漏率:

LrRS(rR)J(r)erdS

H/2S(rR)Dgrad(r,z)erdSD2

0dRdzH/2rrR

JI,且已知JI(2.405)=0.5191,可得：利用Bessel函数微分关系式：JO

JO⑵405r/R)2.4052.405rJ1()rRR

所以：

LrR22.405IID02.40511zD02RJ1(2.405)[sin()JJI(2.405)4.68X

1014(s-1)R11H/2

619H/2(3)已知每次裂变释能Ef200MeV200101.6103.21011(J)

PEffdVEfN5f,5dVVV

所以：N5

其中：PEff,5dVV

H/22RdVVH/2dzd0cos(00zH

R

0)J0(2.405r)rdrR20[H

sin(z

HH/2)]

H/2[rJ0(2.405r)dr]R

利用Bessel函数的积分关系式：xnjn1(x)dxxnjn,可得

rJO(2.405rR2.405r)drrjl()R2.405R

已知：Jl(0)=0,JI(2.405)=0.5191,所以：dV20

V2HR4RJK2.405)0HR2J1(2.405)=5.44X1017(m^-1)2.4052.405

所以：

N5P

Eff,5dV

V106/(3.2X10-11X410X10-28X5.44X1017)=1.40X1024(m-3)所需235U装载

里：

m5103N5VM5/NA10-3X1.40X1024X3.14X32X7X235/(6.02X1023)=108

(kg)

3.9试计算E=0.025eV时的被和石墨的扩散系数。

解：查附录3可得，对于E=0.025eV的中子：

Be

C

对于Be：s/m-18.653.85100.92590.9444Dtr

3s

3(10)10.0416(m)3s(l0)

同理可得，对于C：D=0.0917(m)

3-12试计算T=535K,P=802kg/m3时水的热中子扩散系数和扩散长度。

解：查79页表3-2可得，294K时：D0.0016m,由定义可知：

tr(T)/31/s(T)N(293K)s(293K)(293K)D(T)

D(293K)tr(293K)/31/s(293K)N(T)s(T)(T)

所以：

D(293K)D(293K)/0.00195(m)

(另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查

附表3可得：s1031028m2,100.676,a0.6641028m2

在T=535K,P=802kg/m3时，水的分子数密度：

103NAN103X802X6.02X1023/18=2.68X1028(m-3)M

所以：sNs276(m-1)

Dtr

3s

3(10)11/(3X2.68X103X0.676)=0.00179(m)3s(l0)

这一结果只能作为近似值)

中子温度利用56页(2-81)式计算:

TnTM[10.462Aa(kTM)2Aa(kTM)]TM[10.46]ss

其中，介质吸收截面在中子能量等于kTM=7.28X1021J=0.0461eV

再利用“1/v”律:

VO.O253/O.(M61

a(kTM)a(0.0253eV0.4920(b)

Tn=535X(1+0.46X36X0.4920/103)=577(K)

(若认为其值与在0.0253eV时的值相差不大，直接用0.0253eV热中子数据计算:

Tn=535X(1+0.46X36X0.664/103)=592(K)

这是一种近似结果)

(另一种方法：查79页表3-2,利用293K时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：

a(293K)1.97(m-l)s(293K)11/(3X0.0016X0.676)=308(m-1)

3D(293K)(10)

进而可得到Tn=592K)

利用57页(2-88)式

q(O.O253)[293

-M28V592

a0.414X10-28(m2)

aNa1.11(m-1)

sNsNs(293K)N(293K)s(293K)N(293K)(293K)

ss(293K)802/(3X1000X0.0016X0.676)=247(m-1

Ii

3、国（1一从）

3xl.llx247xO.676

)(293K)3(293K)D(293K)(10)

L0.0424(m)

(此题如果利用79页(3-77)式来计算：

由于水是“1/v”介质，非1/v修正因子为1：

L2L

代入中子温度可得：

7/17592/293

V592/293

L0.02850.0340(m)

这是错误的！因为(3-74)式是在(3-76)式基础上导出的，而(3-76)式是栅格的计

算公式，其前提是核子数密度不随温度变化)

3.13如图3-15所示，在无限介质内有两个源强为Ss-1的点源，试求P1和P2点的中

子通量密度和中子流密度。解：按图示定义平面坐标。

0

假设该介质无吸收、无散射，则在P2点，来自左右两个点源的中子束流强度均为1+=

I-=S/4“a2,可知：X(P2)1(P2)I(P2)S/2a2

J(P)I(P)I(P222)0

在Pl

点，来自左右两个点源的中子束流强度均为S/4)2,且其水平方向的投影分量恰好大

小相等、方向相

+

r(p2)I(P2)

反，可得：

2(Pl)I(P1)I(P1)

V2

y/2

S/4a

J(P)I(P)I(P)11128a其方向沿Y轴正向。

若考虑介质对中子的吸收及散射，设总反应截面为t,则上述结果变为：

(P2)Sea/2a2J(P2)0(P)

S

Itta/42a

ta

J(Pl)8a2

(注意：如果有同学用解扩散方程的方法，在有限远处的通量密度同时与x、y、z有

关。)

3-16设有一强度为I(m-2・sT)的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。试

求：

(1)中子不遭受碰撞而穿过平板的概率；

(2)平板内中子通量密度的分布；

(3)中子最终扩散穿过平板的概率。

解：(1)I(a)/IOexp(ta)

(2)此情况相当于一侧有强度为I的源，建立以该侧所在横坐标为x原点的一维坐标

系，则扩散方程为：d2(x)(x)20,dx2L

xOx0边界条件：i.limj(x)I

ii.limjx(a)Oxa

方程普遍解为：(x)Ae

由边界条件i可得：x/LCex/L

limj(x)lim(DxOxOd1ID)lim{D[Aex/LCex/L]}(AC)lxOdx

LLL

ILACD

由边界条件ii可得：

Id(x)Aea/LCea/LAea/LCea/L

limj(a)Oxa46trdxxa46Ltrx(a)

A

所以：

23Ltr2a/LL2D2a/LCeCe23LtrL2DL2D2a/LILILlCeCCL2DDDe

2a/L12DL

2DL2a/LelLULA(1)2DLDD2DLe2a/LIe2a/L12DL2DL

2DL2a/LeILl(x)(ex/Lex/L)2DL2a/LD2DLe2a/Lle12DL2DL

IL(L2D)e(ax)/L(2DL)e(ax)/L

[]a/La/LD(L2D)e(2DL)e

(也可使用双曲函数形式：

方程普遍解为：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)由边界条件i可得：

limj(x)lim(DxOxOdAxCxD)lim{D[sinh()cosh()]}ClxOdxLLL

LL

ILCD

由边界条件ii可得：

Jx(a)(a)

4Id(x)

6trdxxaaaaaAcosh()Csinh()Asinh()CcoshO046Ltr

aaaacosh0/6Ltrsinh()/42Dcosh()Lsinh()ILACaaaacosh()/4sinh()

/6LtrDLcosh()2Dsinh()LLLL

所以：

aa2Dcosh()Lsinh()IL)cosh(x)sinh(x)](x)[(DLcosh(a)2Dsinh(a)LL

LL

可以证明这两种解的形式是等价的)

(3)此问相当于求x=a处单位面积的泄漏率与源强之比：J

xxa

I

J(a)J(a)J(a)Dd(x)Illdxxxall(L2D)La/La/L(L2D)e

(L2D)e(L2D)4D

(L2D)ea/L(L2D)ea/L

(或用双曲函数形式：

Jxxa

I2D)Lcosh(a/L)2Dsinh(a/L)

3-17设有如图3-16所示的单位平板状“燃料栅元”，燃料厚度为2a,栅元厚度为

2b,假定热中子在慢化剂内以均匀分布源(源强为S)出现。在栅元边界上的中子流为零

(即假定栅元之间没有中子的净转移)。试求：

(1)屏蔽因子Q,其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内平均中子通量密度之

比；

(2)中子被燃料吸收的份额。

解：(1)以栅元几何中线对应的横坐标点为原点，建立一维横坐标系。在这样对称的

几何条件下，对于所要解决的问题，我们只需对x>0的区域进行讨论。

d2(x)(x)20,燃料内的单能中子扩散方程：dx2L

x00xa边界条件：i.limj(x)0ii.lim(x)Sxa

通解形式为：(x)Acosh(x/L)Csinh(x/L)

利用Fick'sLaw：J(x)D

代入边界条件i：D[d(x)AxCxD[sinh()cosh()]

dxLLLLAxCxDCsinh()cosh()]0C0LLLLx0L

a

LaLaLScosh(a/L)代入边界条件ii：Acosh()CsinhOAcosh()SA

所以FdVdxlSacosh(a/L)dVdxFOa

FOaxlSLsinh(a/L)SLacosh()dxtanh()OLacosh(a/L)aLa

Scosh(a/L)

(a)aacosh(a/L)Qcoth()LFtanh(a/L)L

a

(2)把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃

料和慢化剂的宏观吸收截面分

MF别为a和a,则有：

a

FFFadVFadVMFFaaFaLtanh(a/L)a回顾扩散

bFMFMMFMadVadxadxaaFa(ba)SaLtanh(a/L)a(ba)

0

OaFadx

FF长度的定义，可知：L2D/aaLD/L,所以上式化为：

FaLtanh(a/L)Dtanh(a/L)FMMaLtanh(a/L)a(ba)Dtanh(a/L)La(ba)

(这里是招慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S,其在b处的流密度自然为0,但

在a处情况特殊：如果认为其流密度也为0,就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料

内通量为。这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追

究每个细节。)

3-21

解：(1)建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系(对此问题表达式较简单)，建

立扩散方程：

Da2SBP：2aSDD

边界条件：i.0,ii.J(r)0,0r设存在连续函数(r)满足:

22aSl2DDL(l)(2)

2可见，函数(r)满足方程由条件i可知：C=0,

lexp(r/L)exp(r/L)(r)AC,其通解形式：2Lrr

由方程(2)可得：(r)(r)S/aAexp(r/L)/rS/a

再由条件ii可知：A=0,所以:

S/a

(实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0)

(2)此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立

扩散方程：D2aS即：2aS,x>0DD

x0边界条件：i.0||,ii.limj(x)at(0)/2,iii.

limj(x)0x

对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。

参考上一问中间过程，可得通解形式：(x)Aexp(x/L)Cexp(x/L)S/a

J(x)DdADx/LCDx/LeedxLL

由条件ii可得：

limj(x)xOADCDtStLS(AC)CA(AC)aaLL2a2Da

由条件iii可得：C=0所以：AatLSS(A)A2Da(1)atLa

x/LSSSx/Late(x)e[1]

2Dt(2D/L)aaa(1)atLa

对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。

3-22

解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：

1(x),x021L122(x)22(x),x0L21(x)边界条件：i.

lim1(x)lim2(x);xOxOii.lim[J(x)|x0J(x)|x0]S;0

iii.1(a)0;iv.2(b)0;

通解形式：1Alsinh(x/L)Clcosh(x/L),2A2sinh(x/L)C2cosh(x/L)由条

件i：ClC2

由条件ii：(1)

dIdDxxxxD2)lim[AlcoshOClsinhOA2cosh()C2sinh()]S

xOxOLdxdxLLLL

SLSLA2AlAlA2(2)DDlim(D

由条件iii、iv：

Alsinh(a/L)Clcosh(a/L)0Clcosh(a/L)Alsinh(a/L)(3)

(4)A2sinh(b/L)C2cosh(b/L)0C2cosh(b/L)A2sinh(b/L)

联系(1)可得：AlA2tanh(b/L)/tanh(a/L)

结合(2)可得：A2SLtanh(b/L)SL/DA2A2

Dtanh(a/L)1tanh(b/L)/tanh(a/L)AlSL/D1tanh(a/L)/tanh(b/L)

SLtanh(a/L)tanh(b/L)/Dtanh(a/L)tanh(b/L)ClC2Altanh(a/L)

所以：

SLtanh(b/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x0D[tanh(b/L)ta

nh(a/L)

(x)SL[tanh(a/L)sinh(x/L)tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)],x0tanh(b/L)

tanh(a/L)D

3-23

证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方

程：D2aSBR：2aS,x>0DD

x0边界条件：i.0||,ii.limj(x)0,iii.(ad)0

参考21题，可得通解形式：(x)Asinh(x/L)Ccosh(x/L)S/a

J(x)DdADxCDxcosh()sinh()dxLLLL

AD0A0L由条件ii可得：

limj(x)x0adSS)0CadLaacosh()L

SxSScosh(x/L)所以：(x)cosh()[1]Laaacosh()cosh()LL再由条件

iii可得：(ad)Ccosh(

由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。

3-24设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子，试求球体内的中

子通量密度分布。解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程：

D2aS即：2aSDD

iii.Iim4rj(r)0r02边界条件：i.0,ii..(Rd)0,

通解：(r)Aexp(r/L)exp(r/L)SCrra

2

r0由条件iii：

1im4rj(r)lim4D[A(rOrr1)er/LC(1)er/L]0ACLL

再由条件ii：

(Rd)ARdCRdSexp()exp(R)ORdLRdLa

(Rd)SARdRda[exp()exp()]LL

所以：(r)(Rd)S[exp(r/L)exp(r/L)]1SS(Rd)cosh(r/L)[1]

RdRdRdraaa[exp()expOJrcosh()LLL

(此时，limj(r)0)r0

第四章

4-1试求边长为a,b,c(包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度分

布。设有一边长a=b=c=0.5m,c=0.6m(包括外推距离)的长方体裸堆，L=0.0434m,

T=6cm2。(1)求达到临界时所必须的k8；(2)如果功率为5000kW,Sf=4.01m-

1,求中子通量密度分布。

解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：

222D(222)aka0xyz

边界条件：(a/2,y,z)(x,b/2,z)(x,y,c/2)0

(以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离)

因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法：(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)

k12X2Y2Z

2将方程化为：XYZL222X2Y2ZBx,By,Bz2设：XYZ

先考虑x方向，利用通解：X(x)AcosBxxCsinBxx代入边界条件：

Acos(Bxan)0Bnx,n1,3,5,...Blx2aa同理可得：(x,y,z)Ocos(

其中60是待定常数。a

2x)cos(ay)cos(az)其几何曲率：Bg()()()106.4(m-2)222

abc

(1)应用修正单群理论，临界条件变为:

其中：ML0.00248(m2)22k12Bg2M

k1.264

(2)只须求出通量表达式中的常系数<1>0

a

2a02b2b2c2c2PEffdVEffVcos(x)dxcos(y)dyabP(/2

)3cos(z)dzEffOabc()0cEffabc23

1.007X1018(m-2«s-l)

4-2设一重水-铀反应堆堆芯的k8=i.28,L2=l.8X10-2m2,T=1.20X10-2m2。试按

单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部材料曲率和达到临界时总的中子不泄

漏概率。解：对于单群理论：Bm

在临界条件下：2k115.56(m-2)2L110.781322221BgLlBmL

(或用1/k)

对于单群修正理论：ML0.03(m2)

2Bm22k19.33(m-2)2M

在临界条件下：110.68\0.7813?22221BgMlBmM

(注意：这时仍能用1/k,实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄

漏概率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了)

4-4

解：N510005NAN510005NAN5=4.79X1024(m-3),M5NCN5M5NC

NCN5NC4.79X1028(m-3)N5CT堆总吸收截面：aN5(55

f)NCa=0.344(m)

C5T总裂变截面：fN55fNCfN5f=0.280(m)

L2DD=2.61X10-2(m2)55CaN5(f)NCa

kvf

avN55fN5()NC

2

m55fCa=1.97555CklvN5fN5(f)NCa-2则材料曲率：B=37.3

(m)2LD

在临界条件下：Bg()

d卬5"一M(a；+b；)+Neb;

Bm222

R

R考虑到外推距离：d2tr2D=0.018(m)3

(如有同学用d=0.7104tr也是正确的，但表达式相对复杂)再考虑到堆的平均密

度：5N5CNC

N5NC5512NC/235N51NC/N5=957(kg/m3)(或者由N1000NANM)实

际的临界质量：M1000NA

12NC/235N544(Rd)3552D]3=156(kg)m

n2D

X-)+NC

1NC/N533

4-5

证明：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：222