贵州省铜仁市重点2023年高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径

为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中

积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式丫=；（5卜+11+5卜.）・力）.

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

2.某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董,

小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁

写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：

小王说：“入班即静''是我写的；

小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；

小李说：“细节决定成败”不是我写的.

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（）

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

3.已知向量a与向量质=（4,6）平行，石=（一5,1）,且2不=14,则£=（）

A.（4,6）B.（-4,-6）

’2旧3®

1kF

4.已知集合4={#》<。,。6/?},B=UI2x<16/,若43,则实数。的取值范围是（

)

A.0B.RC.D.(F,4)

5.某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中

抽取一个容量为"的样本.若样本中高中生恰有30人，则〃的值为（）

A.20B.50C.40D.60

已知角a的终边经过点（3,-4）,则sina+1

6.

cosa

137

A.-5B15

3713

口15

20

1一11

7.在平行四边形ABC。中，AB=3,AO=2,AP=]A8,AQ=,AD,若CP-R=12,则NADC=()

A.四3TC71

BD2

6T

8.己知点（见8）在幕函数/（幻=。〃-1）》〃的图象上，设。=/b=f(\mi),c=f(n),贝ij()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<a

9.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面

积为（）

iEMffi

3

A.2B.5C.网D.722

5

10-已知fa+2i（aeR）,i为虚数单位，则。=（)

A.y/3B.3D.5

11.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（)

A.S>1B.S>2C.S>lg99D.5>lg98

12.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.2事B.473C.手D.孚

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在正三棱柱ABC-々qq中，。是AC的中点，A4jA8=J，：l,则异面直线Aq与8。所成的角

为一.

14.已知函数/（x）=w+灰2+cx,若关于X的不等式/G）vo的解集是（-oo,-l）u（0,2）,则竺£的值为___

a

15.在AA6C中，内角A,仇C所对的边分别是a,"c.若bsinA=asinC,c=l,则8=_,A/出C面积的最大值

为一

x-y-1<0,

16.已知x,y满足约束条件2x+y-4W0,,则2=、+丫的最小值为.

><2x,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内

从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为

样本，得到下表（单位:人次）：

老年人中年人青年人

满意度

乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机

10分（满意）121202201

5分（一般）236249

0分（不满意）106344

（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；

（2）在2018年从A市到8市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概

率，求X的分布列和数学期望；

（3）如果甲将要从A市出发到8市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.

x=l+cos（p

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线c的参数方程为jv=，sin（p,（①为参数）.在以坐标原点为极点，X轴

的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为P=3.

（1）求曲线c的普通方程及直线/的直角坐标方程；

（2）求曲线c上的点到直线/的距离的最大值与最小值.

19.（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入最（单位：亿元）对年销售额y（单

位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①at伽；，②y-Jw'，其中均为

常数，e为自然对数的底数.

7篇停・，亿元

HO

7S•

70・

65•

60•

4or*^10—15^-20-25-3-0年-*及黄金-XI元

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量外和年销售额J）的数据，I并对这些数据作了初步处理，得到

了右侧的散点图及一些统计量的值.令",-京'/-仙1”/2”"〃，经计算得如下数据:

（1）设｛"）和6）的相关系数为和1J的相关系数为七，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型;

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立"关于x的回归方程（系数精确到0.0D;

（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？

附：①相关系数“=S回归直线ja+fcv中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

工住广"方仅厂才

J/1

n

2J（Xj-x/fyry）

i-1__

b=",a-v-bx;

i=J

②参考数据：3084x77,回;9,4868,J""''90-

20.（12分）已知椭圆。：£+竺=1（“＞。＞0）的左、右焦点分别为尸，F焦距为2,且经过点“一1，一1

a21）212\2.）

斜率为攵Q>0)的直线4经过点“(0,2),与椭圆。交于G,H两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)在x轴上是否存在点？(见0),使得以PG,尸，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出”的取值范围,

如果不存在，请说明理由.

21.(12分)已知函数(aeR),f(x)是/(x)的导数.

(1)当。=1时，令〃(x)=7'(x)-x+lnx,/r(x)为〃(x)的导数.证明：/r(x)在区间(0,])存在唯一的极小值点；

2「八兀一

(2)已知函数y=/(2x)一可型在0,-上单调递减，求”的取值范围.

22.(10分)椭圆C：E+—=lQ>b>0)的右焦点尸5,0),过点F且与X轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为

42。2

372.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆。交于M,N两点.。为坐标原点，A为椭圆。的右顶点，求四边形

OMAN面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

1x9x(102兀+J1027tx62兀+62兀)

试题分析：根据题意可得平地降雨量_37故选B.

14271

考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.

2.D

【解析】

根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.

【详解】

解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，

而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾：

若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，

否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，

所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；

若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，

则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，

所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.

所以“入班即静”的书写者是：小李.

故选：D.

【点睛】

本题考查推理证明的实际应用.

3.B

【解析】

设2=(x,y),根据题意得出关于X、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量2的坐标.

【详解】

设2=(x,y),且丽=(4,6),6=(—5,1),

由，〃加得6x=4y,即3x=2y,①，由£力=-5x+y=14,②，

3x=2y[x=-4-(\

所以〈<，解得V4，因此，。=(-4，-6人

-5x+y=14[y=-6

故选：B.

【点睛】

本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

4.D

【解析】

先化简8=112、<16}={xlx<4},再根据A={dxWa,aeR},且45求解.

【详解】

因为5={r12v<16)={xIx<4},

又因为A={xlxWa.aG解，且

所以a<4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

n

由题意，30=1500x----------,解得〃=50.

1500+1000

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

6.D

【解析】

因为角a的终边经过点（3,-4）,所以厂=132+（—4»=5，则sina=-|,cosa=1,

,113

即sina+----=—■•故选D.

cosa15

7.C

【解析】

,,2—]兀

由8=CE+8户=-AD--AB,CQ=CD+DQ^一人月一爹AD；,利用平面向量的数量积运算，先求得NBAD=

利用平行四边形的性质可得结果.

平行四边形ABCO中，A3=3,AD=2,

__.1__.__.1一

AP^-AB,AQ^-AD,

_______2__

CP=CB+BP=-AD--AB,

3

CQ^CD+DQ^-AB-LAD,

因为CRCQ=12,

所以5.包=卜而而

2一，14—..

=-AB2+-AD2+-ABAD

323

214

=_X32+—X22+—X3X2XCOS/BAD=12,

323'

|71

cosZBAD=-,ZBAD=—,

23

兀2K

所以/4℃=兀_可=手，故选c.

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（1）平行四边

形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是

和）.

8.B

【解析】

先利用幕函数的定义求出机的值，得到幕函数解析式为/a）=X3,在R上单调递增，再利用幕函数/（x）的单调性，

即可得到mb,c的大小关系.

【详解】

由基函数的定义可知，加-1=1,・♦•机=2,

・••点（2,8）在鼎函数/（X）=初上，

/.2/»=8,.*.71=3,

・••累函数解析式为/（X）=X3,在R上单调递增，

m2

,•*—=77，lV/〃7tV3,〃=3,

n3

m

n

.\a<b<cf

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了愚函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.

9.D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P-瓯3AC=S1MBS.c=@S.c=2,故最大面的面积为反.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

10.C

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.

【详解】

由-——=a+2i,得l+2i=a+2i,解得a=1.

1-21

故选:C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.

11.C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg2+lg_=lg3；

4

第三次，z=3,S=lg3+lg_=lg4,

•••；

99

第九十八次，［=98,S=lg98+lg—=lg99；

inn

第九十九次，i=99,S=lg99+1g=IglOO=2,

99

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

12.A

【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.

【详解】

由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

其中，底面为直角三角形，4)=2,AE=O,高为45=2.

...该儿何体的体积为V=—x2xx2=2y/3

故选:A.

【点睛】

本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60，

【解析】

要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两

条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角.

【详解】

取的中点E,连AE,3产,易证%EJ.面ACq。于点E,产为异面直线AR与60所成角,

/T1

设等边三角形边长为。，易算得A8=衣・••在放A4B石中，N4=不

11

।2I12

/.NABE=60。

।

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方

法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求.

14.3

【解析】

根据题意可知ar2+bx+c=0的两根为-1，2，再根据解集的区间端点得出参数的关系，再求解之即可.

a

【详解】

解：因为函数/G)=aX3+/zx2+CX=xCzX2+/u+c),

・.♦关于工的不等式/(X)＜。的解集是(YO,—1)D(0,2)

ax2+bx+c=0的两根为：T和2；

所以有：(T)+22且(-1)x2£；

aa

b=-。且。=-2a；

。+c-a—2。今

/____=----------=-3；

aa

故答案为：-3

【点睛】

本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系，属于基础题.

1

15.1

2

【解析】

由正弦定理，结合6sinA=asinC,c=l,可求出力；由三角形面积公式以及角A的范围，即可求出面积的最大值.

【详解】

因为Z>sinA=asinC,所以由正弦定理可得儿=ac,所以b=c=l；

所以S=bcsinA=1sinA<1,当9九4=1,即A=90°时，三角形面积最大.

M5C222

1

故答案为（1）.1（2）.-

【点睛】

本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.

16.-3

【解析】

作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.

【详解】

画出可行域易知2=》+>在点A（-1,一2）处取最小值为—3.

【点睛】

本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

292

17.（1）前（2）分布列见解析，数学期望至（3）建议甲乘坐高铁从A市到8市.见解析

【解析】

（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19,39,42,即可按照古

典概型的概率计算公式计算得出；

（2）依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是^|=（,所以X〜即

=即可求出x的分布列和数学期望;

（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机.

【详解】

（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M,

由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19,39,42,

所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率尸（加）=\^=/.

10050

（2）由题意，X的所有可能取值为：0,1,2.

因为在2018年从4市到8市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人

为老年人概率是

755

I1A

所以P(X=0)=C>x(l-_)2=一

2525

11Q

P(X=l)=Cix_x(l--)=_,

25525

P(X=2)=C2X(—)2=—,

2525

所以随机变量X的分布列为:

X012

1681

P252525

故E(X)=0x16+ix8+2x1=2

2525255

（3）答案不唯一，言之有理即可.

如可以从满意度的均值来分析问题,

参考答案如下:

52x10+12x5+11x0116

由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为:

52+12+117T

4x10+14x5+7x022

乘坐飞机的人满意度均值为:

4+14+7T

11622

因为---->—，

155

所以建议甲乘坐高铁从A市到B市.

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对

题意的理解，概率类型的判断，属于中档题.

18.(1)C：G-1)2+y2=l,(y>0),I:x-^/3y+6=0(2)最大值g,最小值1

【解析】

x=l+cos(p

(1)由曲线c的参数方程jv=|sin(p|,得cos(p=x-l,y=|sin(p|两式平方相加求解，根据直线/的极坐标方程

psin(0—g)=3,展开有psin。岑-pcos。：=3,再根据>=psin9,x=pcos。求解.

(2)因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.

【详解】

x=l+cos(p

(1)因为曲线c的参数方程为j),=卜in(p|

所以cos(p=x_l,y=|sin(p|

两式平方相加得：(无一1»+)，2=l,(yN0)

因为直线/的极坐标方程为psin(°q]=3.

所以psin。?一pcos0；=3

所以y#_xj=3

即x-y/Jy+6=0

(2)如图所示:

圆心C到直线的距离为：/=亍=2

所以圆上的点到直线的最小值为：d=d'-r=\

mm

,2+35

则点M(2,0)到直线的距离为最大值：d

max22

【点睛】

本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解

的能力，属于中档题.

19.(1)模型y=的拟合程度更好；(2)⑴；，O.02x+3.84；5)32.99亿元.

【解析】

(1)由相关系数求出两个系数，比较大小可得；

%

(2)(i)先建立」关于x的线性回归方程，从而得出v关于x的回归方程；

Ro

(ii)把y90代入(i)中的回归方程可得x值.

【详解】

本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识，考查统计与概率思

想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.

12

优「x)(v,-V)

i=1''141410

[TT~~lT~J770X0.308-77X0.2~11

5)«,•1iJ

则I，“<因此从相关系数的角度，模型y-J"'的拟合程度更好

%

(2)(i)先建立上关于x的线性回归方程.

R。

由F'，得耽/+〃，即1/+云.

J2

E(X.-x)(v.-V；

i=l14

由于％----6-------0.018,

//U

/=；

r=4.20-0.01820=3.84.

U籁

所以/关于x的线性回归方程为V=0.02X♦3.84,

%

所Winy0,02x-3.84,则;，-c°'x'""

(ii)下一年销售额y需达到90亿元，即y90,

代入；,-e0°XT火得，go-c°g+'叫

又/“砧：=90,所以4.4998~0.02x+3.84,

”,4.4998-3.84

所以x=-----------------32,99>

0.02

所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理

论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻

辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性

20.(1)±1+21=1(2)存在；实数加的取值范围是一与0

43L6)

【解析】

(1)根据椭圆定义计算”，再根据。，b,。的关系计算b即可得出椭圆方程；(2)设直线｛方程为>=丘+2,与

椭圆方程联立方程组，求出攵的范围，根据根与系数的关系求出G”的中点坐标，求出GH的中垂线与x轴的交点横，

得出机关于左的函数，利用基本不等式得出〃，的范围.

【详解】

(1)由题意可知。=1,歹/(1,0).

]2

又2〃T叫+1?I=^(-1+1)2+(-|)2+^(-1-1)24-(-|)2=|+|=4,

。=2,:.b=yja2-C2=串,

「尤V2

二桶圆c的方程为：—2+4-=i.

(2)若存在点P(见0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形，

则P为线段GH的中垂线与x轴的交点.

设直线/的方程为：y="+2,G(x,y),H(x,y),

III22

y-kx+2

联立方程组《X2y2,消元得：(3+4左2)》2+16履+4=0,

—+—=1

I43

△=256上_16(3+4%2)>0,又火〉0,故女>).

16k

由根与系数的关系可得x+x=一。，，，设G”的中点为(x,y),

।23+4左200

~i,>8Z,_6

则tx=-------,y=kx+2=-------,

o3+4hoo3+4&2

.••线段G”的中垂线方程为：y=-1(x+以什：,

k3+4人3+止

-2k22

令>=0可得"=二而=-二丁，即加=一一・

kk

,；k",故2+4左》2、酌1=46，当且仅当：=4k即A=噂时取等号，

2k\kk2

ni^--^==-3,且用<0.

4小6

二加的取值范围是0).

【点睛】

本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21.(1)见解析；(2)a<\

【解析】

1_]/兀、

(1)设g(x)="(x)=-—cosx,g'(x)=^+sinx,注意到g(x)在0,不上单增，再利用零点存在性定理即可

xX2V27

解决;

271714兀

(2)函数y=/(2x)-X4在0,-上单调递减，则y«0在0,-.恒成立，即2a、-51112%一了心40在0,-上

4

恒成立，构造函数机(工)=2以一§1112%一可工3,求导讨论加(幻的最值即可.

【详解】

(1)由已知，f'(x)=x-sinx,所以〃(x)=lnx-sinx,

1-1

设g(x)=〃'(x)=一—cosx,g'(x)=—4-sinx,

XX2

g,图>。,且g")在1o，£j上图象连续

g'(x)单调递增,而g)l)〈o,

不断.所以在上有唯一零点a,

当xw(O,a)时，g(x)<0；当时，g(x)〉O；

.•.8(町在(0,00单调递减，在(a,单调递增，故g(x)在区间(0,上存在唯一的极小

值点，即々(X)在区间上存在唯一的极小值点；

(2)设4(x)=x—sinx,xG[o,+oo),k'(x)=1-cosx>0,

Mx)在b,+8)单调递增，-x)N-0)=0,

即