2023-2024学年湖南省浏阳一中等湘东五校高考冲刺数学模拟试题含解析

2023-2024学年湖南省浏阳一中等湘东五校高考冲刺数学模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．2．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A． B． C． D．3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元4．在中，，，，则在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-35．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．6．已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（）A． B． C． D．7．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A． B． C． D．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则的最小值为（）A． B． C．l D．110．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．11．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集，集合，则______.14．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．15．在二项式的展开式中，的系数为________.16．记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正项数列的前项和.（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；（2）设正项数列的前项和为，若，且.①求数列的通项公式；②求证：.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.19．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.21．（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.22．（10分）已知命题：，；命题：函数无零点.（1）若为假，求实数的取值范围；（2）若为假，为真，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2、C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.3、D【解析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．4、D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.详解：如图所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．

∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故选C6、A【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.7、D【解析】

将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数；当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解；【详解】函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根.，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.因此.设，，若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解.设其解为，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.因为，方程在内有两个不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因为，所以，代入，得.设，，所以在上是增函数，而，由可得，得.由在上是增函数，得.综上所述，故选：D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题8、B【解析】

由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选：．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．9、A【解析】

设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.【详解】解：设点，则点，，，，当时，取最小值，最小值为.故选：A.【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.10、D【解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法11、A【解析】

根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．12、B【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意可得出，然后进行补集的运算即可．【详解】根据题意知，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．14、【解析】

计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t，设R（r，0），则k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS的面积的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.15、60【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式的展开式通项为：，取，则的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解析】

观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案为：．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）①；②详见解析.【解析】

（1）依题意可表示，，相减得，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；（2）①由题意可表示，，两式相减得，由其都是正项并整理可得递推关系，由等差数列的通项公式即可得答案；②由已知关系，表示并相减即可表示递推关系，显然当时，成立，当，时，表示，由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.【详解】解：（1）依题意可得，，两式相减，得，所以，因为，所以，且，解得.（2）①因为，所以，两式相减，得，即.因为，所以，即.而当时，，可得，故，所以对任意的正整数都成立，所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，所以数列的通项公式为.②因为，所以，两式相减，得，即，所以对任意的正整数，都有.令，而当时，显然成立，所以当，时，，所以，即，所以，得证.【点睛】本题考查由前n项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式，属于难题.18、（1）（2）【解析】

（1）直接利用极坐标公式计算得到答案（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.【详解】（1）因为，所以，因为所以直线的直角坐标方程为.（2）由题意可设，则点到直线的距离.因为，所以，因为，故的最小值为.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.19、（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.【详解】（1）当时，，当时，.也适合上式，所以，.设数列的公比为，则，由，两式相除得，，解得，，；（2）设数列的前项和为，则，.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.20、（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】

（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】（1）,①当时,,∴函数在内单调递增；②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为（2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点；（Ⅱ）当时,,①若,即,则是的一个零点；②若,即,则不是的零点（Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又，所以（ⅰ）当时,在上无零点；（ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点；②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以此