第3章 一次方程与方程组（单元提升卷）（解析版）

第3章一次方程与方程组（单元提升卷）一．选择题（共10小题）1．（2022秋•濉溪县校级期中）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．8x+y＝1 B． C．3x2+1＝5 D．6﹣2x＝4【分析】根据一元一次方程的概念一一判断即可．一元一次方程指的是含有一个未知数，最高次数为1的整式方程．【解答】解：A．8x+y＝1，含有2个未知数，此选项不符合题意；B．，不是整式方程，此选项不符合题意；C．3x2+1＝5，未知数的最高次为2，此选项不符合题意；D．6﹣2x＝4，此选项符合题意；故选：D．【点评】主要考查一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的概念，一个未知数，次数为1，整式，对这类题就能迎刃而解．2．（2022秋•无为市期末）若关于x的方程2x+a﹣3＝0的解是﹣2，则a的值等于（）A．﹣9 B．7 C．﹣1 D．1【分析】将x＝﹣2直接代入2x+a﹣3＝0即可求出a的值．【解答】解：当x＝﹣2时，2×（﹣2）+a﹣3＝0，解得a＝7．故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解，属于基础题，理解方程的解的概念是解题的关键．3．（2022秋•安徽期末）已知有理数x，y满足方程组，则2x+y的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意直接将两个方程相加即可求解．【解答】解：，由①+②得：3x﹣y+2y﹣x＝3+（﹣4），化简得：2x+y＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意应用整体思想是解题的关键．4．（2021秋•泗县期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A． B． C． D．【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：．故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．5．（2022秋•黄山期末）下列说法正确的个数有（）①若m＝n，则m﹣7＝7﹣n；②﹣|a|一定是负数；③若a＜|a|，则a是负数；④若|x|＝y，则x3＝y3；⑤若ax＝ay，则x＝y．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等式的性质，绝对值的意义，有理数乘方等对各个说法判断即可．【解答】解：①若m＝n，则m﹣7＝n﹣7，原说法错误；②当a＝0时，﹣|a|＝0，原说法错误；③若a＜|a|，则a是负数，原说法正确；④当x＝﹣3，y＝3时，|x|＝y，但x3≠y3，原说法错误；⑤当a＝0时，ax＝ay，但x不一定等于y，原说法错误；故正确的说法只有③，共1个．故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，绝对值的意义以及乘方的运算，掌握等式的性质是解本题的关键．6．（2022秋•芜湖期末）已知关于x的一元一次方程的解是x＝2023，则关于y的一元一次方程的解为y＝（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于y的方程化简为，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元一次方程的解是x＝2023，即的解是x＝2023，∴，∴，∴，即2023y﹣4046＝2022y﹣2022，解得：y＝2024．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．7．（2022秋•颍州区期末）学校组织秋游，带队老师和同学们以4km/h的速度从学校步行出发，20分钟后，张老师骑自行车从学校出发，以12km/h的速度沿相同路线追赶队伍，求张老师需要多长时间追上队伍．根据题意列出方程12x＝4（+x），则x表示的是（）A．张老师行驶的时间 B．队伍行进的路程 C．张老师与队伍的距离 D．队伍行驶的时间【分析】根据题意，20分钟＝小时，根据速度×时间＝路程，即可得出结论．【解答】解：∵20分钟＝小时，∴设张老师的行驶时间为x小时，根据题意列方程得，12x＝4（+x），故选：A．【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据等量关系得出题设是解题的关键．8．（2022秋•无为市期末）在“双11”来临前夕，天猫商城举行促销活动，店内所有商品打折销售．其中标价为130元的书包按8折出售仍可获利30%，这种书包的进价是（）A．65元 B．80元 C．100元 D．104元【分析】设每个书包的进价是x元，根据售价﹣进价＝利润，列出方程，解方程即可．【解答】解：设书包每个的进价是x元，根据题意得130×0.8﹣x＝30%x，解得x＝80．答：每个书包的进价是80元．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．（2023•宣州区校级开学）甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了（）分．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】甲、乙、丙、丁四人进行比赛，每两人要赛一场，则每人都要赛3场，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，则乙胜2场平1场，丙负2场平1场，丁胜2场负1场，根据他们之间的胜负情况，推算出甲的胜负情况，进而求出甲的得分．【解答】解：乙得了7分，只能是乙胜2场平1场；丙得了1分，则丙负2场平1场；丁得了6分，丁胜2场负1场．又甲只输了一场，根据胜场数等于负场数，得出甲只能是平2场负1场，得2分．故选：B．【点评】本题是关于比赛得分问题，考查了学生的推理能力，先根据乙、丙、丁的胜负情况，结合甲只输了一场，得出甲的胜负情况，进而求解．10．（2021秋•肥西县月考）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm【分析】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可．【解答】解：由题意得：，①+②得：a+b+2x＝a+b+150，解得：x＝75，故选：B．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．二．填空题（共4小题）11．（2022秋•怀远县期末）当x＝﹣2时，式子x+1与2x+5的值互为相反数．【分析】根据相反数的定义得出方程x+1+2x+5＝0，求出方程的解即可．【解答】解：根据题意得：x+1+2x+5＝0，解得：x＝﹣2，即当x＝﹣2时，式子x+1与2x+5的值互为相反数，故答案为：＝﹣2．【点评】本题考查了相反数和解一元一次方程，能根据题意得出关于x的一元一次方程是解此题的关键．12．（2022秋•包河区期末）若x＝﹣2是关于x的方程2x﹣a+2b＝0的解，则代数式2a﹣4b+1的值为﹣7．【分析】根据题意将x＝﹣2代入方程即可得到关于a，b的代数式，变形即可得出答案．【解答】解：将x＝﹣2代入方程得到﹣2×2﹣a+2b＝0，变形得到a﹣2b＝﹣4，所以2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×（﹣4）+1＝﹣8+1＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了对代数式求值，掌握将方程的解代入并对代数式变形整体代换是关键．13．（2022秋•怀远县期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设共有x个人买羊，可列方程为5x+45＝7x+3．【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，5x+45＝7x+3，故答案为：5x+45＝7x+3．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．14．（2023秋•无为市期中）幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x﹣y的值为﹣2．【分析】先求出已知对角线上3个数的和，然后求y，再求x，最后代入x﹣y计算．【解答】解：8+2+（﹣4）＝6，∴y＝6﹣7﹣（﹣4）＝3，x＝6﹣2﹣3＝1，∴x﹣y＝1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了有理数加法和减法的应用，正确列出算式是解答本题的关键．三．解答题（共9小题）15．（2022秋•颍州区校级期末）解方程：（1）2（x+8）＝3（x﹣1）；（2）．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：（1）2（x+8）＝3（x﹣1），去括号，得2x+16＝3x﹣3，移项，得2x﹣3x＝﹣3﹣16，合并同类项，得﹣x＝﹣19，系数化成1，得x＝19；（2），去分母，得3（2x﹣1）﹣2（2x+5）＝6x﹣7﹣6，去括号，得6x﹣3﹣4x﹣10＝6x﹣13，移项，得6x﹣4x﹣6x＝﹣13+3+10，合并同类项，得﹣4x＝0，系数化成1，得x＝0．【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．16．（2022秋•定远县期中）用代入消元法解二元一次方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组整理后相加可得x﹣y＝2，再利用代入消元法求出解即可．【解答】解：（1），由②，得x＝y+5③，把③代入①，得2（y+5）+3y＝0，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入③，得x＝3，故原方程组的解为；（2）方程组整理，得，①+②，得7x﹣7y＝14，即x﹣y＝2，∴x＝2+y③，把③代入②，得3（2+y）﹣4y＝2，解得y＝4，把y＝4代入③，得x＝6，故原方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．17．（2023•临泉县校级开学）40名海员带了可供用20天的淡水出海航行，预计16天到达目的地．5天后在公海里救了10名遇到不测的外国海员．照这样计算，剩下的淡水是否还够用？为什么？（用计算说明）【分析】设剩下的淡水还够用x天，根据题意列出方程，解方程即可得出结论．【解答】解：剩下的淡水还够用．理由如下：设剩下的淡水还够用x天，依题意得：40×20﹣40×5＝（40+10）•x，解得：x＝12．∴剩下的淡水还够用12天，12＞16﹣5，∴剩下的淡水还够用．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．18．（2022秋•庐阳区校级期末）某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．（1）若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？（2）若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？【分析】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，x＞y，根据“参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元”列方程组求解即可；（2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且a＞b，然后分两种情况列式求解．【解答】解：（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，x＞y．由题意得，解得，答：设两双鞋的原价分别为300元和200元．（2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且a＞b．①当使用折价券比参加特惠活动花费多60元时，由题意得（0.8a+0.8b）﹣（a+0.6b）＝60，整理得b﹣a＝300，与a＞b矛盾，此情况不成立．②当参加特惠活动比使用折价券花费多60元时，由题意得（a+0.6b）﹣（0.8a+0.8b）＝60，整理得a﹣b＝300，答：两双鞋的原价相差300元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．19．（2022秋•凤阳县校级月考）正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．（1）商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？（2）若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售，在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到利润25.5%的预期目标．【分析】（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合商场用12000元购进某品牌衬衫和短袖共140件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设每件衬衫降价m元，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，依题意得：，解得：．答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件．（2）设每件衬衫降价m元，依题意得：180×60×25%+（180﹣m）[60×（1﹣25%）﹣5]+60×（1+20%）×80﹣12000＝12000×25.5%，解得：m＝15．答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．20．（2022秋•南陵县期末）已知数轴上三点M、O、N对应的数分别为﹣3、0、2，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是﹣0.5．（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是7？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由．（3）如果点P以每秒6个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，PN＝PM．【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；（3）设经过t秒，PN＝PM，由题意列出方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：（1）根据题意得：x﹣（﹣3）＝2﹣x，解得：x＝﹣0.5．故答案为：﹣0.5；（2）存在，理由如下：根据题意得：|x﹣（﹣3）|+|x﹣2|＝7，解得：x＝﹣4或3．故x的值为﹣4或3；（3）设经过t秒，PN＝PM，根据题意得：|6t﹣（2+3t）|＝|6t﹣（﹣3+t）|，解得：t＝或7．故经过或7秒，PN＝PM．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，弄清题意是解本题的关键．21．（2022秋•蜀山区期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．（1）A型篮球和B型篮球的标价各是多少？（2）该体育用品店推出了以下优惠方案：方案一：所有商品按标价的九折销售；方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．【分析】（1）设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为（x﹣30）元，购买A型篮球的总费用为8x元，购买B型篮球的总费用为10（x﹣30）元，可列方程8x+10（x﹣30）＝1320，解方程求出x的值，再求出x﹣30的值即可；（2）先求得按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案．【解答】解：（1）设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为（x﹣30）元，根据题意得8x+10（x﹣30）＝1320，解得x＝90，所以x﹣30＝90﹣30＝60，答：每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元．（2）选择方案二更合算，理由如下：90×20+60×30＝3600（元），所以，按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，选择方案一，总费用为：×3600＝3240（元），选择方案二，总费用为：2000+×（3600﹣2000）＝3120（元），因为3120元＜3240元，所以选择方案二更合算．【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键．22．（2022秋•黄山期末）新安江山水画廊风景区位于安徽省黄山市歙县深渡镇，风景优美，一年四季，景色各异，似一幅流动的山水画卷，周末，小杨与同学相邀乘船游玩，他们从A地上船，花了2.5小时顺流而下至B地，游玩后又花了3小时返回A地，已知游船静水速度为17.6km/h．如果游船从B地返航时，一个救生圈不慎滑落水中，直到返回A地时船员才察觉，请问此时救生圈离A地多远？【分析】设水流速度为xkm/h，根据顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，然后根据来回的路程相等列出方程，求解即可得出水流速度，进而得出结果．【解答】解：设水流速度为xkm/h，由题意得：2.5（17.6+x）＝3（17.6﹣x），解得：x＝1.6，即水流速度为1.6km/h，于是得到A，B两地之间的距离为3×（17.6﹣1.6）＝48