2023届高考数学一轮复习测试调研卷（新高考Ⅱ卷地区使用）

2023届高考数学一轮复习测试调研卷

(新高考n卷地区使用)

【考试时间：120分钟】

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={乂-4<x<2}，N={x|》2_》_6<0},则Mp|N=()

A.{%|-4<x<3}B.{x|—4<x<-2}C.{%|—2<x<2}D.{x\2<x<3}

2.若z=l+2i+i3,则|z|=()

A.OB.lC.V2D.2

3.程大位《算法统宗》里有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第

每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传意思为：

996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，之后每人依次多17

斤，直到第八个孩子为止，分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则

第八个孩子分得棉花的斤数为()

A.65B.176C.183D.184

4.已知非零向量a,4满足|©=2|川，且(a-Z>)_Lb,则二与b的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

6336

5.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、

乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一

个出场的方法有()

A.6种B.8种C.20种D.24种

6.已知久夕为锐角，Ktana=2,cos(cz+^)=,则tan(a-/?)=()

c1

7.已知三棱锥P-ABC的外接球半径为R,且△ABC外接圆的面积为12兀，若三

棱锥P-ABC体积的最大值为券，则该球的体积为()

人1024K口2048TI「512兀「256兀

A.-------D.---------C・--------L).------

3333

8.已知函数y=/(x)的定义域为R,且函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对

称，对于任意的x,总有/(%-2)=/(%+2)成立，当xe(0,2)时，

f(x)=X2-2x+\,函数g(x)=w%2+x(XGR),对任意xeR,存在feR,使得

〃x)>g⑺成立，则满足条件的实数〃，构成的集合为()

A.</?J|m<—\B.<rn\m<—\

14f14f

C.|/n|0<m<D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对

的得2分。

9.已知函数/。)=$皿2*+2852工-1,下列四个结论正确的是()

A.函数/(幻在区间等国上是增函数

OO

B.点（手,0

是函数/(x)图象的一个对称中心

C.函数)(为的图象可以由函数y=0sin2x的图象向左平移巴得到

4

D.若xe0弓，则/(x)的值域为［0,血］

10.在平面直角坐标系xOy中，点"(4,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，抛物线的

焦点为F,延长网产与抛物线相交于点N,则下列结论正确的是()

A.抛物线的准线方程为x=T

B.|MN|=j

7

C./XOMN的面积为2

2

D.\MF\+\NF\=^MF\-\NF\

11.设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是()

nlab

A.a+/7H—,—>2^^2JD.---------->y[ah

y/aba+b

「a2+b'、,

C.-=^->a+bD.(«+/?)>4

y/ab

12.已知四棱雉尸-ABC。的顶点都在球心为0的球面上，且PA_L平面ABCD,

底面A8CQ为矩形，PA=AB=2,AD=4,设E,F分别是P8,的中点,

则（）.

A.平面AEF〃平面PCD

B.四棱锥P-ABC。的外接球的半径为卡

C.P,B,。三点到平面AE尸的距离相等

D.平面AM截球0所得的截面面积为也

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布

N（84,（y2）,且P（78<X484）=0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校

数学成责不低于90分的人数为.

14.已知函数/（M=炉+2比'-1,则函数/（幻在点（0,/（0））处的切线方程为

15.iSmeR，直线（：mx-y-3m+l=0与直线"：x+my-3根一1=0相交于点

P，点Q是圆C：(x+l)2+(y+l)2=2上的一个动点，则|PQ|的最小值为

22

16.已知椭圆C:?+q=l的左、右焦点分别为片，居，左顶点为A，过点

〃(加,0)(加＞2)作直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,且

女然=kpF、,kpA+kpM=°，则"？=----------

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

17.(10分)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，q=l,S3=9.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a=(T)"•《，求数列也｝的前n项和T„.

18.(12分)设△ABC的内角A,的对边分别为。也c,已知

a2—2"cosC=2b2cosB+c2.

⑴求角B.

(2)若b=2G,G(sinA+sinC)=2sin5,求△ABC的面积.

19.(12分)某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”

的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200

名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.

⑴求频率分布直方图中«的值，并计算这200名市民评分的平均值；

（2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情

况，用X表示抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及数学期望E（X）.

20.（12分）已知四棱柱ABC。—AgGR的底面为菱形，48=441=2,

N5AO=W，ACryBD=O,4。_1平面48£>,\B=A[D.

⑴证明：8cp平面48。；

（2）求二面角B-AA.-D的余弦值.

21.（12分）已知双曲线C:5-与=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为耳,工，

ab

斜率为-3的直线/与双曲线。交于A,8两点，点M（4,-2行）在双曲线。上，且

|吟卜眼段=24.

⑴求△加片鸟的面积.

⑵若9+。笈=0（。为坐标原点），点N（3,l）,记直线的斜率分别为

kt,k2,问：匕42是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.（12分）已知函数/（X）=ae"—2工一2.

（1）求证：当a>2时，/（%）>0；

（2）设/（x）的两个零点分别为和々，且々>王，求]。一小_炉）的取值

范围.

答案以及解析

1.答案：c

解析:由小_%_6<0,得(X—3)(x+2)<0,解得_2<x<3，即

N={jd-2(尤<3}，所以MC|N={H-2<X<2}.

2.答案：C

解析：因为z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i,所以|z|=jA+f=&故选c.

3.答案：D

解析：根据题意可得每个孩子分得棉花的斤数构成一个等差数列{q},其中公

差。=17,项数〃=8,前8项和$8=996.由等差数列的前〃项和公式可得

8q+三xl7=996,解得囚=65,所以%=65+(8—1)x17=184.

4.答案：B

解析：设向量。与〜的夹角为9,则由得

(a-b)b=ab-b1=|«II*|COS6>-|*|2=2|6|2cos0-|*|2=O,所以cos6=,，所以

2

eg故选B.

5.答案：B

解析：由题意知，当甲第一个出场时，不同演讲的方法有C；A；=4(种)；

当甲第二个出场时，不同演讲方法有C；A；=4(种)，

所以所求的不同演讲方法有4+4=8(种)，故选B.

6.答案：A

解析：因为a,夕为锐角，所以a+£w(0,7t).

由cos(a+/?)=-可得sin(a+尸)=-71-cos2(a+/?)=,

则tan(a+£)=一工，又tan2a=2tanj,

3l-tan2a3

故tan(a-/?)=tan[2<z-(a+/7)]=Jan2a—tan(a+b)故选A.

1+tan2atan(a+J3)13

7.答案：D

解析：如图，设△ABC外接圆的半径为r,已知△ABC外接圆的面积为12兀,

故"2=12兀，所以r=AQ=26，当△ABC为正三角形(△ABC的面积最

大)，且尸，0(球心)，。|(ZVIBC外接圆圆心)三点共线时，三棱锥的体

积最大.在△的(;中，由正弦定理知———=半=2「=4百，所以

sinZACBV3

AB=BC^AC=6,所以=!ABBC-sin四=96.设三棱锥P-ABC的外

ZA/iDL23

接球半径为R,因为K>YBc=gs2Bc・(R+Oq)=36(A+OOj=^R，所以

oq=(/?.在RQOO|A中，由7?2=00；+(26)2,得R2=16,R=4,所以该

解析：由函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称知函数y=/(x)的图象关于

原点对称，即函数y=/(x)是奇函数，由任意的x,总有/(x-2)=/(x+2)成

立，即/(x+4)=/(x)恒成立，得函数y=『(x)的周期是4,又当尤.0,2)时,

f(x)=x2-2x+l,所以当xe(O,2)时，0</(x)<l,而/(x)是奇函数，所以

当xe(—2,0)时，-l</(x)<0,又〃一2)=〃2),/(—2)=-"2),从而得

/(-2)=/(2)=/(0)=0,即当无«-2,2)时，-1</(X)<1,由函数y=/(x)

的周期是4,得函数>=/(%)在R上的值域是Gl，1)，因为对任意xeR,存在

feR,使得〃x)>g⑺成立，所以g(x)W-l,即+xK-l在R上有解，当

时，取％=-2,则4m-24一2<-1成立，即，“W0,符合题意，当机>0

时，如2+x+i4。在R上有解，必有八=1一4〃此0,解得机4工，则

4

0<m<i,符合题意.综上可得机4工，所以满足条件的实数加构成的集合为

44

｛加|〃?<；).故选A.

9.答案：AB

解析：本题考查三角变换及函数y=Asin(ox+o)的图象性质.

/(x)=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=V2sin|2x+—|,若xe，贝1]

2%+扑nn因此函数/(x)在区间［-笥，/上是增函数，A项正确;

252

因此点(蓑,0

=5/2sin兀=0,是函数/(%)图象的一个

对称中心，B项正确；由函数y=0sin2x的图象向左平移:得到

y=>/2sin2(x+-^j=>/2cos2x,因此由函数"岳g的图象向左平移;

不能得到函数/(X)的图象，C项错误；若xe0看,则+苧］,

则sin(2x+：)e-与,1，因此/(幻的值域为［T0］，D项不正确.

10.答案：AD

解析：•.•点”(4,4)在抛物线丁2=2内(〃>0)上，；.42=2px4np=2,

二丁2=4%，焦点尸为(1,0),准线为直线x=-l,A正确.••,A/(4,4),

4-044

—=-»故直线MF的方程为y=-(x-l).联立

4—133

y=4羽i/1

<4=>4/-17x+4=0=>x=—或x=4,•/x=4,N\-,-l

y=§(x-l)4w'(4

.•.|MF|=4+^=5,|7VF|=-+-^=-,.-.|A/7V|=5+-=—,B错误.

242444

25

\MF\+\NF\^MN\=-=\MF\-\NF\,D正确.△OMN的面积为

4

g|Ob1(yM—yN)=gxlx5=|,C错误.故选AD.

解析：因为a>0,Z;>0,所以。+/?+，=22血，当且仅当〃=人

yjabyjah

且2疯=人，即.=0=立时取等号，故A一定成立；

yjab2

因为a+62而>0,所以萼4竿=而，当且仅当时取等号，故

a+blyjab

B不一定成立；

因为四«竿=而，当且仅当。=匕时取等号，

a+b2yjab

所以匕龙〕"b)fb=a+b—辿一几=赢，当且仅当a=b

a+ba+ba+b

时取等号，所以而,

a+b

所以二,1+/?,故C一定成立；

yfab

因为9+价（工+工]=2+2+@24,当且仅当〃=〃时取等号，故D一定成立.故

\ab）ab

选ACD.

12.答案：BCD

解析：对于A,取线段PC的中点0,连接£。，OD,则EO//3C,所以

EO//AD,EO=-AD,在梯形ADOE中，AE与。。不平行，若平面AEF〃平

2

面PCD,因为平面AEO£>n平面A£F=AE，平面AEOOPl平面PC£>=OD,

所以AE//OD,这和AE与。。不平行相矛盾，故A错误；

对于B,由题意可将该四棱锥补形为一个长方体，易知球心。为长方体的对角

线的中点，即PC的中点，故球0的直径2/?=。。=」4尸+.2+8。2=2后,

所以??=#,故B正确；

对于C,E为尸8的中点，则P,B两点到平面AEE的距离相等，同理/为

的中点，则8,C两点到平面AE尸的距离相等，故C正确；

对于D,设球心到平面AEF的距离为小截面圆的半径为r,由题意可知，球

心0到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，EF="C=^,

2

AE=PAsin45°=V2,AF=y]AB2+BF2=272,因为所？+人后？=人尸2,所以

所，点E到平面ABF的距离为』AP=1,在三棱锥B-A£尸中，由等体

2

积法可得乙……，呜亭勿后叫亭23,解得公竽，

所以，=/?2一/=6一3=好，所以截面圆的面积为“2=也，故D正确.故选

333

BCD.

13.答案：80

解析：因为X近似服从正态分布N(84Q2),且P(78＜X«84)=0.3,

所以P(X290)=1-2x03=02,

所以估计该校数学成绩不低于90分的人数为4(X)x0.2=80.

14.答案：2x—y—1=0

解析：v/V)=2x+2ev+2xev,/(0)=-1,.•・函数/(x)在点(0,—1)处的切线斜

率攵=尸(0)=2,.・・所求的切线方程为丁一(一1)=2。-0),即2x—y—l=0.

15.答案：0

解析：由题意得：4:(工一3)机+(1-y)=0，4：(工一1)+()'-3)m=0,

“恒过定点M(3,l)，4恒过定点N(l,3)，又/j,

点轨迹是以MN为直径的圆，即(2,2)为圆心，；J(3-明+(1-3)2=贬为

半径的圆，点轨迹为(x—2/+(y-2)2=2，

•.•圆(％-2『+()，—2)2=2与圆C的圆心距d=J(I+2)2+(]+2)2=3夜＞2心，

二两圆相离，二归。|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，

即|PQ1mhi=3y/2-2y/2=y/2-

故答案为：V2.

16.答案：3或5

解析：由题意可知直线/的斜率存在且不为0.

设尸(%,乂)°(%,〉2)，直线/：y=L(x-m)(J-0)，

y=k(x-m),

联立方程可得＜fy2消去y,得(3+4公卜2一8左27nx+4女2〃一]2=0,

.T+T=1,

222

所以△=48(3+4-k-mk)>0,x,+x2=：；；、,xtx2=J"

由题意知耳(-1,0),鸟(1,0),%4=kpF、，

所以上=上.,即M石一一)=M一一")，

xx+1x2-1%+1x2-l

得X+&一m(玉_%2)-2"2=0,所以玉一&=-—―T，

两边同时平方，得(％-々)2=(%-4X,X2=—也力

-(3+4V)

W4A:2(m2-4)=9@.

由题意得A(—2,0),kPA+kPM=0,

所以直线PA的方程为y=-A(x+2),

'y=-%(x+2),

与椭圆方程联立，得fy

---1---=1,

43

消去y得(3+4%2b2+16人+16公—12=0,

16/一12徂6-8G

则-得百=互市-

3+4/

又P在线段AM的垂直平分线上,

”,、］tn—26—8K/口124

所以无=----=——得43=------3②.

23+4公m+2

由①②得利2-8利+15=0,得/”=3或〃2=5.

经检验，加=3或加=5都符合题意，所以加=3或m=5.

17.答案：（l）a“=2〃-l.

⑵T--2//+1,.为奇数，

"=[2",〃为偶数

解析：（1）设数列｛%｝的公差为4

则S3=3at+3d=3+3d=9,解得d=2,

故数列｛a“｝的通项公式为a“=1+2(〃-1)=2〃-1.

-(2〃-1)2,〃为奇数,

(2)由⑴知勿=(―1)”•寸=(-1)"-(2n-I)2

(2〃-1)2,〃为偶数

当〃为奇数时，7；=-l+32-52+72-92+.--+(2«-3)2-(2n-l)2

=2x(l+3+5+7+---+2n-3)-(2/j-l)2

=2x(D(l；2〃-3)_(2f2

=-2/+1.

当n为偶数时，7；=-1+32-52+72-92+..—(2«-3)2+(2n-l)2

=2x(l+3+5+7+,・・+2〃—3+2/1—1)

%(1+2〃-1)

=0Zx--------------

2

=2nl.

故T--2〃2+L〃为奇数，

〃二［2〃2/为偶数.

18.答案：⑴空

3

⑵G

解析：(1)由已知条件及余弦定理，

得储一+/=COSB+C2.

整理，得如2cos5=—〃，

所以cos8=-L

2

又36(0,兀)，所以B=q-.

(2)由已知条件及正弦定理，

得A/3｛a+c)=2b,

又〃=2>/3,所以a+c=4,

则a2+c2+2ac=16.①

由余弦定理，得余=定+c?-2occos5,

即12=4+/+4.②

由①②，得ac=4.

故S«A8c=gacsinB=；x4x=G.

19.答案：(l)a=0.025；平均分为80.70分.

(2)分布列见解析，数学期望为1.

解析：(1)由频率分布直方图知，

0.035M).()2()+().()14+0.(X)4+().002=0.075,

由10x(0.075+a)=l,解得a=0.025,

45x0.002x10+55x0.004x10+65x0.014x10

+75x0.02x10+85x0.035x10+95x0.025x10=80.70（分）.

⑵评分在90分以上的频率为0.25,用频率作为概率的估计值，现从该城市中

随机抽取4人可以看成二项分布，

X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=C；

4)⑷256

尸2"叱后嘿

P(X=3)=C：(U图嗤

p(X=4)=C：

所以X的分布列为:

X01234

8110854121

P

256256256256256

E(X)=4xl=l.

4

20.答案：(1)见解析

⑵-；

解析：(1)连接A4交AR于点Q,连接。Q,易知Q为A片的中点，0为

AC的中点，.•.在AABC中，OQPLB。,

=2

OQ<=平面A.BD,B[C仁平面ABD,

.♦.用。尸平面4BO.

(2)连接A.O-AO±平面A.BD,:.AOV\O,

•••48=4。且。为3。的中点，

:.\OYBD,

•.­AO,BDu平面ABC。且AOcBD=O,

AQJ•平面ABCD.

如图，以。为坐标原点，OA,OB,OA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角

坐标系O-xyz.

易得A(e,0,0),5(0,1,0),1)(0,-1,0),A(0,0,1),

.♦.羽=(一百,0,1),AB=(-73,1,0),

设平面AAB的法向量为〃=（x,y,z）,

_,[n-AA.=0,\—y/3x+z=0,

则22.•・《广

[〃.AB=0,[-Kx+y=0,

令x=l,得y=z=G,

同理可得平面A.AD的一个法向量为m=(1,-V3,V3)，

1

机=

/.cos(m.n)-7

wl

结合图形知，二面角8-为钝二面角，

••・二面角8-AA,-D的余弦值为-

7

21.答案：(1)8a

⑵是;-1

解析:(1)依题意可知，F,(-C,O),F2(C,O),则

\MF]\=J(4+c%+(_2夜-0)2=J(4+cy+8,

222

\MF2\=7(4-C)+(-2>/2-0)=7(4-c)+8，

又|断卜眼周=24,所以"(4+C)2+8.J(4-C)2+8=24,

解得。2=16(。2=0舍去)，又c>0,所以c=4,则|耳周=8,所以VM/诟的面

积S='x8x20=80.

2

\16_J_

⑵由(1)可</'解得/=匕2=8.

a2+Z?2=16,

y22

所以双曲线C的方程为-—占v=1.

88

设（如％），则矶一孙一%），则《="4'—%'

X,—5~Xj—3

设直线/的方程为y=-3x+〃?，与双曲线C的方程联立，消去y得

8x2—6〃a+加2+8=0,

由A=(—6根)2-3