压轴题05数列压轴题15题型 （学生版）

压轴题05数列压轴题十五大题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点为数列，其中包含了数列的单调性、不等式，数列与三角函数、集合、函数等的结合，也包含数列的放缩，新定义等。预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。高频考法题型01数列不等式、单调性与最值性问题题型02数列分奇偶问题题型03数列新定义问题题型04数列重新排序问题题型05数列与三角函数结合题型06数列中的周期性题型07数列中插入项问题题型08数列与放缩结合题型09斐波那契数列问题题型10数列与排列组合结合题型11高斯函数问题题型12数列与实际模型题型13数列与集合新定义题型14数列与函数结合题型15数列与函数导数结合01数列不等式、单调性与最值性问题1.（2024·浙江宁波·二模）已知数列an满足an=λn2−n，对任意n∈1,2,3都有aA．114,18 B．114,2.（2024·全国·模拟预测）若数列an，对于∀k∈N∗,n∈N∗，都有an+k−an>kt（t为常数）成立，则称数列an具有性质P(t)．已知数列aA．(85,+∞) B．(43.（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知数列an满足2an+1(1)已知an①若a3=1，求②若关于m的不等式am<1的解集为M，集合M中的最小元素为8，求(2)若a1=111，是否存在正整数4.（多选）（2024·广东·模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数f(x)有两个不相等的实根b,c，其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列{xnA．x1=ec−be−1（其中C．a6=132 D．数列a5.（2024·陕西西安·三模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足aA．11 B．12 C．13 D．1002数列分奇偶问题6.（2024·河北石家庄·二模）已知数列an满足(1)写出a2(2)证明:数列a2n−1(3)若bn=a2n，求数列n⋅b7.（2024·广东佛山·二模）已知数列an满足a1=1，a(1)证明bn为等比数列，并求数列b(2)设cn=bn−5bn+1−5，且数列cn8.（2024·北京丰台·一模）已知数列an满足aA．当a1<0时，an为递增数列，且存在常数M>0B．当a1>1时，an为递减数列，且存在常数M>0C．当0<a1<1时，存在正整数N0D．当0<a1<1时，对于任意正整数N09.（2024·辽宁·二模）如果数列xn,yn，其中yn∈Z，对任意正整数n都有xn−y(1)若an=2n+2(2)若数列an是等差数列，且公差为dd∈Z，求证：数列(3)若数列an满足a1=231100，且an+1=−910an+5720，记数列10.（多选）2024·辽宁沈阳·二模）已知数列an的通项公式为aA．若c≤1，则数列anB．若对任意n∈N*，都有aC．若c∈N*，则对任意i,j∈D．若an的最大项与最小项之和为正数，则03数列新定义问题数列的新定义问题，一般根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前n项和，最后再通项和前n项和的基础上讨论数列的性质.11.（2024·广东深圳·二模）无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an﹔如果n是奇数，就对(1)写出这个数列的前7项；(2)如果an=m且(3)记an=fn，n∈12.（2024·广东梅州·二模）已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为Mn，即Mn=maxa1,a2,⋅⋅⋅,an；前n(1)若an=3n，求其生成数列(2)设数列pn的“生成数列”为qn，求证：(3)若pn是等差数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，a13.（2024·浙江·模拟预测）已知实数q≠0，定义数列an如下：如果n=x0+2x(1)求a7和a8（用(2)令bn=a(3)若1<q<2，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得an14.（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对∀k∈N*,k≥2,(1)若an=n(2)若an为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N（ⅰ）若数列Sn为an的前n项和，证明：（ⅱ）对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,x15.（2024·吉林白山·二模）已知数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：①数列an项数有限为N；②SN=0；③(1)若等比数列an1≤n≤10为“10阶可控摇摆数列”，求(2)若等差数列an1≤n≤2m,m∈N*为“2m阶可控摇摆数列”，且(3)已知数列an为“N阶可控摇摆数列”，且存在1≤m≤N，使得i=1Nai=204数列重新排序问题16.（2024·全国·模拟预测）已知n∈N∗，an=12n−1，bn=1A．196197 B．198199 C．9819717.（2024·黑龙江·二模）已知集合A=a1,(1)求数列an(2)设bn是等差数列，将集合A∪B的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为c①若bn=5n−1，数列cn的前n项和为Sn，求使②若A∩B=∅，数列cn的前5项构成等比数列，且c1=1,18.（2022·上海虹口·一模）已知集合A={y|y=2x,x∈N∗}，B={y|y=3x,x∈N∗}.A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}，(1)求S10(2)如果am=81，a2022=t，求(3)如果n=3k−12+k(k∈N∗)19.（2020·湖南长沙·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=aa>0,a∈N∗，S（1）求数列an（2）在①ak+1，ak+3，ak+2，②ak+2，对任意的正整数k，若将ak+1，ak+2，ak+3按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为dk，求20.（2022·上海金山·一模）已知有穷数列an的各项均不相等，将an的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列pn，称pn为an的“序数列”.例如，数列a1､a2､a3满足(1)若数列3−2x､5x+6､x2的“序数列”为2､3､(2)若项数均为2021的数列xn､yn互为“保序数列”，其通项公式分别为xn(3)设an=qn−1+p，其中p､q是实常数，且q>−1，记数列an的前n项和为Sn，若当正整数k≥305数列与三角函数结合21.（2023·天津河北·一模）已知an是等差数列，其公差d大于1，其前n项和为Sn,bn(1)求an和b(2)若正整数m,n,p满足m<n<p，求证：bm(3)记cn=an2cos222.（2024·吉林·二模）已知数列an,(1)求a2(2)求an(3)设nan−2n的前n项和为T23.（2024·河南开封·三模）点S是直线PQ外一点，点M，N在直线PQ上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段PQ上，记P,Q;M=SPsin∠PSMSQsin∠MSQ；若点M在线段PQ外，记P,Q;M=−SPsin∠PSMSQ⋅(1)若AD=3+1，求(2)射线BC上的点M0，M1，M2，…满足B,C;（i）当n=0时，求AM（ii）当n≠0时，过点C作CPn⊥AMn于Pn，记24．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列an,a1=1,(1)求数列an(2)求证：sina(3)证明：1+sin25.（2022·上海金山·一模）若数列an满足an+an+1+an+2+⋯+an+k=0n∈N∗,k∈N∗，则称数列06数列中的周期性26.（2023·湖南永州·二模）已知数列an满足a3=−127.（2023·全国·模拟预测）若数列an满足an+1−anan+128.（2021·广东·模拟预测）已知Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OC=an−1+an+1OA+29.（2024·湖南长沙·一模）对于数列an，如果存在正整数T，使得对任意nn∈N*，都有an+T=an，那么数列an就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期.若周期数列bn,(1)判断数列an(2)若an和bn是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4m∈30.（22-23高三下·北京·阶段练习）若无穷数列an的各项均为整数．且对于∀i,j∈N∗，i<j，都存在k>j，使得a(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．①an=n，②bn=n+2，(2)若数列an满足性质P，且a1=1(3)若周期数列an满足性质P，求数列a07数列中插入项问题31.（2024·全国·模拟预测）已知an=2n，数列cn为a1,b1,a2,32.（2024·河北沧州·一模）在数列an中，已知a(1)求数列an(2)在数列an中的a1和a2之间插入1个数x11，使a1,x11,a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21,x22，使a2,x2133.（2024·新疆·二模）已知an为等差数列，前n项和为Tn，若(1)求an(2)对任意的m∈N*，将an中落入区间2①求bm②记cm=222m−1−bm,cm的前34.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且(1)求证：1(2)在an与an+1间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列d35.（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）已知an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，a2=6，a4+a5=22(1)求：数列an和b(2)设dn=−1(3)若对于数列an、bn，在ak和ak+1之间插入bk个2k∈N∗，组成一个新的数列08数列与放缩结合数列型不等式问题的求解过程中常用到放缩法，一般有两种情况：一是先放缩，再求和；二是先求和，再放缩．常用的放缩技巧如下：（1）对1n2的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况：①1n2<（2）对12①12n>（3）对12n−136.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的各项均为正数，a1=1(1)若a2=3，证明：(2)若a10=512，证明：当a437.（2024·山东·二模）记Sn为数列an的前n项和，(1)求a3和a(2)设数列1an的前n项和为Tn38.（2024·天津和平·一模）若数列an满足an+1=an(1)已知数列an为M数列，当d=1,（ⅰ）求证：数列an2是等差数列，并写出数列（ⅱ）Tn=k=1(2)若an是M数列n∈N∗，且d>039.（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当fx在x=0处的nn∈N*阶导数都存在时，fx=f0+f'0x+f″0(1)根据该公式估算sin1(2)由该公式可得：cosx=1−x22!+x4(3)设n∈N*，证明：40.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项为1，前n项和为Sn，且Sn(1)求证：数列an(2)当n≥2时，求证：1S09斐波那契数列问题41.（2024·新疆·二模）斐波那契数列又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇的契合，小到地球上的动植物，如向日葵､松果､海螺的成长过程，大到海浪､飓风､宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列an一般以递推的方式被定义：aA．记Sn为数列an的前nB．在斐波那契数列中，从不大于34的项中任取一个数，恰好取到偶数的概率为1C．aD．a42.（多选）（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1,2,3,5,8,13,⋯数列中的每一项称为斐波那契数，记作FnA．FB．FC．若斐波那契数Fn除以4所得的余数按照原顺序构成数列anD．若F2024=43.（2024·江西·一模）斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a044.（多选）（22-23高三上·山西·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，现将an中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为bn，数列an的前n项和为SnA．T2022=1348 C．若Tn=2022，则n=3033 45.（多选）（2021·福建福州·模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{an}，a1=a2A．3an=C．π4(b10数列与排列组合结合46.（多选）（2024·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为pk（k∈A．p2=12 B．p3>47.（多选）（2023·广东深圳·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A．PB．青蛙跳动奇数次后只能位于点B,C,D,AC．数列PnD．青蛙跳动4次后恰好回到点A的概率为748.（2024·全国·模拟预测）从集合x∈N(1)求这些数排序后能成等比数列的概率；(2)求这些数排序后能成等差数列的概率．49.（2023·河北承德·模拟预测）某校高三年级有n(n>2,n∈N∗)个班，每个班均有(n+30)人，第k（k=1,2,3,⋅⋅⋅,n）个班中有(k+10)个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是81350.（23-24高三下·浙江杭州·开学考试）设整数n,k满足1≤k≤n，集合A=2m0≤m≤n−1,m∈Z.从A中选取k个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有Cnk(1)若n≥2，求an,2(2)记fnx=1+an,1(3)用含n，k的式子来表示an+1,k+111高斯函数问题51.（2023·全国·模拟预测）已知正项数列an，bn满足：a1=1，bn=an2，bA．1 B．2 C．3 D．202352.（2024·四川成都·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数fx=x称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数，如2.3=2,−1.9=−2，已知数列an满足a1=1,a2=5，53.（2024·河北·模拟预测）已知x表示不超过x的最大整数，x=x−x，设n∈N∗，且n3+n4+n6=154.（2024高三·全国·专题练习）设n∈N*，an为(2x+3)n−(x+1)n55.（2023·全国·模拟预测）已知数列an为公差不为0的等差数列，a3=5，且a2,a5,a14成等比数列，设x表示不超过x的最大整数，如3.5=3，−1.5=−212数列与实际模型56.（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到A11，然后分叉向A21与A22方向继续繁殖，其中∠A21A11A22=60°，且A11A21

A．6 B．7 C．8 D．957.（2024·山西·模拟预测）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为22，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列bn，若an的前n项和为Sn=λn2+(20+λ)nλ<0,n∈A．[−4,−3] B．[−3,−2] C．−23,−58.（2024·贵州遵义·一模）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级Kn(n∈N∗)角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为60°），则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为59.（2024·吉林·模拟预测）“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用A1,A2,⋯,A16表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达A6有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观Ai的不同路线有ai60.（2024·云南大理·模拟预测）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为23的线段PQ，取PQ的中点M1，以PM1为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为S1，再取M1Q的中点M2，以M113数列与集合新定义解决以集合为背景的新定义问题，注意：根据集合定义式，确定集合中元素的特点61.（2024·浙江绍兴·二模）已知k∈N∗，集合Xk(1)求X2(2)设a=21+23∈X(3)记Yk=Xk∩2k+n−1,262.（2024·北京东城·一模）有穷数列a1,a(1)已知数列−3,2,−1,3，写出所有的有序数对p,q，且p<q，使得Sp,q(2)已知整数列a1,a2,⋯,an,n为偶数，若Si,n−i+1i=1,2,⋯,n(3)已知数列a1,a2,⋯,an满足S63.（2024·湖南邵阳·二模）给定整数n≥3，由n元实数集合P定义其随影数集Q=x−y∣x,y∈P,x≠y.若minQ=1，则称集合P为一个n元理想数集，并定义(1)分别判断集合S=−2,−1,2,3(2)任取一个5元理想数集P，求证：minP(3)当P=x1,注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，maxP,min64.（2024·北京西城·一模）对正整数m≥3,n≥6，设数列A:a1,a2,⋯,an,ai∈0,1i=1,2,⋯,n.B是m行n列的数阵，bij表示B(1)若A:1,1,1,0,0,0,B=111(2)若对任意p,q∈1,2,⋯,n(p<q),B中都恰有r行满足第p列和第①B能否满足m=3r？说明理由；②证明：K≥165.（2024·福建泉州·模拟预测）a,b表示正整数a，b的最大公约数，若x1,x2,⋯,xk⊆1,2,⋯,mk,m∈N(1)求φ2，φ3，(2)已知m,n=1时，φ（i）求φ6（ii）设bn=13φ6n−114数列与函数结合抽象函数表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据题目信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出f(−x),f(x)的关系式等.66.（2024·青海·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+y=fxfA．299+198 B．299+196 C．67.（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数fx的定义域和值域均为x∣x≠0,x∈R，对于任意非零实数x,y,x+y≠0，函数fx满足：fx+yfx+fyA．f12=2C．fx在定义域内单调递减 D．f68.（多选）（2024·山西晋城·二模）已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x,y∈R，都有fxy=xfyA．f(1)=0 B．f(x)的图象关于y轴对称C．i=12024f269.（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知fx=1−x2,−1≤x≤1fx−2,x>1，若直线y=k70.（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数fx的定义域为R，且f4x+1的图象关于点0,2中心对称，若f2+x−f2−x15数列与函数导数结合71.（2024·甘肃·一模）已知函数fx=sinxex（e为自然对数的底），x∈[0,+∞)，记xn为fx从小到大的第n个极值点，数列A．2eπ−C．2eπ−72.（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数fnx的导函数为fn+1x，已知f1x=A．an为等差数列 B．bC．n=3501b73.（2024·全国·模拟预测）已知