高中数学选修21课时达标训练（五）含有一个量词的命题的否定

课时达标训练(五)含有一个量词的命题的否定1．(重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是______________．2．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是________________．3．命题“∀x∈R，x2－x＋3>0”的否定是_________________________________．4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是___________________．5．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．6．设语句q(x)：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sinx：(1)写出qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，并判定它是不是真命题；(2)写出“∀a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．7．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．8．∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围．答案1．解析：因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”．答案：存在x∈R，使得x2<02．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x∈∁RQ，x3∉Q3．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－x＋3≤04．解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题．故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”．答案：存在能被2整除的整数不是偶数5．解析：该命题p的否定是綈p：“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以实数a的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)6．解：(1)qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)，因为cos0＝1，sineq\f(π,2)＝1，所以qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))是真命题．(2)∀a∈R，q(a)：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(π,2)))＝sina，因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－a))＝sina，所以“∀a∈R，q(a)”是真命题．7．解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4)时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题．8．解：已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0.①令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，则不等式①化为：t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，原命题等价于：∀t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，a>t2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)