2023-2024学年高二数学2019选择性试题9.1.1变量的相关性

9.1.1变量的相关性一、单选题1．下列两个量之间的关系是相关关系的是（

）A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量【答案】C【分析】根据相关关系和函数关系的概念即可判断【解析】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，故选：C2．已知变量x和y满足关系，变量y和z负相关．下列说法正确的是（

）A．x和y负相关，x和z负相关 B．x和y正相关，x和z正相关C．x和y正相关，x和z负相关 D．x和y负相关，x和z正相关【答案】D【分析】由变量间的正、负相关定义求解.【解析】由知x和y负相关，又y和z负相关，所以x和z正相关．故选：D3．甲､乙､丙､丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数r，则线性相关程度最高的是（

）甲乙丙丁r0.870.580.83A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根据越接近于1，两个变量的线性相关程度越高，即可得解.【解析】解：因为越接近于1，两个变量的线性相关程度越高，所以线性相关程度最高的是乙.故选：B.4．下列有关样本相关系数说法不正确的是（

）A．，且越接近1，相关程度越大B．，且越接近0，相关程度越小C．，且越接近1，相关程度越大D．相关系数用来衡量变量x与y的线性相关程度【答案】A【分析】根据相关系数的定义和性质判断.【解析】由相关系数的定义可得，A错，由相关系数的性质可得：当越接近0，相关程度越小，B对，越接近1，相关程度越大，C对，相关系数与x与y的线性相关程度有关，D对，故选：A.5．下列说法错误的是（

）A．用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越弱B．当相关系数时，表明两变量负相关C．当相关系数时，表明两变量线性不相关D．当相关系数时，表明两变量有较强的线性相关程度【答案】A【分析】根据相关系数r的含义判断即可.【解析】用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强，故A错误；由相关系数r的含义易知B，C正确，对D，很接近于1，故有较强的线性相关程度，故D正确，故选：A6．有些老师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系，现抽取某次考试中一个班级（共50名学生）的数学成绩与物理成绩绘制成散点图.根据下图，以下结论中正确的是（

）.A．数学成绩好，物理成绩也好 B．数学成绩好，但物理成绩差C．物理成绩好，但数学成绩差 D．物理成绩差，但数学成绩好【答案】A【分析】根据散点图可知，数学成绩与物理成绩正相关【解析】根据散点图可知，数学成绩与物理成绩正相关，即一般来说，数学成绩好，物理成绩也好故选：A．7．在建立两个变量y与x的回归模型，模型的的值依次是0.35，0.67，0.84，0.92，则其中拟合效果最好的模型是（

）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】D【分析】根据相关指数的概念，直接判定，即可得出结果.【解析】根据相关指数的作用，可知相关指数越大，模型拟合效果越好，因为，所以模型4的拟合效果最好.故选：D.【点睛】本题主要考查相关指数的有关概念，属于基础题型.8．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成年份序号（2012年作为第1年）的函数．运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的个数为（

）①销售额与年份序号呈正相关关系；②销售额与年份序号线性相关不显著；③三次函数回归曲线的效果好于回归直线的拟合效果；④根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由散点图分布趋势知①正确；由相关系数知②错误；根据两模型相关系数大小关系可知③正确；将代入三次函数方程即可求得的预估值，知④错误．【解析】根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额与年份序号呈正相关关系，①正确；相关系数，靠近，销售额与年份序号线性相关显著，②错误；根据三次函数回归曲线的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，③正确；由三次函数，当时，亿元，④错误．故选：B．二、多选题9．对两个变量，进行线性回归分析，计算得到相关系数，则下列说法中正确的是（

）A．与负相关B．与具有较强的线性相关关系C．与几乎不具有线性相关关系D．与的线性相关关系还需进一步确定【答案】AB【分析】根据相关系数依次分析各选项即可得答案.【解析】解：因为相关系数的绝对值越接近于，线性相关性越强，且当时，认为变量，具有较强的线性相关关系.对于A选项，相关系数，故与负相关，正确；对于BCD选项，，故与具有较强的线性相关关系，故B正确，CD错误；故选：AB10．（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量间具有相关关系的是（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用散点图判断相关关系的方法，逐一分析各个选项中的图形，判断作答.【解析】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系；对于B、C，散点落在某条直线附近，这两个变量具有相关关系；对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系.故选：BC11．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（

）A．残差平方和变小B．相关系数变小C．决定系数变小D．解释变量与响应变量的相关性变强【答案】AD【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．【解析】解：从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强，且是正相关，所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小.故选：AD12．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的有（

）A．变量与正相关B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C．若选择模型二，的图象一定经过点D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1【答案】AD【分析】根据散点图和变量关系依次判断即可.【解析】对A，根据散点图易得变量与正相关，故A正确；对B，由散点图可得与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，故B错误；对C，若选择模型二，，令，则图象经过点，故C错误；对D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，故D正确.故选：AD.三、填空题13．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是__________．（填序号）①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系；③都可以作出散点图；④都可以用确定的表达式表示两者的关系．【答案】③【分析】辨析两个变量的相关关系、函数关系与线性相关的概念，结合散点图的特点，对四个说法进行判断即可.【解析】给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，故③正确，但不一定能分析出两个变量的关系，故①不正确，更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似的表示，故②不正确，两个变量的统计数据不一定有函数关系，不一定可以用确定的表达式表示两者的关系，故④不正确．故答案为：③．14．下面对于线性相关系数r的叙述中，正确的是________．①，越大相关程度越大，反之相关程度越小；②，r越大相关程度越大，反之相关程度越小；③表示的两变量的相关程度大于表示的相关程度．【答案】①③【分析】根据相关系数的性质，，越接近于1，相关程度越大，即可判断①③正确，②错误.【解析】对于①，根据相关系数的性质，，且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，①正确；对于②，变量间的线性相关系数r的取值范围为，②错误；对于③，越接近于1，相关程度越大，③正确.故答案为：①③15．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______．【答案】【分析】根据散点图直接求解即可.【解析】由散点图可知，所以.故答案为:.16．某中学统计了2011~2021这11年本校学生参加高考数学均分、英语均分、总分均分，得到如表所示的表格：年份20112012201320142015201620172018201920202021数学x（分）7577797480817783808281英语m（分）959810010110210310198107106100总分y（分）473481479485490487478492488493489从表中可知，数学和英语这两科中与总分相关性较高的是______.【答案】数学【分析】根据相关系数公式计算可得.【解析】设数学学科和英语学科的相关系数分别为，，，，，；；，∴，∴.；，∴，∴.∵，∴从相关系数角度来考虑，数学学科与总分的相关性较高，故答案为：数学.四、解答题17．下列几对变量，哪些有明显的正相关、明显的负相关、接近于0的相关系数？(1)广告费与销售额；(2)合理范围内的施肥量与粮食产量；(3)汽车车速与司机的年龄．【答案】(1)正相关(2)正相关(3)接近于0的相关系数【分析】（1）广告费用高了，销售额也高了；（2）合理范围内，施肥量大，粮食产量高；（3）汽车车速与司机的年龄之间没有明显相关关系．(1)广告费用高了，销售额也高了，因此是正相关．(2)合理范围内，施肥量大，粮食产量高，它们是正相关．(3)汽车车速与司机的年龄之间相关关系不太明显，是接近于0的相关系数．18．下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重列表：编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053判断所给的两个变量之间是否存在相关关系．【答案】存在相关关系【分析】方法一：对比数据，发现体重随着身高的增高而增长，因此人的身高和体重之间存在相关关系．方法二：画出散点图，发现，随着身高的增高，体重基本上呈增长的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．【解析】方法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．观察表格中的数据可知，人的体重随着身高的增高而增长，因此人的身高和体重之间存在相关关系．方法二：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图如图所示．我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增长的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．【点睛】本题主要考查了线性相关与散点图，属于基础题.19．中国天气网2016年3月4日晚六时通过发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的从高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于的概率．【答案】（Ⅰ）正相关；（Ⅱ）最高气温方差小于最低气温方差；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根据图表及正相关的概念即得；（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，进而即得；（Ⅲ）利用列举法及古典概型概率公式即得.【解析】（Ⅰ）由最高气温与最低气温的折线图可得，最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．（Ⅲ）由图可得下表：整点时刻8:009:0010:0011:0012:0013:0014:0015:00最高气温10111213131313最低气温468101210温差65431整点时刻16:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00最高气温121086543最低气温865432温差65431由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：，，．其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于”的事件（记为）共有3个：．所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于的概率．20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间（第天）间的数据，列表如下：1234575849398100(1)由表中给出的数据是否可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？（若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01．）参考数据：．附：相关系数．(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减15元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．【答案】(1)可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系(2)选方案二更划算【分析】（1）根据表中数据，求得相关关系r判断；（2）易知若选方案一，则需付款1000－150＝850元；若选方案二，设需付款X元，则X的可能取值为600，800，900，1000，再计算其相应的概率，求得期望比较即可.(1)解：由表中数据可得，，，，，所以．所以变量y与x具有很强的线性相关性，所以可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系．(2)若选方案一，则需付款1000－150＝850元；若选方案二，设需付款X元，则X的可能取值为600，800，900，1000，相应的概率为：，，，．所以，故选方案二更划算．21．有一个开房门的游戏，其玩法为:盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门.每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”.(1)有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表:若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）；(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.参考公式：最小二乘估计，.参考数据：取，，其中，.【答案】(1)人(2)【分析】（1）利用参考数据以及最小二乘法公式求出、的值，可得出经验回归方程，然后在回归方程中令，可求得结果；（2）设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立，分析可知游戏要进行三轮，即前两轮均失败，计算出、的值，利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【解析】（1）解：令，设，由条件知，，所以，，从而，故所求的回归方程为.所以，估计当时，，即抽取轮才“成功”的人数约为人.（2）解：由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立.因为，，所以，前两轮均失败的概率为.故游戏要进行三轮的概率为.22．红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物.为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量.现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表I中.根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合.表I温度20222527293135产卵数个711212465114325(1)请借助表II中的数据，求出回归模型①的方程：表II（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09(2)类似的，可以得到回归模型②的方程为.试求两种模型下温度为时的残差；(3)若求得回归模型①的相关指数，回归模型②的相关指数，请结合②说明哪个模型的拟合效果更好.参考数据：附：回归方程中相关指数【答案】(1)(2)1.54，65.54(3)模型①的拟合效果更好【分析】（1）由得，令，，，得，由表Ⅱ数据可求得，，从而得到回归直线方程；（2）把分别代入回归模型①②的方程，利用即可；（3），即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，于是模型①的残差平方和小于模型②的.因此用模型①得到的数据更接近真实数据，从而即可判断.（1）由得令，，，得由表Ⅱ数据可得:,,所以回归方程为：.（2）模型①在时的残差为：模型②在时的残差为：（3），即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，于是模型①的残差平方和小于模型②的.因此用模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.23．如图是某创业公司2017年每月份公司利润（单位：百万元）情况的散点图：为了预测该公司2018年的利润情况，根据上图数据，建立了利润y与月份x的两个线性回归模型：①0.94+0.028；②0.96+0.032lnx，并得到以下统计值：模型①模型②残差平方和（yi）20.0005910