专题12指数（原卷版）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题12指数№考向解读专题12指数№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章指数函数与对数函数专题12指数→➊考点精析←1整数指数幂的概念及运算性质①整数指数幂的概念②运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．2根式的概念和运算法则①次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．②两个等式（1）当且时，；（2）③要注意上述等式在形式上的联系与区别；④计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．3分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：4有理数指数幂的运算①有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．②知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．5指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．6无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．7实数指数幂的运算性质①．②．③．→➋题型突破←【题型】由根式的意义求范围1.若有意义，则的取值范围是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得.故选：D.2.若，，则下列四个式子中有意义的是()A． B．C． D．【答案】AC【解析】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；B选项中，，无意义；C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；D选项中，当时，式子无意义．故选：AC．3.若要使有意义，则取值范围是_______.【答案】【解析】∵，要使有意义，则，即，∴.故答案为：.【题型二】利用根式的性质化简或求值3.若，则的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以.故选：C4．(2021·上海高一专题练习)求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)2；(2)；(3)π3；(4).【解析】(1)=2；(2)；(3)=|3π|=π3；(4)原式=，当x≥y时，原式=xy+yx=0；当x<y时，原式=yx+yx=2(yx).所以原式=【题型三】有限制条件的根式的化简5.求使等式成立的实数a的取值范围.【解析】，要使|成立，需解得a∈[3，3]．【题组四】根式与分数指数幂的互化6.已知，为正数，化简_______．【答案】【解析】原式．故答案为：．7.(2021·上海高一专题练习)将下列根式化成有理数指数幂的形式：(1)(a>0)；(2)(x>0)；(3)(b>0).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式====.(2)原式======.(3)原式===.【题型五】利用分数指数幂的运算性质化简求值8.（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简的结果为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】故选：C9．(2021·全国)计算__________；若，则_________．【答案】【解析】由由

故答案为：；．10．(2021·全国高一课时练习)化简下列各式：(1)；(2)；(3)＋＋－×.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式；(2)原式；(3)原式.【题型六】整体代换法求分数指数幂11．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以，即所以，故答案为：12．（2023·江苏·高一单元测试）（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，则，，，.∴.→➌专题精练←1．（2022·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽·高一阶段练习）设a，b为正实数，，，则（

）A．1 B．3 C．9 D．273．(2021·全国高一课时练习)下列式子中，错误的是()A．B．C．D．4．（2022·全国·高一期中）（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（

）A． B． C．m D．16．（2022·江苏·高一单元测试）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2022·江苏·高一专题练习）下列等式中，不正确的是（

）A． B．C． D．8．(2020·江苏南京·)设是非零实数，已知，则()A． B． C．2 D．39．(2021·全国)计算结果正确的是()A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12yB．C．16x5y7÷(﹣2x3y2)=﹣32x2y5D．10．（2022·江苏·高一单元测试）下列运算（化简）中正确的有（

）．A．B．C．D．11．(多选)(2020·江苏金沙中学高一月考)下列运算(化简)中正确的有()．A．B．C．D．12.（2022·全国·高一专题练习）计算：___________________．13．（2022·全国·高一专题练习）化简：________．14．(2021·上海高一专题练习)用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0).(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).15．(2021·全国)计算化简(1)(2)．(3)；(4)(5)(6)．(7)已知=3，求的值．(8)()(3)(2)(9)2(3)÷(6)(10)(11)；(12)若，求的值．16．(2021·全国)计算：.17.(2021·全国)已知，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．18．（2022·全国·高一专题练习）求解下列问题：(1)求值：；(2)已知，，求的值.(3)已知，求.19．（