高中数学二轮复习

集合与简易逻辑

一、考点回顾

1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；

3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；

4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定;

5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；

6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

(2)集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集：

②按元素特征分；数集，点集。如数集｛y|y=x4,表示非负实数集，点集｛(x,y)|y=/｝表示开口向上，

以y轴为对称轴的抛物线；

(3)集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=｛0,1,2,3,•­•｝；②描述法。

2、两类关系：

(1)元素与集合的关系，用e或代表示；

(2)集合与集合的关系，用仁,*,=表示，当A=B时；称A是B的子集；当A^B时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合

｛xhvP｝,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结

合直观地解决问题。

4、注意空集。的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A=则有A=0

或两种可能，此时应分类讨论。

例1、下面四个命题正确的是

(A)10以内的质数集合是｛1,3,5,7｝(B)方程X?—4x+4=0的解集是｛2,2｝

(C)0与｛0｝表示同一个集合(D)由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1)

解：选(D),最小的质数是2,不是1,故(A)错；由集合的定义可知(B)(C)都错。

例2、已知集合人={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B[A,则实数切=.

解：由BgA,FLm?不可能等于一1,可知旭2=2加一1,解得：m

1、交，并，补，定义：Af-lB={x|xGA且xGB},AUB={x|xGA,或xCB},CvA={x!xeU,且xeA),集合

U表示全集；

2、运算律，如AD(BUC)=(APB)U(AAC),G(APB)=(GA)U(GB),

G(AUB)=(CuA)A(CiB)等。

3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。-----------

例3、设集合A={x|2x+1<3},B={x]-3<x<2},则AcB等于()

(A){x|—3<x<l}(B){x|l<x<2}(C){x|x>—3}(D){x|x<l}/.(j：

图1

解：集合A=｛x2x+l<3｝=｛x）x<l｝,集合A和集合B在数轴上表示如图1所示，AcB是指集合A和集

合B的公共部分，故选（A）o

例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭

有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（）

A.60B.70C.80D.90

解：画出Venn图，如图2,画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80.故选

（C）。

例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京

举行，若集合A=｛参加北京奥运会比赛的运动员｝,集合B=｛参加北京奥运会比赛的男运动员｝。集合C=｛参

加北京奥运会比赛的女运动员｝，则下列关系正确的是（）

A.A^BB.BQ.CC.AC\B^CD.BU（=A

解：由题意可知，应选（D）。

考点3、逻辑联结词与四种命题

1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、复合命题的形式：p且q,p或q,非p；

3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或

q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假

时，非P为真。

4、四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p"，逆否命题

为”若非q则非p"。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

例6、（2008广东高考）命题”若函数/（x）=log”x（a>在其定义域内是减函数，则log/vO”

的逆否命题是（）

A、若log.220,则函数/（乃=10§"尺4>0,。*1）在其定义域内不是减函数

B、若log“2<0,则函数/（x）=log〃〉0,。w1）在其定义域内不是减函数

C、若log”220,则函数/5）=108。尺。>0,。*1）在其定义域内是减函数

D、若log“2<0,则函数/。）=1隼〃苫（。〉0,。=1）在其定义域内是减函数

解：逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（A）。

例7、已知命题p:方程x2+mx+l=0有两个不相等的负数根；q:方程4f+4（机—2）x+l=0无实根.若

"p或q”为真，“p且q”为假，求实数机的取值范围.

A=/n2-4>0,

p:<

解：[-m<0,m>2q:A=16（加一2）2—16=16（，/一46+3）<0,1<m<3,

•・.p或4为真，夕旦4为假，'P真，勺假或P假，g真.

m>2,（机W2

.•Ji

"W或至3或,故机23或l<nzW2.

考点4、全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每

一个”等词，用符号“V”表示。

2

(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有

的”等词，用符号“于'表示。

2.全称命题与特称命题

(1)全称命题：含有全称量词的命题。“对Vxe",有p(x)成立”简记成“VxeM,p(x)”。

(2)特称命题：含有存在量词的命题。FxeM,有p(x)成立”简记成“mxeM,p(x)”。3.同一

个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供

参考。

命题全称命题VxeM,p(x)特称命题mxwM,p(x)

①所有的xwM,使〃(x)成立①存在xe",使p(x)成立

表述②对一切xeM,使p(x)成立②至少有一个xeM,使p(X)成立

方法③对每一个xeM,使p(%)成立③对有些xeM,使p(X)成立

④任给一个xeM,使。(%)成立④对某个xeM,使0(X)成立

⑤若xeM,则p(x)成立⑤有一个xeM,使p(X)成立

4.常见词语的否定如下表所示：

词语是一定是都是大于小于

词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

词语且必有一个至少有«个至多有一个所有X成立

词语的否定或一个也没有至多有--1个至少有两个存在一个X不成

立

例8、(2007山东)命题“对任意的的否定是()

A.不存在xe/?,x3-x*2+1<0B.存在xeR,1-/+1zo

C.存在xe-/+1>0D.对任意的xe—/+1>0

解：命题的否定与否命题不同，命题的否定是将全称量词改为特称量词，或将特称量词改为全称量词，再否

定结论即可，故选(C)。

例9、命题“It<0,有>0”的否定是.

解：将“存在”改为“任意”，再否定结论，注意存在与任意的数学符号表示法，答案：Vx<°，有-40

考点5、充分条件与必要条件

1、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情

况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，理

解“越小越充分”的含义。

例10、(2008安徽卷)a<0是方程a/+2x+1=0至少有一个负数根的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件1).既不充分也不必要条件

1八

2x]x2=—<0

解当A=2-4。>0,得a<i时方程有根11a<0时，«，方程有负根，又a=l时，方程根为了=一1,

所以选(B)。

例：Ll、(2008湖北卷)若集合P={l,2,3,4},Q=1|0YxY5,xeH},则()

A.》6/?是了€。的充分条件，不是xeQ的必要条件

B.%6/?不是工€。的充分条件，是XC。的必要条件

Cx€R是xe。的充分条件，又是xe。的必要条件.

D.xeR既不是xe。的充分条件，又不是xe。的必要条件

解：xePnxeQ反之不然故选人

三、方法总结与高考预测

（-）思想方法总结

1.数形结合2.分类讨论

（二）高考预测

1.集合是每年高考必考的知识点之一。题型一般是选择和填空的形式，主要考查集合的运算和求有限

集合的子集及其个数.

2.简易逻辑是在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题.

3.集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面

都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的

数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

四、复习建议

1.在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法.重

点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法.要真正掌握数形结合思想一一用文氏图解题.

2.涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多.所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌

握小型综合题型（如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与

三角、立几、解儿中的知识点的结合等）映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了

3.活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判

断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。

4.重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当

你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的

直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。

5.实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不

开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函

数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的

原则与方法，并贯彻到解题中去。

6.强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及

其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。

4

不等式

一、考点知识回顾

不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

对称性：a>b=b<a；传递性：若a>b,b>c,则a>c；可加性：a>b=>a+c>b+c；

可乘性：a>b,当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc«

不等式运算性质：

（1）同向相加：若a>b,c>d,则a+c>b+d；（2）异向相减：c<d=>a-c>b-d

（3）正数同向相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。（4）乘方法则：若a>b>0,nGN+,则a">b"；

（5）开方法则：若a>b>0,nGN+,则板〉标；（6）倒数法则：若ab>0,a>b,则।］。

2、基本不等式（或均值不等式）；利用完全平方式的性质，可得a2+b2,2ab（a,bWR）,承砂式可推

广为a2+b2>2|ab|；或变形为|ab|W立9I当a,b20时，a+b》2病或abW.（a+bY

3、不等式的证明：2‘2）

不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法：

在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应

的函数，方程的联系

求一般的一元二次不等式办2+汝+。>°或。/+法+。<0（。>0）的解集，要结合52+法+,=°的根及

二次函数,=+6x+c图象确定解集.

对于一元二次方程。/+/+。=0（。〉0）,设公=。2—4四，它的解按照公>0,A=0A<0可分为三种

情况.相应地，二次函数y="x2+"x+c（a>°）的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分

三种情况讨论对应的一元二次不等式。/+6%+。>09>（））的解集，注意三个“二次”的联系。

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于

发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。

6、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面

区域（可行域）有交点时.，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。，

（3）由目标函数z=ax+by变形为y=x+所以，求z的最值可看成是求直线y=-轴

上截距的最值（其中a、b是常数，z随x,"y的姿化而变化）。bb

（4）作平行线：将直线ax+by=0平移（即作ax+by=O的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可

行域中使我大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。

（5）求出最加解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。

7、绝对值不等式

（1）IxI<a（a>0）的解集为：｛xI—a<x<a｝；

IxI>a（a>0）的解集为：｛xIx>a或xV—a｝。

\\a\-\b\\^a±b\^a\+\b\

(2)

二、考点剖析

【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。

例1、(2008广东文)设若a—网>0,则下列不等式中正确的是()

A.b—a>。B。3+/73<0Q/?+6Z>0D-b-<0

解：由a—例>0知网2—/?,,所以8+〃>。，故选。

点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。

例2、(2007上海理科)已知0，”为非零实数，且。<6,则下列命题成立的是()

1<1b<a

A、a2Vb?B、a2b<ab2c、加a2bab

解：取a=-3,b=2,由(A)(B)(D)都错，故(C)。

点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a,b没有说明符号，

注意不要错用性质。

考点二：一元二次不等式及其解法

【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求

解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨

论，或求参数范围，难度以中档题为主。

例3、(2007湖南)不等式x2>x的解集是()

A(—8,0)R(0,1)(-(L+oo)0(―8,0)，U(l+8)

解：原不等式可化为x2—x>0,即x(x—1)>0,所以x<0或x>1,选(D).

例4、(2007福建)“W<2„是"/_*_6<0，，的什么条件……()

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

解：由|x|<2,得：-2<x<2,由/一x-6<°得：-2<X<3,

-2<xV2成立，则一2<x<3一定成立，反之则不一定成立，所以，选(A)。

点评：本题是不等式与充要条色结合的声题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。

例5、(2008江西文)不等式245的解集为.

解：原不等式变为2小+21由指数函数的增减性，得：

厂+2x-4«-1(x+3)(x—1)W0xG[-3,1]所以填.[—3,1]

点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。

例6、己知集合、={尤]一5龙+4刊，8=卜1--2公+4+2刊，若B5,求实数。的取值范围.

解A=^x\x2-5x+4^^^xllx4}y4

设/(x)=x2-2ax+“+2,它的图象是一条开口向上的抛物线.\儿,)/

(1)若8=°,满足条件，此时即4/-4(a+2)<0,解得T<a<2；-J__心_►

。14%

(2)若8/。，设抛物线与X轴交点的横坐标为与々，且占欲使8=4,应有

卜,《久x2|4}

6

1—2a+。+2>0,18

结合二次函数的图象，得即解得2WW—

4：-8a+a+220,/(4)2。

1WW4,

]——4

4a2-4(a+2)20,2

△，0,

综上，a的取值范围是-1，了.

点评：本题是一元二次本等及集合结合的综合题

4,考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想

的应用，分类时做到不遗漏。

【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的

面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决

实际问题的能力。，

x<0

例7、（2008安徽文）若4为不等式组.表示的平面区域，则当a从一2连续变化到1时，动直线

,_y-x<2

x+y=a扫过A中的那部分区域的面被为（）

37

A.-B.1C.-D.5

解：如图知段域的面积是去掉一个小直角三角形。

」2x2=2

sOAB

（阴影部分面积比1大，比2小，故选C,不需要算出来）

点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节

图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。

一.

2x+y<40,40：

例8、(2008广东理)若变量x,y满足x+2y<50,>则z=3x+2y的最大值是()

(10,20)

A.90B.80x>0,

C.70D.40

y>0,

3z人八一3及其平行线；如右图，:+2y=50

解:做出可行域如图所示.目标函数化为:y=——x+—,令z=0,1E1y=——x,I

222

它经过两直线的交点时，取得取大值。

2x+y=40x=10

x+2y=50,得[y=20,所以Zmax=3x10+2x20=70,故答《

解方程组

点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z=0,画它的平行线，看y轴上的截距的最

值，就是最优解。

例9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不

超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该

公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个

电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为％分钟和>分钟，总收益为Z元，由题意得

x+yW300

<500x+200yW90000目标函数为z=3000x+2000y

x^O斗0.

x+yW300

二元一次不等式组等价于<5x+2yW900

与0.

y-

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.500

如图：

400-

作直线/:3000x+2000〉=0即3x+2y=0

300

平移直线从图中可知，当直线/过M点时，目标函数取得最大值.

200

x+y=300,

5x+2y=900.解得x=100,

联立y=200•・•点M的坐标为（1°°,20°）\10

Zmax=3000x+2000y=700000

（元）

0100200300x

答：该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大收益是70历元.

点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的流入，这类试题

应该是高考的热点题型之一。

考点四：基本不等关系

【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、

比较法证明不等式。

利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：

合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）;

二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时;等号成立），它具有一定的灵

活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点.

【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择

题或填空题，一般难度不太大。

例io、（2007上海理）已知为yeR*,且x+4）'=i,则的最大值是

解：xy=-x-4y<-（^lz）2=—,当且仅当x=4y=’时取等号.

442162

点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。

例11、（2008浙江文）已知620,且a+6=2,则（）

,1,1

(C)a2>2(D)a2+b~<3

(A)ab<-(B)ah>-

2222

解：由“20/20,且a+b=2,.•.4=（。+6）2=/+/72+2”<H{a+b\Aa+b>2Q

点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。

例12、（2008江苏）已知，，X,y,zeR+则片的最小值_______.

解：由a2y+3z=°尸等得［_2），+3Z=0

2

y犬+9z2+6xz6xz+6xzo

代入XZ得4xz4xz,当且仅当x=3Z时取“=”.

点评：本小题考查二元基本不等式的运用.题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未

知数，用基本不等式求解。

【内容解读】掌握绝对值不等式IxIVa,IxI>a（a>0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。

【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。

8

例13、（2008湖南文）“卜一1|V2”是“x<3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

解：由—得一1<x<3,在一1VxV3的数都有x<3,但当x<3时，不一定有一1VxV3,

如x=-5,所以选（A）.

点评：本题考查绝对值不等式的解法和充分条件必要条件，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。

例14、（2008四川文）不等式卜2_耳<2的解集为（）

（A）（T2）（B）（TO（C）（D）（-2,2）

IV*2-rl<2c2cx2—X+2>0XGR/.

解：■IA-2<x-x<2即彳2“n即...XG（—1,2）故选人；

点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；正确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式

法，平方法，特值验证淘汰法;

考点六：不等式的综合应用

【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。

例15、（2008江苏模拟）如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为X，）'（单位:

米）的矩形，上部是斜边长为％的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.

（I）求羽'的关系式，并求x的取值范围；

（11）问乙y分别为多少时用料最省？

]x8x

解：（I）由题意得：x,yH—x,—=8（x>0,y>0）,y------,

22x4

(H)设框架用料长度为，，则/=2x+2y+瓜=(|+0)x+/24,6+4&=8+4近

(}十yplx=—,x=8—4^2./T1―

当且仅当2xy=2A/2,满足°<x<4j2.

答：当工=8-4亚米，y=2亚米时，用料最少.

点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积

的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。

例16、（2008江苏模拟）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的

运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每

年的维护费都比上一年增加2万元.

（1）求该企业使用该设备％年的年平均污水处理费用V（万元）;

（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水

处理设备？

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)100,「八

解⑴y即y=x-----H1.5(x>0).

xx

（2）由均值不等式得：

100，八,I~100……

y—x----F1.522.x-----h1.5=21.51

xvX(万元)，当且仅当了=——，即x=10时取到等号.

X

答：该企业10年后需要重新更换新设备.

点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不大。

考点七：不等式的证明

【内容解读】证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依

据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的

步骤，技巧和语言特点.比较法的一般步骤是：作差（商）f变形f判断符号（值）.

【命题规律】不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。文科考查的可能性不大。

例17、已知“2—AN—,且a+b=l,求证,2a+1+飞2b+142近

22________

证明：只需证：（2a+1）+（2b+1）+2y[2a+iy[2b+l<8

••・a+b=l；•即证：V2^TiV2FZT<2•.•7^71扬7142。+1）+侬+1）=2成立

2

•••原不等式成立.

点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。

三、方法总结与高考预测

（一）方法总结

1.熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式（如一元二次不等式，绝对值不等式等）的解法，不等式在实际

问题中的应，不等式的常用证明方法

2.数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模

型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲

证不等式的构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。

（二）高考预测

在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，

基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函

数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向,

以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。

由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能

出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、

函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。

五、复习建议

1.在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较思想；综合思想；分析思想；放缩思想；反证思想：

函数思想；换元思想；导数思想.

2、在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思

想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.能根据各类不等式的特点，变形的特殊性，

归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。

10

函数

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的

性质简化函数图像的绘制过程.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.

4.理解分数指数基的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。

二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容.在复习中要对定义深入理解.

复习函数的性质，可以从"数"和"形"两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函

数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要

求是：

1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟

练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.

2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函

数最大值和最小值的常用方法.

3.培养学生用变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.

函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以

下方面。

1.掌握描绘函数图象的两种基本方法一一描点法和图象变换法.

2.会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题.

3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.

4.掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.

例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1.或X>1},B={x|log2x>0},则ADB=（）

A.{x|x>l}B.{x|x>0}C.{x|x<-l}D.{x|x<-l或x>l}

【解析】：由集合B得ACB={x|x>l},故选（A）o

［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。

例2、（2008广东惠州一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来,

睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用

SI、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）

【解析】：选（B）,在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。

［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能

力，在复习时应引起重视。

例3、（2008全国一）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行

驶路程S看作时间t的函数，其图像可能是（）

例4、（2008福建文）函数/（x）=x3+sinx+l（xeR），若/⑷=2,则/（一。）的值为（）

A.3B.OC.-lD.-2

/(x)-l=x3+sinx为奇函数，又/(«)=2.../⑷-1=1故/(-a)-l=-l即0

【解析】：f(-a)=

［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的

知识相联系，使问题迎刃而解。，

1

,x<1

例5、（2008广东高考试题）设％eR,函数,/（%）=.l-x

、—Jx—1,云1

F(x)=f(x)-kxxeR,试讨论函数,（X）的单调性.

1

-k.x<1,

【解析】------kx,x<1,(1)2

F(x)=f(x)-kx=<l-x尸a)=<

1

—yjX-1-kx>X>1,-k,x>1,

2y]x-i

履当％<时，函数”⑴在（一上是增函数;

对于，F（x）J__（X<1）08,1）

1-X

（-oo,l--4=）（1-_7=3）

当%>°时，函数,（X）在7k上是减函数，在7k上是增函数:

对于户（x）=——^=_女。21）当上20时，函数/（划在『'+8）上是减函数；

2心-1

1,1H---|1---T，+0°］

当人<0时，函数/（灯在L上是减函数，在L4k-J上是增函数。

［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单

调性就经常与函数的导数联系在一起,利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。

考点二：二次函数

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以

它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系：作

为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出

不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高

校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为

奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的

代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的

自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.

例6.若函数/（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a,beR）是偶函数，且它的值域为（—8,4卜

则该函数的解析式/（x）=

12

【解析】/（x）=（x+a）Sx+2a）=A：2+（2a+ab）x+2］是偶函数，则其图象关于y轴对称,

：.2a+ab-0=>a-0（不合题意）或6=-2,

.•./（x）=—2/+2/,且值域为（一00,4］,2a2=4,/（x）=-2x2+4.

考点三：指数函数与对数函数

指数函数，对数函数是两类重要的基本初等函数，高考中既考查双基，又考查对蕴含其中的函数思想、等价转

化、分类讨论等思想方法的理解与运用.因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.

例8、（2008山东文科高考试题）已