高考文数二模考试试卷

高考文数二模考试试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共12题，共60分）

1、如图，网格纸的小正方形的边长是1,粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体

的体积为（

A.2

B.4

C.6

D.8

【考点】

【答案】B

1

【解析】解:由题意，直观图如图所示,由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为之X2X2义2=4.

故选：

【考点精析】认真审题，首先需要了解由三视图求面积、体积（求体积的关键是求出底面积和高；求全

面积的关键是求出各个侧面的面积）.

2、在数列｛an｝中，a1=2,an+1=an+2,Sn为｛an｝的前n项和,则S10=（）

A.90

B.100

C.110

D.130

【考点】

【答案】C

【解析】解：在数列｛an｝中,a1=2,an+1=an+2,

数列｛an｝是首项为2,公差为2的等差数列，

YSn为｛an｝的前n项和,

10x9

--------x2

.,.S10=10X2+2IMO.

故选：C.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的前n项和公式的相关知识可以得到问题的答案，

需要掌握前n项和公式：r22

3、若不等式In(x+2)+a(x2+x)对于任意的xG[-1,+8)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[0,+8)

B.[0,1]

C.[0,e]

D.[-1,0]

【考点】

【答案】B

【解析】解：令f(x)=ln(x+2)+a(x2+x),xG[-1,+°°),

■不等式In(x+2)+a(x2+x)》。对于任意的xC[-1,+8)恒成立,

.".fmin(x)》0,

12ax2+5ax+2a+1

f'(x)=x+2+2ax+a=x+2,

令g(x)=2ax2+5ax+2a+1,

⑴若a=0,则g(x)=1,.,.f'(x)>0,

Af(x)在[-1,+oo)上单调递增，.'.fmin(x)=f(-1)=0,符合题意；

5

⑵若a>0,则g(x)的图象开口向上，对称轴为x=-"

■,.g(x)在[-1,+8)上单调递增，,gmin(x)=g(-1)=1-a,

①若即0<aW1,则g(x)20,.,.f，(x)20,由⑴可知符合题意；

②若1-a<0,即a>1,则存在xOC(-1,+oo),

使得当Xd(-1,xO)时，g(x)<0,当xd(xO,+8)时，g(x)>0,

■■.f(x)在(-1,xO)上单调递减，在(xO,+8)上单调递增，

.".fmin(x)<f(-1)=0,不符合题意；

⑶若aVO,则g(x)的图象开口向下，对称轴为*=-,

.'.g(x)在[-1,+8)上单调递减，gmax(x)=g(-1)=1-a>0,

存在X1G(-1,+8),使得当xW(-1,x1)时，g(x)>0,当xG(x1,+8)时，g(x)<0,

.■.f(X)在(-1,X1)单调递增，在(X1,+oo)上单调递减，

•••f(x)在(-1,+8)上不存在最小值，不符合题意；

综上，a的取值范围是[0,1].

故选B.

4、五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5,从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之

和为奇数的概率为()

3

A.5

2

B.5

3

C.4

2

D.3

【考点】

【答案】A

【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52=10种结果，

满足条件的事件是两张之和为奇数，有3X2=6种结果，

6_3

要求的概率是而=弓

故选A.

5、已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则([RA)AB=()

A.{-2,-1)

B.{-2}

C.{-2,0,1)

D.[0,1}

【考点】

【答案】A

【解析】解："--A={x|x+1>0}={x|x>-1},

.,.CUA={x|x^-1},

([RA)AB={x|x^-1]A{-2,-1,0,1}={-2,-1}

故选A.

【考点精析】利用交、并、补集的混合运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求集合的并、交、

补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关

交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言

表达，增强数形结合的思想方法.

-1+4

6、复数"=下厂的虚部为()

3

3

B.S

1

C.S

D.

【考点】

【答案】C

_-1+i（-1+0（2+。_-3+i_31.

【解析】解：z=-2=r=（2-0（2+i）=-5-=-5+51,

1

则复数的虚部为：5.

故选：C.

【考点精析】通过灵活运用复数的乘法与除法，掌握设4・4+阿/・。+.（d3,6"€氐）则

A（a£-bd）¥（ad¥bc'）i

z、，z「（flc-bd）+yd+加X；Ad+解盯精灯即可以解答此题

7、为了得到函数y=cos2x的图象，只要把函数）'=S'n（2'一力的图象上所有的点（）

5TT

A.向右平行移动立个单位长度

B.向左平行移动个单位长度

5TT

C.向右平行移动后个单位长度

D.向左平行移动个单位长度

【考点】

【答案】B

,rrnn4n5JT

【解析】解：=s^sin（n-2X+3）=cos[2-（T-2x）]=cos[2（x-12）],

・..只要把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可得到函数y=cos2x的图象.

故选：B.

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数y=Asin（3x+。）的图象变换（图象上所有点向左（右）平

移何个单位长度，得到函数y二^^+程）的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原

来的回倍（纵坐标不变），得到函数尸={m（如+0）的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩

短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数7=Asm（如十°）的图象）.

x>-1

（yW2

8、若P为可行域2x-y+2工°内的一点，过P的直线|与圆o：x2+y2=7交于A,B两点，则|AB|的最

小值为（）

B.

0."

D.2也

【考点】

【答案】D

X>-1

(yK2

【解析】解：不等式可行域2x-y+2W°如图所示

产T

联立I3'=2,解得D(-1,2).

由图可知，可行域内的点中，D到原点的距离最大，为4,

・•.|AB|的最小值为2\1^=2"

故选：D

9、一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.执行下面的程序框图，则

输出的S表示的是(

A.小球第10次着地时向下的运动共经过的路程

B.小球第11次着地时向下的运动共经过的路程

C.小球第10次着地时一共经过的路程

D.小球第11次着地时一共经过的路程

【考点】

【答案】C

【解析】解：执行该程序框图知，该程序运行后输出的是

100

S=2X(100+50+25+—+29)-100,

它表示小球第10次着地时一共经过的路程.

故选：C.

【考点精析】认真审题，首先需要了解程序框图(程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线

及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭

头的流程线；程序框外必要文字说明).

10、函数f(x)=(1+cosx)sinx在［-n,n］的图象的大致形状是()

C.

y

-xB广H

D.

【考点】

【答案】A

【解析】解：’;f(-x)=[1+cos(-x)]sin(-x)=-(1+cosx)sinx=-f(x),

・•.f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C,

n

当x=3时，f()=1,故排除D,

n£2+/

当X。时，f()=(1+T)X=2>1,故排除B.

故选：A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的图象的相关知识，掌握函数的图像是由直角坐标系中的

一系列点组成；图像上每一点坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，他的横坐标x表示自变量的某个值,

纵坐标y表示与它对应的函数值.

fM=f2>叫x<1_i

11、已知函数1一0一2)2,1,若「("?)=彳，则f(1_m)=()

A.-1

B.-4

C.-9

D.-16

【考点】

【答案】B

【解析】解:由题意可知，m<1,

21一问_2-2

/.f(m)=4',

1-|m|=-2,解得m=3(舍)或m=-3.

贝I]f(1-m)=f(4)=-(4-2)2=-4.

故选：B.

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值(函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式

法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法).

12、如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的樟卯结构，这种三维的拼插器具内部

的凹凸部分(即棒卯结构)啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根

完全相同的正四棱柱分成三组，经90°禅卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1,欲将

其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为30n,则正四棱柱体的高为

A.

B.2

C.4'口

D.5

【考点】

【答案】B

【解析】解：..•球形容器表面积的最小值为30n,

二球形容器的半径的最小值为1标~丁

.正四棱柱体的对角线长为“南，

设正四棱柱体的高为h,

.,.12+12+h2=30,

解得h=2#.

故选：B.

二、填空题(共4题，共20分)

**>•>

~2~T2=1(a>b>0)

13、已知双曲线炉的离心率等于2,其两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的

S=昱

准线分别交于A,B两点，0为坐标原点，4AOB4,贝|Jp=.

【考点】

【答案】1

b_P

【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±?,抛物线的准线方程为x=-了，

bp

.,.A(-,2a),B(-，-),

1pbp事事。

XX

.,.SAA0B=22?,-.bp2=^a,即p2二》.

—C—收----+--»--7

；e=a-。—，,b2=3a2,即{{80}I乙说：我是第三名；

丙说：我不是第一名.

若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是.

【考点】

【答案】乙

【解析】解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是

第三名“正确相矛盾，

故甲错误，因此，甲为第三名；①

于是乙、丙中必有一人正确，一人错误.

若丙错误(则乙正确)，即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确”我是第三名“矛

盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名；②

由①②得：获得第一名的是：乙.

所以答案是：乙.

16、设｛an｝是由正数组成的等比数列,Sn是｛an｝的前n项和.已知a2a4=16,S3=28,则a1a2…an最大时,

n的值为.

【考点】

【答案】3或4

【解析】解：；｛an｝是由正数组成的等比数列,Sn是｛an｝的前n项和.a2a4=16,S3=28,

a^q-aiq=16

｛4(lY)%=8

1-q-28｛I

q＞。，解得q—2.

凸=8.&尸=2i

n27n

则a1a2…an=2(4-1)+(4-2)+■■■+(4-n)-.

，当n=3或n=4时，a1a2…an取最大值.

所以答案是：3或4.

【考点精析】关于本题考查的等比数列的通项公式(及其变式)，需要了解通项公式：

n-l_n-A

=jq才能得出正确答案.

三、解答题(共6题，共30分)

17、ZkABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b/c,且bcosB=ccosC,延长线段BC到点D,使得

BC=4CD=4,ZCAD=30°

(I)求证：NBAC是直角；

(II)求tanZD的值.

【考点】

【答案】解：(I)证明：由正弦定理可得sinBcosB=sinCcosC,

即sin2B=sin2C,

•「b于c,

/.2B+2C=180°,

/.B+C=90°,

/.ZBAC=180°-90°=90°,

(II)：如图所示：过点C做CE_LAC,

'/BC=4,BC=4CD,

.'.CD=1,BD=5,

ZBAC=90°,

.,.CE//AB,

CEDECD1

->AD=BD二5，

设CE=x,则AB=5x,

,.■ZCAD=30°,

.'.AE=2x,AC;也x,

DE

D£+2x=,

1

.,.DE=2X,

..•AB2+AC2=BC2,

.,.25x2+3x2=16,

277

解得X=7,

在4CED中，ZCED=120°,CE=,CD=1,

CECD

由正弦定理可得sinD=sinZCED,

2万百

即sinD=1=7,

cosD=J1—sbiD=j

sinD出

/.tanD=COSD=2.

【解析】(I)根据正弦定理以及二倍角公式即可证明，(II)如图所示：过点C做CELAC,根据平行线

5场

分线段成比例定理，设CE=x,则AB=5x,AD—x,再根据勾股定理可得x的值，再由正弦定理，sinD=~,

再根据同角的三角函数的关系即可求出答案.

18、已知函数f(x)=aex-blnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为丫=(以一口'+1

(1)求a,b；

(2)证明：f(x)>0.

【考点】

【答案】

(1)解：函数f(x)=aex-bInx,

b

求导函数可得f'(x)=aex-x(x>0)

y=[--1|x+l

・・.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为I。),

1

.,-f(1)=。，f'(1)=-1,

・・ae-,ae—b——1,

(2)证明：函数f(x)=ex-2-Inx,

由y=ex-2-(x-1)的导数y'=ex-2-1,

当x>2时，导数g>0,函数y递增；

当x<2时，导数『<0,函数y递减.

可得函数y在x=2处取得极小值也为最小值0,

即有ex-2Nx-1；

1

由y=lnx-(x-1)的导数为y'=X-1,

当x>1时，导数g<0,函数y递减；

当0<x<1时，导数『>0,函数y递增.

可得函数y在x=1处取得极大值也为最大值0,

即有InxWx-1；

由于等号不同时取得，

则ex-2>Inx,

即有f(x)>0成立

1

【解析】(1)求导函数，利用曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程，可得f(1)=$,f'(1)=

-1,由此可求a,b的值；(2)构造函数丫=6*-2-(x-1),求导函数，确定函数的单调区间，从而可

得函数的最小值；构造y=lnx-(x-1),求出导数和单调区间，可得最大值，故可得证.

【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的，函数的单调性与其

导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，'⑸>0,那么函数在这个区间单调递增；(2)

如果ra)<o,那么函数7在这个区间单调递减.

=4t2

19、在直角坐标系xOy中，已知点P(2,0),曲线C的参数方程为1V=4t(t为参数).以坐标原点

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求曲线C的普通方程和极坐标方程；

n

(ID过点P且倾斜角为工的直线I交曲线c于A,B两点，求|AB|.

【考点】

x=4?

【答案】解：(I)因为消七得曲线C的普通方程为y2=4x.

x=pcos6,y=psin0,p2sin26=4pcos0,

即曲线C的极坐标方程为psin20=4cos0.

(ID因为直线I过点P(2,0)且倾斜角为彳,

x=2+其

,/G为参数)

所以直线I的标准参数方程为2,

将其代入y2=4x,整理可得s'-405-16=0,(8分)A=(TV5)'+4X1Q>0,

设A,B对应的参数分别为s1,S2则与+$2=+、回S'=-16,

所以⑷|=k_的|=他+1-4眼a=也可+4*16=或

【解析】(I)利用三种方程的转化方法，即可求曲线c的普通方程和极坐标方程；(II)直线I的标准

x=2+gs

(，二坦(S为参数)

参数方程为)’=2S,将其代入y2=4x,利用参数的几何意义，即可求|AB|.

20、已知函数f(x)=|x+a|+|x-a|,aGR.(I)若a=1,求函数f(x)的最小值；

(II)若不等式f(x)W5的解集为A,且2就，求a的取值范围.

【考点】

【答案】解：(I)因为a=1,所以f(x)=|X+1|+|X-1|》|X+1-X+1|=2,

当且仅当(x+1)(x-1)W0时，即-1WxW1时，f(x)的最小值为2.

(II)因为2朝,所以f(2)>5,即|a+2|+|a-2|>5,

cfi.――

当a<-2时，不等式可化为-a-2-a+2>5,解得2,所以;

当-2WaW2时，不等式可化为a+2-a+2>5,此时无解;

当a>2时，不等式可化为a+2+a-2>5,解得2,所以;

综上，a的取值范围为(id，)=(了+8)

【解析】(I)因为a=1,所以f(x)=|X+1|+|X-1|^|X+1-X+1|=2,即可求函数f(x)的最小值；(II)

因为2-A,所以f(2)>5,即|a+2|+|a-2|>5,分类讨论，即可求a的取值范围.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要

掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的

符号.

21、如图1,四边形ABCD是菱形，且NA=60°,AB=2,E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1,

图1

如图2.图2

(I)求证：平面ADEJ■平面AEB1；

n

(II)若二面角A-DE-C1的大小为3求三棱锥C1-AB1D的体积.

【考点】

【答案】证明：(I).••图1,四边形ABCD是菱形，且NA=60°,E为AB的中点,

/.DE±AB,

...将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1,如图2,

.-.DE±AE,DE±B1E,

又AEf!B1E=E,...DE，平面AEB1,

；DEu平面ADE,二平面人口£_1平面人£81；

n

(II)由(I)知，DE_LAE,DE±B1E,/.ZAEB1为二面角A-DE-C1的平面角为3,又■.,AE=EB1=1,

.■.△AEB1为正三角形，则AB1=1.

在RtDEBi中，由=LD£=\/3可得B1D=2,

・•.△ADB1是等腰三角形，底边AB1上的高等于、22.

则3224.

1用、111在石

一xh=-X-x[x

设E到平面ADB1的距离为h,则由等积法得：34322,

出

得卜=5.

,.'C1D//B1E,且C1D=2B1E,

2岳

.,.C1到平面ADB1的距离为5.

”142岳1

则3452.

【解析】(I)由原图形中的DE_LAB,可得折起后DE_LAE,DE±B1E,再由线面垂直的判定可得DE_L平面

AEB1,进一步得到平面ADE,平面AEB1；(II)通过解三角形求出三角形ADB1的面积，利用等积法求得E

到平面ADB1的距离，再由比例关系求得C1到平面ADB1的距离，则三棱锥C1-AB1D的体积可求.

【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这

两个平面垂直才能得出正确答案.

x2y2

C:—+—7=l(d>b>0)

22、已知椭圆片卜的左，右焦点分别为F1,F2,过F1任作一条与两坐标轴

3

都不垂直的直线，与C交于A,B两点，且4ABF2的周长为8.当直线AB的斜率为彳时，AF2与x轴垂直.(I)

求椭圆C的方程；

(II)在x轴上是否存在定点M,总能使MF1平分NAMB?说明理由.

【考点】

【答案】解：(I)由椭圆的定义可知4ABF2的周长4a=8,则a=2,

3巴五

由直线AB的斜率为7时，A