专题26抛物线及其标准方程5种常见考法归类

专题26抛物线及其标准方程5种常见考法归类1、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：（1）定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．（2）在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2、抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：（1）四个标准方程的区分焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．（2）抛物线标准方程中的参数p的作用参数p称为焦准距或焦参数，是焦点到准线的距离．p确定了抛物线的焦点坐标和准线方程及抛物线的标准方程．（3）如何记忆抛物线的四种标准方程？①方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．②一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．（4）抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)区别：y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样．y2＝2px(p>0)：焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，对称轴为x轴，开口向右；y＝ax2(a>0)，即x2＝eq\f(1,a)y，焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，对称轴为y轴，开口向上．3、抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．4、求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；②直接根据定义求p，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程(组)求系数，其一般步骤为：5、求解抛物线实际应用题的步骤：6、圆锥曲线的共性探究动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即eq\f(|MF|,|MA|)＝e.(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝eq\f(a2,c)，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．考点一抛物线定义及应用考点二求抛物线的标准方程考点三求抛物线的方程求参数考点四抛物线方程的实际应用考点五求抛物线的轨迹方程考点一抛物线定义及应用1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A．抛物线 B．直线C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确【答案】C【详解】根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解.【分析】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，可得该动点到定点和到定直线距离相等，当定点不在定直线上时，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线.故选C．2．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．【答案】【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.【详解】将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，设，所以，解得，所以抛物线方程为，故答案为：.3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为．【答案】【分析】设，根据两点距离公式可得，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，则，当时，取得最小值12，故．4．【多选】（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（

）A．的最小值为 B．最小值为C．最小值为 D．最小值为【答案】BCD【分析】动点的轨迹为圆，通过抛物线上点的性质，通过设点，化折线为直线表示出距离，利用函数思想或数形结合判断最小值的大小.【详解】抛物线焦点坐标为，动点到距离为设点为，则整理得，，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设点为，则点到距离时，最小为，最小值为，故A错误.点为，最小为最小值为1，最小为，故B正确.等于点到直线的距离，最小值为到直线的距离减去，即，故C正确.到的距离为最小值为到的距离与和的最小值，即到的距离最小值，设为则到距离为当时，最小值为2，最小值为2，得最小值为，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：圆上的点到定点定直线或曲线的距离的最值，转化为圆心到定点定直线或曲线的距离的最值，抛物线上的点到到定点定曲线的距离之和的最小值利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，折线转化为直线.也可利用点到直线距离公式、两点间距离公式，利用函数思想求最值.5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，则根据抛物线的定义可知，求的最小值，即求的最小值，显然当D，B，A三点共线时最小，此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.故选：B.6．（2024·全国·高三专题练习）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为.【答案】5【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，如图，过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，由抛物线的定义，可知，故．即当、、三点共线时，距离之和最小值为．故答案为：．7．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是．【答案】/【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再利用抛物线定义建立关系，并求出最小值作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，延长PM交准线于N，连PF，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而，所以的最小值为.故答案为：8．（2023秋·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.【答案】【分析】根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出结果.【详解】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，圆变形为，则圆心为抛物线的焦点，半径为.点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.如图，过点作于点，由抛物线定义可知，所以取最小值时，即取最小值，，当三点共线，当时，等号成立..则的最小值为.故答案为：.9．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为．【答案】【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.【详解】如图所示：由圆的标准方程为可知圆心，半径为，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，圆外一点到圆上点的距离满足，即；所以，当且仅当三点共线时，等号成立；即的最小值为．故答案为：10．（2023·江苏·高二假期作业）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，点，求的最小值，并求出点的坐标.【答案】最小值为,【分析】首先确定动点的轨迹为抛物线，再利用抛物线的定义，转化点到焦点的距离为到准线的距离，利用数形结合，即可求解.【详解】由题意可知，动点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点的抛物线，抛物线方程为，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，过点作垂直于准线于点，于是.当，，三点共线时，取得最小值，即取最小值，这时的纵坐标为2，可设，代入抛物线方程得，即.11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.【答案】12【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义将点P到点A的距离与到x轴的距离之和转化为点P到点A的距离与到焦点的距离之和减去1，继而利用几何意义求得答案.【详解】由抛物线方程可知其焦点为，准线为，点P是抛物线上的动点，则点P到x轴的距离为P到准线的距离减去1，由抛物线定义知P到准线的距离等于P到焦点的距离，设P到x轴的距离为d，则，当且仅当三点共线时等号成立，而，故，即点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为12.12．（2023秋·高二课时练习）（1）设P是抛物线上的一个动点.①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离.【答案】（1）①；②4；（2），【分析】（1）①根据抛物线定义，点P到准线的距离等于P到点的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小，数形结合得解；②同理可处理.（2）设抛物线上任一点P的坐标为，用两点间距离公式求出转化为二次函数求最小值.【详解】（1）①抛物线焦点为，准线方程为，∵点P到准线的距离等于P到点的距离.∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小.显然P是的连线与抛物线的交点，最小值为.②同理与P点到准线的距离相等.如图：过B作准线于Q点，交抛物线于点.∵，∴.∴的最小值为4.（2）由题意设抛物线上任一点P的坐标为，则，因为，所以当时，.故距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是.考点二求抛物线的标准方程13．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，故抛物线的标准方程是.故选：D14．（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案.【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，故抛物线标准方程为；（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为或，分别将代入，求得，故抛物线标准方程为或；（3）由于直线与x轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，则，故抛物线标准方程为；（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则设抛物线方程为，焦点为，准线为，故，故抛物线标准方程为.15．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点.求该抛物线的标准方程.【答案】【分析】由题意确定焦点位置，设出方程，根据抛物线上一点的坐标求得抛物线的焦准距p，即得答案.【详解】由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，因此抛物线焦点在x轴正半轴上，可设它的标准方程为，将点的坐标代入方程，得，即.因此，所求抛物线的标准方程为.16．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，所以其对应标准方程为为或.故选：D17．（2023秋·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程.【答案】或【分析】由题意，抛物线的焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上，分两种情况讨论利用待定系数法求解.【详解】根据题意，当抛物线焦点在轴上时，经过点，设抛物线方程为，，解得，所以抛物线的标准方程为.当抛物线焦点在轴上时，经过点，设抛物线方程为，，解得，所以抛物线的标准方程为.综上，抛物线的标准方程为或.18．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．【答案】【分析】利用待定系数法直接求解.【详解】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，所以可设抛物线：.由抛物线的定义可得：，解得：.所以抛物线的方程为：.故答案为：.考点三求抛物线的方程求参数19．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（

）.A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离.【详解】由抛物线方程知：，即，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是.故选：B20．（2003·江苏·高考真题）抛物线的准线方程是，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将抛物线方程标准化后写出抛物线准线方程即可求得结果.【详解】抛物线化为标准方程，所以准线方程是，所以，解得.故选：B.21．（2023春·云南昭通·高二校考期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（

）A．4 B． C． D．32【答案】B【分析】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值.【详解】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以，将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限，所以.故选：.22．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（

）A． B． C．2 D．2【答案】A【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从轴负半轴旋转到轴正半轴，即可得.【详解】根据题意可得抛物线的焦点坐标为，抛物线的标准方程为，可得其焦点坐标为，易知绕原点顺时针旋转之后得到，即可得，解得.故选：A23．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则.【答案】【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.【详解】由得，，故，因为轴，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案为：.24．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值.【详解】设抛物线C的准线与x轴交于点Q，过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H，∴，，由抛物线的定义知，∵，∴，，∴，解得．故选：D．25．（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则.【答案】【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.【详解】如下图所示：不妨设点在第一象限，联立可得，即点易知轴，则轴，则，所以，直线的倾斜角为，易知点，所以，，整理可得，且有，故，等式两边平方可得，即，解得（6舍去）故答案为：.考点四抛物线方程的实际应用26．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得.【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，解得，则，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．故选：C27．（2023·全国·高二随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；(2)【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为：，把代入方程中，得，所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；（2）设抛物线的方程为，把代入方程中，得，所以焦点的坐标为：.28．（2023·全国·高二课堂例题）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.【答案】(1)【分析】（1）在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可；（2）运用代入法进行求解即可.【详解】（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度，则可设抛物线的标准方程为.灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为，代入抛物线方程得，解得，则焦点坐标为.故光源应安置在与顶点相距处；（2）由（1）可得抛物线方程为.灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为.故将代入抛物线方程求得.此时，探照灯的深度为48.4cm.29．（2024·全国·高三专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为m.【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.【详解】由题意，如图建系：则，，，，如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，故抛物线方程为，将代入抛物线方程，可得，.故答案为：3.8.30．（2024·全国·高三专题练习）如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.【答案】不能，理由见解析.【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知：，把它代入方程中，得，所以方程为，而货轮宽16m，把代入中，得，点离水面高度为，而吃水线上部分中央船体高16m，所以不能通过桥孔.考点五求抛物线的轨迹方程31．（2023·高二课时练习）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程．【答案】或【分析】根据题意列方程可求出结果.【详解】依题意可得，两边平方得，即，当时，；当时，.所以点P的轨迹方程为：或.32．（2023·全国·高二随堂练习）一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.【答案】，图形见解析.【分析】设出动圆的圆心坐标，根据给定条件列出方程，化简并作出图形作答.【详解】设动圆的圆心，于是，其中是点到直线的距离，因此，化简得，所以圆心的轨迹方程是，其图形为抛物线，图形为：33．（2023·全国·高二课堂例题）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线．【答案】，作图见解析【分析】设M的坐标是，根据题已列出方程，化简可得答案，继而作出图象.【详解】设M的坐标是，则根据题意可知，化简得．当时，方程可变为，这表示的是端点在原点方向为y轴正方向的射线，且不包括端点，当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线，如图所示：34．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．【答案】，轨迹是开口向左的抛物线．【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解.【详解】由条件可知，直线l的方程为，因此点A的横坐标为4．设P的坐标为，则点A的坐标为．因此因为的充要条件是，所以，即动点P的轨迹方程为．从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．35．（2023·全国·高二假期作业）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．【答案】【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案.【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，，因为，所以，，可得，，代入得，整理得，所以动点Q的