吉林省白山市江源区2023-2024学年八年级上学期12月期末数学试题

2023-2024学年吉林省白山市江源区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm2．（2分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列计算正确的是（）A．a4•a3＝a12 B．a8÷a4＝a2 C．a3+a3＝2a6 D．（a2）4＝a84．（2分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q6．（2分）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝45°，则∠A的度数是（）A．40° B．44° C．45° D．50°二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．8．（3分）因式分解：4a2﹣1＝．9．（3分）（3a2﹣6ab）÷3a＝．10．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是边形．11．（3分）已知点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P1的坐标是．12．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED＝5，则EC的长为．14．（3分）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数（用含m的代数式表示）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）计算：（﹣5）3÷（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣+1|．16．（5分）先化简，再求值（+）÷，其中m＝．17．（5分）解方程：＝1．18．（5分）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）若△A'B'C'与△ABC关于x轴成轴对称，作出△A'B'C'；（2）若P为y轴上一点，使得△APC周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为；（3）计算△ABC的面积．20．（7分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．21．（7分）下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点A．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图2，①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；③作直线BE，交直线l于点C；④连接AB．△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝，∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（）（填推理的依据）．∴∠ABC＝30°．22．（7分）如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？24．（8分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？26．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．

2023-2024学年吉林省白山市江源区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm【解答】解：A、2+3＜6，不能组成三角形，不符合题意；B、5+20＞20，能组成三角形，符合题意；C、1+3＜7，不能组成三角形，不符合题意；D、5+4＝9，不能组成三角形，不符合题意．故选：B．2．（2分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．3．（2分）下列计算正确的是（）A．a4•a3＝a12 B．a8÷a4＝a2 C．a3+a3＝2a6 D．（a2）4＝a8【解答】解：A、a4•a3＝a7，所以A选项计算不正确，不符合题意；B、a8÷a4＝a4，所以B选项计算不正确，不符合题意；C、a3+a3＝2a3，所以C选项计算不正确，不符合题意；D、（a2）4＝a8，所以D选项计算正确，符合题意．故选：D．4．（2分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：△OAB与△OA′B′中，，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．故选：B．5．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等．故选：A．6．（2分）有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝45°，则∠A的度数是（）A．40° B．44° C．45° D．50°【解答】解：∵∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠DBA+∠DCA＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝∠ABC+∠ACB﹣90°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x＞3．【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，解得x＞3．故答案为：x＞3．8．（3分）因式分解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．故答案为：（2a+1）（2a﹣1）．9．（3分）（3a2﹣6ab）÷3a＝a﹣2b．【解答】解：（3a2﹣6ab）÷3a＝3a2÷3a﹣6ab÷3a＝a﹣2b．故答案为：a﹣2b．10．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是七边形．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝7．故答案为：七．11．（3分）已知点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P1的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P1的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．12．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝35度．【解答】解：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∵∠1＝30°，∠2＝40°，∴∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝40°，∴∠BED＝∠AEC＝∠3+∠4＝70°，∵EF是∠BED的平分线，∴∠BEF＝∠BED＝×70°＝35°．解法二：直接根据平行可得∠B＝∠2＝40°，再由外角可得∠BED＝∠1+∠B＝70°，∵EF是∠BED的平分线，∴∠BEF＝∠BED＝×70°＝35°．故答案为：35．13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED＝5，则EC的长为10．【解答】解：在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED＝5，∴BE＝CE，∴∠B＝∠DCE＝30°，在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，ED＝5，∴CE＝2DE＝10．故答案为：10．14．（3分）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数180°﹣3m（用含m的代数式表示）．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为矩形，∴DE∥CF，∴∠DEF+∠CFE＝180°∴∠CFE＝180°﹣m．如图2，∵∠EFG＝∠DEF＝m，∴∠CFG＝180°﹣2m．如图3，∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣3m．故答案为180°﹣3m．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）计算：（﹣5）3÷（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣+1|．【解答】解：原式＝﹣125÷2+1﹣（﹣1）＝﹣62.5+1﹣+1＝﹣60.5﹣．16．（5分）先化简，再求值（+）÷，其中m＝．【解答】解：原式＝×＝×＝当m＝时，原式＝＝＝﹣17．（5分）解方程：＝1．【解答】解：原方程可变形为：﹣＝1，去分母，得2﹣3＝3x﹣3，整理，得3x＝2，解，得x＝．经检验，x＝是原方程的解．∴原方程的解为x＝．18．（5分）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．【解答】证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）若△A'B'C'与△ABC关于x轴成轴对称，作出△A'B'C'；（2）若P为y轴上一点，使得△APC周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为（0，2）；（3）计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求：（2）点P即为所求，P（0，2）；故答案为：（0，2）；（3）△ABC的面积为：．20．（7分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【解答】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．21．（7分）下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点A．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图2，①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；③作直线BE，交直线l于点C；④连接AB．△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝ED，∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（直角三角形的两个锐角互余）（填推理的依据）．∴∠ABC＝30°．【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；（2）证明：如图，连接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝ED，∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．∴∠ABC＝30°．故答案为：ED；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形两个锐角互余．22．（7分）如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？【解答】解：由题意知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，在△BCD中，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，∴BD＝80海里，∴BC＝160海里，由∠CBD＝60°，得∠ABC＝120°，∵∠CAD＝30°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∴AB＝160海里，∵AD＝AB+BD，∴AD＝160+80＝240（海里）．因此船从A到D一共走了240海里．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？【解答】解：（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据题意得：，解得：x＝70，经检验x＝70是原方程的解，即李明步行的速度是70米/分．（2）根据题意得，李明总共需要：．即李明能在联欢会开始前赶到．答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校．24．（8分）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？【解答】解：（I）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（II）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次