高一上学期期中复习讲义06指数函数

期中复习专题06：指数函数解析版考点一：指数运算【知识点梳理】1、根式的运算(1)当n为奇数时，；当n为偶数时，=(2)负数的偶次方根无意义．(3)零的任何次方根都为0.2、分数指数幂(1)正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．(2)正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂运算的性质(1)(ab)r＝(a>0，b>0，r∈R)．(2)(ar)s＝(a>0，r，s∈R)．(3)aras＝(a>0，r，s∈R)．【典例例题】例1.（2022·安徽省合肥市庐江县安徽师范大学附属庐江第三中学期末）计算：【详解】【变式训练】1.（2022·甘肃省甘谷第一中学等两校期末）已知函数，则（）A.0 B.1 C.e D.【答案】B【解析】【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】，故选：B2.（2022·甘肃省天水市武山县第一高级中学期末）________.【答案】1【解析】【分析】直接利用指数幂的运算法则求解.【详解】,故答案为:13.（2022·甘肃省天水市武山县第一高级中学期末）计算下列的值：；故答案为:34.（2022·江西省宜春市宜丰县宜丰中学期末）化简求值；故答案为:1035.（2022·辽宁省丹东市凤城市第一中学期末）计算下列各式的值：；故答案为:6.（2022·山东省济南第三中学期末）求下列的值；故答案为:2考点二：指数函数的图像和性质【知识点梳理】指数函数的图像和性质图象定义域值域性质过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x<0时，当x<0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是单调递增在(－∞，＋∞)上是单调递减【典例例题】例1.（2022·江西省宜春市宜丰县宜丰中学期末）函数（且）与函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与轴的交点位置，即可得出合适的选项.【详解】A选项，函数为减函数，则，且函数的图象交轴正半轴点，则，可得，函数为增函数，且函数交轴正半轴于点，则，，A满足；对于B选项，函数交轴于点，函数交轴于点，显然，B不满足；对于C选项，函数交轴于点，函数交轴于点，显然，C不满足；对于D选项，函数为减函数，则，函数为减函数，则，D不满足.故选：A.例2.（2022·山东省济南第三中学期末）已知指数函数（，且）的图象过点．（1）求的解析式；（2）若函数，且在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将点的坐标代入即可.（2）换元后，用二次函数根的分布求解.【详解】（1）由题意的图象过点，∴，解得．故函数的解析式为．（2）∵，∴．令，∴，函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，则即解得．故实数m的取值范围为．例3.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市部分地区期中）设，，中，则a，b，c的大小关系是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断．【详解】因为指数函数是单调减函数，，所以，即；因为幂函数在上是增函数，，所以，即．综上，．故选：C．【变式训练】1.（2022·辽宁省丹东市凤城市第一中学期末）函数且过定点________．【答案】【解析】【分析】令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.【详解】令，可得，.因此，函数的图象过定点.故答案为：.2.（2022·江西师范大学附属中学中学期中）设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数和幂函数的单调性分别判断可得出大小关系.【详解】因为，，所以，故选:C.3.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市部分地区期中）已知函数，则（）A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.【详解】的定义域为，，所以是奇函数，由于，所以在上单调递增.故选：A4.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市部分地区期中）函数的图像（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的单调性和值域排除即可．【详解】由题可得函数的定义域为，当，，函数单调递减，此时，排除AC；当，，函数单调递增，此时，排除B.故选：D．5.（2022·湖北省黄冈市麻城市博达学校期中）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】利用数形结合画出两函数图象，取较大的部分即可求出结果.【详解】易知函数为单调递减，为单调递增，两函数图象至多一个交点，令，解得；当时，，当时，；所以，画出函数的图象如下图所示：由图可知，的最小值为1.故选：C6.（2022·江西师范大学附属中学中学期中）函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性和区间内函数值的符号，用排除法求解.【详解】由，可知函数的定义域为，，函数为偶函数，图像关于轴对称，排除CD；当时，，，，又，所以，排除B.故选：A考点三：指数函数的综合应用【知识点梳理】1、指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、值域等问题时，要借助“同增异减”。【典例例题】例1.（2022·云南省红河州蒙自市红河哈尼族彝族自治州第一中学期末）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.【小问1详解】因为是上的奇函数，所以，即，此时，，所以为奇函数，故.【小问2详解】由（1）知，为上的增函数，证明：任取，且，则，因为，所以，即，又，所以，即，根据增函数的定义可得为上的增函数.【小问3详解】由得，因为为奇函数，所以，因为为增函数，所以，即，所以或.【变式训练】1.（2022·四川省射洪中学校期中）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数值；（2）判断函数的单调性并简要说明理由；（3）求函数的值域.【答案】（1）1（2）单调递增，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶性和特值法求出实数的值；（2）先化简函数，再利用函数单调性的定义进行判断；（3）先求的范围，结合函数解析式可得答案.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得.当时，，，所以是奇函数，故.【小问2详解】，设任意，且，则，因为，所以，则，即，故在上单调递增.【小问3详解】，因为，所以，函数的值域为.2.（2022·山东省枣庄市第三中学期末）设函数（，且）．（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．【答案】（1）证明见解析，是减函数；（2）(－3，5)；（3）2﹒【解析】【分析】(1)f(x)定义域为R关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系，以此确定奇偶性；f(x)的单调性可以通过单调性的性质进行判断；(2)利用条件，得到在R上单调递减，从而将转化为，进而得，研究二次函数得到结论；(3)令，得到二次函数h(t)，分类讨论研究得到，得到结论．【小问1详解】证明：的定义域为，关于原点对称，且，∴为奇函数，∵，∴递减，递减，故是减函数；【小问2详解】(且)，∵，∴，又，且，∴，故在上单调递减，不等式化，∴，即恒成立，∴，解得；【小问3详解】∵，∴，即，解得或(舍去)，∴，令，由(1)可知为增函数，∵，∴，令，若，当时，，∴；若时，当时，，解得，无解；综上，．3.（2022·河南省新乡市河南师大附中实验学校期末）已知函数（1）若，求值；（2）讨论在区间上的最小值；（3）记在区间上的最小值为，若对于恒成立，求的范围.【答案】（1）（2）当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为.（3）【解析】【分析】（1）直接代入函数解析式求解即可；（2）将原函数中的指数部分换元，变形为二次函数，按对称轴和区间的关系分类讨论求最小值即可；（3）由第二问的结果求得函数的解析式，并画出函数图像，由图像判断其单调性，根据单调性将原不等式等价变形，并分离出k，再求其余部分函数的最大值即可.【小问1详解】由题所以【小问2详解】，令，则原函数等价于，对称轴为.当时，在上单调递增，所以，即；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即；当时，在上单调递减，所以，即.综上：当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为.【小问3详解】由（2）知，，函数图像如下图所示由图像可知在R上单调递减.所以对于恒成立，等价于对于恒成立，等价于对于恒成立.因为，所以.即的范围为.4.（2022·山东省泰安第一中学期末）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…．（1）求函数和的解析式；（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，使成立，求实数取值范围．【答案】（1）；；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）将替换为，得，与已知条件联立方程，求函数的解析式；（2）利用函数的奇偶性不等式转化为在上恒成立，利用单调性转化为在上恒成立，参变分离后在上恒成立，即转化为求函数的最值；（3）首先设函数，根据条件转化为，转化为求两个函数的最小值，即得结论.【详解】（1）由题意知，令替换x得，即．于是，解得；，解得．（2）由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数所以在上恒成立即在上恒成立所以因为，当且仅当，即时取等号．所以．（3）设，，，使成立，所以函数的值域包含于的值域，，函数单调递增，所以函数的值域是，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需，因为为上的增函数，所以．当时，因为在单调递增，在单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．一、单项选择（6道）1.（2022·新疆喀什地区莎车县莎车县第九中学期中）已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将根式化为指数形式，利用指数运算即可得结果.【详解】，则.故选：D2.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市部分地区期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单调递增可排除A、C，再根据指数函数过定点可排除B.【详解】因为，则单调递增，故A、C错误；又因为过定点，故B错误；对于选项D：可知单调递减，则，所以与y轴交于0和1之间，故D正确.故选：D.3.（2022·山东省泰安第一中学期末）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令，则，因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，函数与的单调性相反；又因为单调递减，所以需在上单调递增.函数的对称轴为，所以只需要，故选:A.4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先整理，，即可得出，然后根据即可得出结果.【详解】由题可知，，，则，又，所以，故选：D.5.（2022·山东省泰安第一中学期末）函数在上的大致图象为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，又，排除选项CD，故选：A6.（2022·甘肃省甘谷第一中学等两校期末）若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数是上的增函数，需要满足指数函数和一次函数都是增函数，且在分割点处函数值满足对应关系，据此列出不等式求解即可.【详解】函数满足对任意的实数都有，所以函数是上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，所以数的取值范围为故选：.二、多项选择题（4道）7.（2022·江西师范大学附属中学中学期中）下列运算结果中，一定正确的是A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．【详解】解：选项，正确；选项，错误；选项当时，，当时，，错误；选项，正确．故选：．8.（2022秋·宁夏银川·高一校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的图像关于原点对称B．，且，则恒成立C．D．的值域为【答案】AD【分析】判断函数的奇偶性即可判断A；判断函数的单调性即可判断B；举反例可判断C；结合指数函数的性质可求得的值域，判断D.【详解】对于A，函数的定义域为R，且，故为奇函数，的图像关于原点对称，A正确；对于B，，由于是R上的增函数，故在R上单调递减，则在R上单调递增，不妨设，且，，则，故，B错误；对于C，取，则，即，C错误；对于D，由于，且，故，则，故，即的值域为，D正确，故选：AD9．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.10．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：则时，的关系有三种可能，分别是：，，.故选：BCD三、填空题（10道）11.（2022·宁夏银川市贺兰县景博中学期中）计算得________．【答案】【解析】【分析】利用指数的运算性质即可求解.【详解】.故答案为：12.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期末）已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：113.（2022·江西师范大学附属中学中学期中）已知函数，则______.【答案】16【解析】【分析】根据函数的解析式先求出，进而求得.【详解】函数，则，所以.故答案为：16.14.（2022·甘肃省甘谷第一中学等两校期末）已知，则的解集为________．【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式与指数不等式的解法求解即可【详解】即，也即，所以，解得，解得.所以的解集为，故答案为：15.（2022·吉林省长春外国语学校期中）已知定义域为R的函数是奇函数，则实数______.【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的性质可得，并根据奇函数的定义结合指数幂运算检验.【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则，解得，可知，则，即，可知是奇函数，故符合题意，综上所述：.故答案为：1.16.（2022·黑龙江省齐齐哈尔市部分地区期中）已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】求得的解析式，根据复合函数单调性同增异减列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，在上单调递增，令，因为，则，故，又在上单调递减；而的开口向上，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可得，所以的取值范围是.故答案为：.17.（2022·宁夏银川市贺兰县景博中学期中）已知，且，若，则m的值为____________．【答案】【解析】【分析】将两边平方后可求m的值.【详解】因为，则且，故，故，故答案为：18.（2022·吉林省长春外国语学校期中）化简求值：（1）=________（2）若，求=______，=________.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用指数幂计算公式逐步计算，即可解得本题答案；（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.【小问1详解】；【小问2详解】，，，又，.19.（2022·江苏省射阳中学期中）=_______【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数运算法则进行计算；（2）将根式化为分数指数幂，进行计算.【小问1详解】原式===；【小问2详解】原式==20.（2022·甘肃省天水市武山县第一高级中学期末）设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则下列命题：①对任意，都有；②函数在上递减，在上递增；③函数的最大值是1，最小值是0；④当时，.其中正确命题的序号有_________.【答案】①②④.【解析】【分析】根据已知条件，结合函数的周期性，奇偶性和单调性，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数对任意的恒有，可得，所以①正确；由时，为单调递增函数，因为函数是定义在上的偶函数，可得时，函数为单调递减函数，又由函数的周期为，可得函数在上递减，在上递增，所以②正确；由②可得，当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，根据函数的周期性，可得函数的最大值为，最小值为，所以③不正确；当时，则，可得，所以④正确.故答案为：①②④.四、简答题（10道）21.（2022·江西师范大学附属中学中学期中）（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算，准确运算，即可求解；（2）根据题意，平方化简求得或，代入即可求解.【详解】（1）解：由指数幂的运算公式，可得：.（2）解：由，平方可得，整理得，解得或，当时，可得；当时，可得.22.（2022·新疆喀什地区莎车县莎车县第九中学期中）计算下列各式的值．（1）（2）【答案】（1）6（2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂运算法则进行计算即可；（2）根据指数幂运算法则进行计算即可；【小问1详解】原式【小问2详解】原式23.（2022·宁夏银川市贺兰县景博中学期中）已知函数且，且．（1）求a的值，并判断的奇偶性；（2）若函数在上的最大值为，求k的值．【答案】（1），奇函数（2）1【解析】【分析】（1）根据，代入计算，即可求得，然后由即可得到其为奇函数；（2）根据，然后结合函数的单调性，可得，从而求得k的值.【小问1详解】因为，所以，解得或（舍去）．因为的定义域为，且，所以奇函数．【小问2详解】．因为函数在上单调递增，且，所以函数上单调递增．因为函数在上单调递增，所以上单调递增，则，解得．24.（2022·河南省新乡市卫辉市第一中学期末）已知是定义在上的奇函数．（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据定义在上的奇函数过原点，以及奇函数的性质，列方程即可求解；（2）先判断函数的单调性，结合单调性的定义证明结论即可；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式转化进行求解即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，则有，可得：，所以，又因为，所以，解得：，所以，；【小问2详解】在上单调递增．证明如下：由（1）得，取，令，则，由于函数为上的单调递增函数，且，又因为，所以，则，所以，即，所以在上单调递增；【小问3详解】因为是定义在上的奇函数，所以原不等式可转化为：，又因为在上单调递增，所以，令，则，原式化为：，整理得：，令，则，且当时等号成立，则，令，则对恒成立，又的图象开口向上，对称轴为，且，当，即时，在上恒成立，当，即或时，有，即，解得：，此时，综上所述，的取值范围为.25.（2022·江西省宜春市宜丰县宜丰中学期末）已知函数是定义在上的奇函数．（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）是上的增函数，证明见解析（2）存在；【解析】【分析】(1)先利用奇函数的性质求出字母，再根据函数单调性定义取证明即可；(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.【小问1详解】，所以是上的增函数，证明如下：设，，，∴，，，，∴是上的单调增函数．【小问2详解】假设存在实数，使之满足题意．由（1）可得函数上单调递增，∴，∴∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．令，即方程有两个不等的正根．，∴故存在，实数的取值范围为：26.（2022·甘肃省天水市武山县第一高级中学期末）函数是奇函数．（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）直接由奇函数的定义列方程求解即可；（2）由条件得在恒成立，转为求不等式右边函数的最小值即可得解.【详解】（1）函数是奇函数，，故，故；（2）当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．27.（2022·甘肃省甘谷第一中学等两校期末）已知函数为奇函数，其中a为实数．（1）求实数a的值；（2）若时，不等式在上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数为奇函数，可得，代入整理可得：，所以，即可得解；（2）若，由（1）知，所以，根据复合函数单调性所以为增函数，又因为为奇函数，由题意可得：，构造函数进行分类讨论即可得解.【详解】（1）由函数为奇函数，可得，代入可得：，整理可得：，所以，解得：；（2）若，由（1）知，所以，由为增函数，为增函数且，又因为为减函数，所以为增函数，所以为增函数，又因为为奇函数，由可得：，即在上恒成立，若，时不成立，故，令，则，整理可得：，令，若或需，，可得或，若，需，解得，综上可得：实数t的取值范围为.28.（