第08讲弧长及扇形面积（7类题型）（原卷版）

第08讲弧长及扇形面积（7类题型）课程标准学习目标1.弧长公式；2.扇形面积；理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。知识点01：弧长及扇形的面积设的半径为，圆心角所对弧长为，（一）弧长的计算（1）弧长公式：（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角所对弧长时，不要错写成（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。【即学即练1】1．（2023·浙江·九年级假期作业）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（

）A． B． C． D．【即学即练2】2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（）A． B． C． D．（二）扇形面积的计算（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。（3）公式推导：①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是②即其中为扇形的弧长，为半径。点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。【即学即练3】3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(

)A． B． C． D．【即学即练4】4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(

)A． B． C． D．题型01求弧长1．（2023春·湖南常德·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C是半径为6的上的三点．如果，那么的长为（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于．3．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．(1)求证：；(2)连结、，若，的半径为2，求的长．题型02求扇形面积1．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（

）A．20 B．24 C．26 D．322．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是．3．（2022秋·九年级单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径．题型03求圆心角1．（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（

）A．． B．． C．． D．．2．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是．3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？题型04求某点的弧形运动路径长1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（）A． B． C． D．2．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为．3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，．(1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留）(2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π）题型05求扇形面积1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．2．（2023·吉林松原·统考一模）如图所示，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）3．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．(1)求另外两个扇形的圆心角；(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．题型06求弓形面积1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，点A，B，C，在半径为6的圆上，∠ACB=45°，则图中阴影部分的面积为（结果保留）．3．（2022秋·安徽淮南·九年级淮南实验中学校考阶段练习）如图所示，以平行四边形的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．(1)求证：；(2)若，，求阴影部分弓形的面积．题型07求其他不规则图形的面积1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为．3．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．A夯实基础1．（2023秋·浙江·九年级校考开学考试）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知扇形半径为6，弧长为，则扇形面积为（）A． B． C． D．3．（2023春·山西·九年级专题练习）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A，B两点．若厘米，则的长度为（

）A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（

）A． B． C． D．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是cm．6．（2023·浙江温州·统考二模）一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是．7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm．8．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级校考期末）如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是与，则阴影部分的面积是（结果保留）．9．（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取）10．（2023春·九年级课时练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．(1)将向右平移个单位长度得到，请画出；(2)画出与关于点对称的；(3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．B能力提升1．（2023·江苏盐城·校联考二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是（

）A．60平方步 B．90平方步 C．120平方步 D．240平方步2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，，则的长为（）A． B． C． D．3．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿，折叠使得直径两端点，的对应点都与圆心重合，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．4．（2023·河北沧州·模拟预测）图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（

）A． B． C． D．5．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知点C在以为直径的半圆上，连接，，阴影部分的面积为．6．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，已知线段经过的中点，若，则阴影部分的周长为．7．（2023·江苏盐城·校考二模）如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为8．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，点A，B，C，D在半径为5的上，连接，，，．若，则劣弧的长为．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是等边内的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段和扇形，连接、、．(1)若，求阴影部分的面积；（结果保留根号和）(2)若，求的度数．10．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日作三角形的高线已知：如图1，．求作：的高线．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①作线段的垂直平分线找到线段的中点O；②以点O为圆心，的长为半径作圆；③延长交于点D；③连接．则线段就是的高线。小红：如图3，①以点B为圆心，的长为半径作弧；②以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，延长与相交于点D．则线段就是的高线．我有如下思考：以上两种办法依据的数学原理是什么呢？任务：(1)填空：小明的作法依据的一个数学定理是______；(2)根据小红的操作过程，求证：是的高线；(3)在图2中，若延长线段交于点E，，，，请你直接写出的长．C综合素养1．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，D为的中点，连接，以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F．则图中阴影部分的周长为（）A． B． C． D．3．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，分别以点、、为圆心，的长为半径画弧，交线段、于点、、、，若点、是线段的三等分点时，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．4．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为(

)A． B． C． D．5．（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，半径为3的中，点A、B、C都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为.6．（2023春·安徽亳州·九年级校考开学考试）如图，点A，B，C，D在上，，，，则的长为.（结果保留）7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，．以A为圆心，为半径作弧交于点E，则图中阴影部分的面积为．8．（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，矩形的对角线，相交于点，是等边三角形，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，与该矩形的边相交