第04讲 圆与圆的位置关系-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

第04讲圆与圆的位置关系目录考点一：圆与圆的位置关系考点二：相切两圆的性质考点三：相交两圆的性质【基础知识】一．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二．相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．三．相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．【考点剖析】一．圆与圆的位置关系（共26小题）1．（2022春•长宁区校级月考）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A．11 B．6 C．3 D．2【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，外离时的数量关系应满足d＞11；内含时的数量关系应满足0≤d＜3．观察选项，只有D符合题意．故选：D．【点评】考查了圆与圆的位置关系，关键是根据两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系解答．2．（2022春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵两圆半径之差＝6﹣2＝4＝圆心距，∴两个圆的位置关系是内切．故选：B．【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．3．（2022春•松江区校级期中）⊙A半径为3，⊙B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（）A．3＜AB＜5 B．2＜AB＜8 C．3＜AB＜8 D．2＜AB＜5【分析】根据圆心距和两圆半径的关系可得．【解答】解：根据两圆相交，则圆心距小于两圆半径之和，而大于两圆半径之差，则2＜AB＜8．故选B．【点评】考查了两圆的位置关系与数量之间的等价关系：两圆相交，则圆心距小于两圆半径之和，而大于两圆半径之差．4．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（）A．.0＜r≤4 B．.0≤r≤4 C．.0＜r＜4 D．.0≤r＜4【分析】设⊙B半径为Rcm，则R＝6cm，根据两圆外离的条件得到AB＞r+R，从而得到r的范围．【解答】解：设⊙B半径为Rcm，则R＝BC＝6cm，∵⊙A与⊙B外离，∴AB＞r+R，∴r＜AB﹣R，即r＜4，∵r＞0，∴0＜r＜4．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R，r，两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．5．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA＝4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O＝30°，AD＝2，∴OA＝4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC＝3，∴OB＝OA+AB＝4+3﹣2＝5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．6．（2022春•浦东新区期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【分析】直接利用已知得出两圆的半径，进而得出两圆位置关系．【解答】解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN＝（AB+DE）＝4.5，∵EC＝3，BC＝AD＝4，∴BE＝5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5＝4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，正确得出两圆心距离是解题关键．7．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD＝5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3＝2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴AD＝5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3＝2，∵BC＝7，∴BD＝4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选：B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．8．（2022春•奉贤区校级期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于3．【分析】根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，∴AB＝6﹣2＝4，过点A作AD⊥BC于D，则BD＝BC＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ABC的面积＝×6×＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切⇔d＝R﹣r是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是r＞7．【分析】首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．【解答】解：根据题意两圆内含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故答案为：r＞7．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是5或1．【分析】由两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得答案．【解答】解：∵两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，∴①若另一个圆的半径大，则另一个圆的半径是：3+2＝5；②若另一个圆的半径小，则另一个圆的半径是：3﹣2＝1．∴另一个圆的半径是：5或1．故答案为：5或1．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解题的关键．11．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A．4＜OB＜7 B．5＜OB＜7 C．4＜OB＜9 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA＝4，再确认⊙B与⊙A内切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O＝30°，AD＝2，∴OA＝4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图，∵BC＝5，∴OB＝OA+AB＝4+5﹣2＝7；∴⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是：4＜OB＜7，故选：A．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆内含和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．12．（2022春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．内切 D．内含【分析】求出AB＝5，根据圆心距＝半径之差，即可判断．【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），∴AB＝＝5，⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，∴半径差为：7﹣2＝5，∴这两圆的位置关系是：内切．故选：C．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．13．（2022•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．【解答】解：根据题意两圆内含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故选：D．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．14．（2022春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（）A．12 B．11 C．10 D．9【分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．由题意：，解得，故选：A．【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．15．（2022春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵两圆半径之差＝3﹣2＝1＝圆心距，∴两个圆的位置关系是内切．故选：D．【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．16．（2022•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先利用两圆相交的判定方法得到3＜d＜7，再根据“外相交”的定义得到d＞2且d＞5，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相交，∴5﹣2＜d＜5+2，即3＜d＜7，∵两圆“外相交”，∴d＞2且d＞5，∴两圆的圆心距d的取值范围为5＜d＜7．∴两圆“外相交”时的圆心距d的取值范围是5＜d＜7．故选C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞2 B．d＞8 C．0≤d＜2 D．d＞8或0≤d＜2【分析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．故选：D．【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．18．（2022春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（）A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论．【解答】解：当两圆外切时，切点A能满足AO1＝5，当两圆相交时，交点A能满足AO1＝5，当两圆内切时，切点A能满足AO1＝5，所以，两圆相交或相切．故选：A．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．19．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．外切 D．不能确定【分析】根据勾股定理得到AC＝＝4，根据相似三角形的性质得到BE＝，CD＝，DE＝2，求得CE＝＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝，∵AD＝2CD，∴＝，∴BE＝，CD＝，DE＝2，∴CE＝＝＝，∵BE+CD＝＞，∴以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交，故选：B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．（2022•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5【分析】求得⊙B内切于⊙O时⊙B的半径和⊙O内切于⊙B时⊙B的半径，根据图形即可求得．【解答】解：如图，当⊙B内切于⊙O时，⊙B的半径为3﹣2＝1，当⊙O内切于⊙B时，⊙B的半径为3+2＝5，∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，故选：D．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用．21．（2022春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是8＜r＜24．【分析】过点P作PA⊥OM于点A．根据题意首先判定OM是切线，根据切线的性质得到PA＝8．由角平分线的性质和平行线的性质判定直角△APQ中含有30度角，则由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到PQ的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得r的取值范围．【解答】解：如图，过点P作PA⊥OM于点A．∵圆P与ON相切，设切点为B，连接PB．∴PB⊥ON．∵OP是∠MON的角平分线，∴PA＝PB．∴PA是半径，∴OM是圆P的切线．∵∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，∴∠1＝∠2＝15°．∵PQ∥ON，∴∠3＝∠2＝15°．∴∠4＝∠1+∠3＝30°．∵PA＝8，∴PQ＝2PA＝16．∴r最小值＝16﹣8＝8，r最大值＝16+8＝24．∴r的取值范围是8＜r＜24．故答案为：8＜r＜24．【点评】考查了圆与圆的位置关系，切线的判定与性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．22．（2022春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为2．【分析】根据数量关系确定它们的位置关系，再根据位置关系确定交点个数．【解答】∵一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6，∴两圆相交，∴两圆有两个公共点．故答案为：2．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是将数量关系转化为位置关系．23．（2022春•松江区校级期中）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是2＜r＜8．【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．【解答】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．24．（2022春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（）A．点C在⊙A外，点D在⊙A内 B．点C在⊙A外，点D在⊙A外 C．点C在⊙A上，点D在⊙A内 D．点C在⊙A内，点D在⊙A外【分析】求出⊙A的半径为5，根据AD＝3，AC＝5即可作出判断．【解答】解：如图，连接AC，∵⊙A与⊙B内切，⊙B的半径为1，AB＝4，∴⊙A的半径为5，∵AD＝3，DC＝4，∠D＝90°，∴AC＝5，∴点D在⊙A内，点C在⊙A上．故选：C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是求出⊙A的半径．25．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是0≤d＜2或d＞4．【分析】先确定两圆的位置关系再求范围．【解答】解：∵两圆没有公共点，∴两圆内含或外离．当两圆内含时，0≤d＜3﹣1＝2，即0≤d＜2，当两圆外离时，d＞1+3＝4，∴d的取值范围是：0≤d＜2或d＞4．故答案为：0≤d＜2或d＞4．【点评】本题考查两圆的位置关系，掌握各位置关系的条件是求解本题的关键．26．（2022秋•青浦区校级月考）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距d为2或8．【分析】两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．若d＞R+r则两圆相离，若d＝R+r则两圆外切，若d＝R﹣r则两圆内切，若R﹣r＜d＜R+r则两圆相交．本题可把半径的值代入，根据两圆相切可得出圆心距．【解答】解：∵两圆相切，∴两圆有可能外切，也有可能内切，∵两圆内切：d＝5﹣3＝2，两圆外切：d＝5+3＝8．∴d为2或8．【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R﹣r）、相切（外切：d＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．二．相切两圆的性质（共3小题）27．（2022•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是2cm．【分析】利用两圆外切的性质解答即可．【解答】解：设圆O1的半径是rcm，∵圆O1与圆O2外切，圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，∴4+r＝6，∴r＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相切两圆的性质，利用外切两圆的圆心距等于两圆半径之和列出关系式是解题的关键．28．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为（﹣4，1），（0，5）．【分析】如图，与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE、BE、AF、CF的长，进而得到两圆心的坐标．【解答】解：点A的坐标为（﹣2，3过点A的直线与y＝x平行并过点A，∴过点A的直线与y＝x平行，∴过点A的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，∴与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C如图，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∴AE＝BE＝AF＝CF＝2，∴C（﹣4，1），B（0，5）．故答案为：（﹣4，1），（0，5）【点评】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练的运用数形结合思想是解决问题的关键．29．（2020秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．【点评】此题考查了相切两圆的性质，平行线的判定与性质，作出相应的辅助线是解本题的关键．三．相交两圆的性质（共6小题）30．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7【分析】连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可．【解答】解：连接AD交⊙A于E，如图1，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝5，则DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝7﹣3＝4，∴要使⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2＜r＜4，即只有选项B符合题意；故选：B．【点评】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．31．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（）A．2r+r•cos45°＝1 B．2r+2r•cos45°＝1 C．3r+r•cos45°＝1 D．3r+2r•cos45°＝1【分析】先画出符合题意的图形，过点P作PM⊥CD于点M，过点O作ON⊥PM于点N，过点O作OQ⊥CD于点Q，由此可得△OPN是等腰直角三角形，四边形ONMQ是矩形，根据三角形函数和线段的和差计算可得出结论．【解答】解：如图，由内切的定义可知，⊙P的半径为2r，过点P作PM⊥CD于点M，过点O作ON⊥PM于点N，过点O作OQ⊥CD于点Q，∴四边形ONMQ为矩形，∴ON＝QM，∵OP＝r，∠OPN＝45°，∴ON＝r•cos45°，∵DQ+QM+CM＝1，∴r+r•cos45°+2r＝1，即3r+r•cos45°＝1，故选：C．【点评】本题主要考查圆的相关计算，涉及内切的定义，切线的定义及性质，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等相关知识，解题关键是画出符合题意的图形．32．（2022•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（）A．圆A与圆C相交 B．圆B与圆C外切 C．圆A与圆B外切 D．圆A与圆B外离【分析】根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．【解答】解：根据题意作图如下：∴圆A与圆C外切，圆A与圆C外离，圆B与圆C相交，故选：D．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图象是解题的关键．33．（2022春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是1.6＜r＜6.4．【分析】过C点作CD⊥AB于D点，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，则利用面积法得到OH＝2.4，再根据切线的性质得到OH为⊙的半径，即⊙O的半径为2.4，然后利用两圆相交的性质得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可．【解答】解：过C点作CD⊥AB于D点，如图，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵OH•AB＝OA•OB，∴OH＝＝2.4，∵⊙C与AB相切，∴OH为⊙的半径，即⊙O的半径为2.4，∵⊙A与⊙C相交，∴r﹣2.4＜4＜2.4+r，解得1.6＜r＜6.4．故答案为：1.6＜r＜6.4．【点评】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．若两圆半径为R、r，圆心距为d，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r（R＞r）．34．（2022春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．35．（2022春•嘉定区校级期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB＝6．求：（1）弦AC的长度；（2）四边形ACO1O2的面积．【分析】（1）作O1H⊥AC，垂足为点H．根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦和平行线的性质，求得O1H的长，再进一步根据勾股定理和垂径定理进行计算；（2）根据梯形的面积公式进行计算．【解答】解：（1）作O1H⊥AC，垂足为点H，那么可得AH＝CH．∵⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，∴O1O2垂直平分AB，记垂足为D．由题意，可证得四边形ADO1H是矩形．又由AB＝6，可得O1H＝＝3．∵O1C＝5，∴CH＝4，∴AC＝8．（2）在Rt△ADO2中，AO2＝，AD＝3，∴DO2＝2．而DO1＝AH＝4，∴O1O2＝6．∴梯形ACO1O2的面积是．【点评】此题综合运用了相交两圆的性质、垂径定理和勾股定理．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（）A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5【答案】D【分析】求得⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时⊙B的半径和⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时⊙B的半径，根据图形即可求得．【详解】解：如图，当⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为：3-2=1，当⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为3+2＝5，∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，故答案为：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思想的应用．2．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（）．A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切【答案】A【分析】结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．故选：A．【点睛】本题考查了圆与圆之间位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆之间位置关系的性质，从而完成求解．3．（2021·上海嘉定·二模）已知点，，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（）A．内切 B．外切 C．内含 D．外离【答案】A【分析】求出AB=5，根据圆心距=半径之差，即可判断．【详解】解：∵点A（4，0），B，0，3），∴AB==5，∵⊙A与⊙B的半径分别为：2与7，∴半径差为：7-2=5，∴这两圆的位置关系是：内切．故选：A．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．4．（2021·上海静安·九年级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可．【详解】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．5．（2018·上海金山·九年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜10【答案】D【解析】延长CD交⊙D于点E，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15，∵D是AB中点，∴CD=，∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5，∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，∴，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.6．（2019·上海·九年级期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含 B．内切 C．外离 D．相交【答案】C【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离．【详解】解：∵r＞1，∴2＜3＋r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）．二、填空题7．（2021·上海静安·九年级期中）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙的半径r的取值范围是_______．【答案】或【详解】首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R-r，分两种情况进行讨论．故知r-5＞3或者5-r＞3，解得0＜r＜2或r＞8．故答案为0＜r＜2或r＞88．（2019·上海上海·九年级期中）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．【答案】4．【分析】根据题意，两圆外切，故圆心距为两圆半径和，已知一个圆半径为3，可求得另一圆的半径.【详解】∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，那么圆O半径r的取值范围为____．【答案】3＜r＜7．【分析】根据题意作图，连接OA并延长交圆A于C，过A作AM⊥x轴于M，根据勾股定理求OA，已知圆A的半径，求OA和OC长，即可求出两圆相交时r的取值范围．【详解】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），连接OA并延长交圆A于C，过A作AM⊥x轴于M，∵点A的坐标为（3，4），∴AM＝3，OM＝3，由勾股定理得：∵⊙A的半径是2，∴OB＝5﹣2＝3，OC＝5+2＝7，∵以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，∴3＜r＜7，故答案为：3＜r＜7．【点睛】本题考查圆与圆的相交位置关系．根据题意作图本题的解题关键．10．（2020·上海闵行·九年级期末）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB=cm，那么圆心距O1O2的长为______cm.【答案】2或4【分析】首先连接O1O2、O1A、O2A，令O1O2交AB于点C，根据垂径定理和勾股定理即可得解.【详解】连接O1O2、O1A、O2A，令O1O2交AB于点C，如图所示由已知得O1A=3，O2A=，AB=∴∴∴或∴答案为2或4.【点睛】此题主要考查垂径定理以及勾股定理的应用，注意有两种情况，不要遗漏.11．（2021·上海静安·二模）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是_____．【答案】2＜r＜8【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．【详解】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于_____．【答案】3【分析】根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，∴AB＝6﹣2＝4，过点A作AD⊥BC于D，则BD＝BC＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ABC的面积＝，故答案为：3．【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握两个圆内切的性质是解题的关键．13．（2021·上海市实验学校二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是___________【答案】或．【分析】两圆相离，可能外离，或者内含，分情况即可求出d的取值范围．【详解】解：两圆相离有两种情况：内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，故；外离时圆心距大于半径之和，故，所以d的取值范围是或．故答案为：或．【点睛】本题考查根据两圆的位置关系判断圆心距与半径之间的关系，熟记概念是解题的关键．14．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．【答案】【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接，过点作于H，在等边中，，，，点是的中点，，以线段为半径的与以边为直径的外切，，，，，，，，，故答案为．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是________________．【答案】【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，在等边△ABC中，AB＝4，∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，∵点O是AC的中点，∴AO＝OC＝2，∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，∴PO＝2＋BP，∵OH⊥BC，∴∠COH＝30°，∴HC＝1，OH＝，∵，∴∴BP＝，故答案为．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、等边三角形性质以及勾股定理得应用，利用勾股定理列出关于BP的方程是解题的关键．16．（2017·上海静安·九年级期中）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是________．【答案】或．【分析】根据两圆内切时圆心距=两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．【详解】当点O在点A左侧时，⊙O半径r=,当点O在点B右侧时，⊙O半径r=.故填或.【点睛】此题考查圆与圆之间的位置关系，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量之间的联系.17．（2018·上海长宁·九年级期末）已知⊙的半径为4，⊙的半径为R，若⊙与⊙相切，且，则R的值为________．【答案】6或14【分析】⊙O1和⊙O2相切，有两种情况需要考虑：内切和外切．内切时，⊙O2的半径=圆心距+⊙O1的半径；外切时，⊙O2的半径=圆心距-⊙O1的半径．【详解】若⊙与⊙外切，则有4+R=10，解得：R=6；若⊙与⊙内切，则有R-4=10，解得：R=14，故答案为6或14.18．（2018·上海金山·九年级期末）两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．【答案】4或8【解析】∵两圆内切，一个圆的半径是6，圆心距是2，∴另一个圆的半径=6-2=4；或另一个圆的半径=6+2=8，故答案为4或8．【点睛】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是6，要分大圆和小圆两种情况讨论．19．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．【答案】3【分析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，故答案为3．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．20．（2018·上海宝山·九年级期末）⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是______．【答案】2≤r≤8【分析】利用圆与圆之间的位置关系即可得.【详解】∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2∴CA=8∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相交∴r=2或r=8或2<r<8即2≤r≤8故答案为2≤r≤8.【点睛】本题考查的知识点是圆与圆之间的位置关系，解题关键是熟记圆与圆之间的位置关系.21．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）在矩形中，，，点是边上一点（不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值范围是_______．【答案】【解析】分析：先利用勾股定理计算得出AC=13，利用与外切可确定的半径的取值范围.详解：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC==13，∴以点A为圆心AE为半径作，如果与外切，可得的半径r的取值范围是8<r<13.故答案为8<r<13.点睛：本题考查了圆与圆的位置关系：关键是根据圆与圆的位置关系进行解答.三、解答题22．（2021·上海金山·一模）已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分别相交于点和点．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）联结，即为连心线，根据⊙与⊙外切于点，推出经过点，由求出，即可得到结论；（2）利用，得到，代入数值得，计算即可．【详解】（1）证明：联结，即为连心线，又∵⊙与⊙外切于点，∴经过点；∵,∴,∵，∴，∴．（2）∵，∴；∵，，，∴，解得：．【点睛】此题考查两圆外切的性质，平行线的判定定理平行线截线段成比例，熟记两圆外切的性质是解题的关键．23．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知垂足分别为点、点，与交于点，（1）如果，以点为圆心作圆，圆与直线相切，①求圆的半径长；②又，以为直径作圆，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由：（2）如果分别以为直径的两圆外切，求证：与相似．【答案】（1）①；②⊙O与⊙P内切，证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）①过点P作PH⊥BC于H．利用平行线分线段成比例定理求出PH，可得结论．②求出OP的长，即可判断．（2）设AB，DC的中点分别为，连接，过点作于E，设AB=a，DC=b．根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可．【详解】解：（1）①如图，过点P作PH⊥BC于H．∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥PH∥DC，∴∵AB=3，DC=5，∴∴，∵直线BC与⊙P相切，∴⊙P的半径为．②结论：⊙O与⊙P内切．理由：设BC的中点为O，∵BC=8，∴OB=OC=4，由得：∴CH=5，OH=1，∴即∴⊙O与⊙P内切．（2）设AB，DC的中点分别为，以为直径的两圆外切，如图，连接，过点作于E，设AB=a，DC=b．由题意，在Rt△中，∴，即，∵∠ABC=∠DCB=90°，∴△ABC∽△BCD．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2019·上海普陀·一模）如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接．（1）求证：；（2）如果＝10，，求⊙的半径长．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可；（2）利用△E∽△CA即可解答．【详解】（1）⊙和⊙相交于A、B两点，∴是AB的垂直平分线，∴∠CA=90°，∵E为AD的中点，∴E⊥AD，∴∠EA=90°，∴∠CA=∠EA，如图,连接∵AE＝AC，A=A∴△E≌△C，∴E＝C.（2）∵E⊥AD，∴∠E＝90°，在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6，∵，∴，∴E＝8，∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠，∴△E∽△CA，∴,∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6，，∴＝5，即⊙的半径长为5.故答案为5.【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键.25．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求证：BG＝EG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．【答案】（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．【分析】（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，连接PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）证明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四边形APKG为矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB•cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四边形QAHB为矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定义域是x＞；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，∴2x﹣5＝，整理得,两边平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圆O的半径为，在Rt△BOG中，BO=，根据勾股定理∴OG＝，∴E