黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷真题（含答案解析）

黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.在〃，1,-3,；这四个数中，整数是（）

14

A•兀B-2C.-3D,-

【答案】C

【考点】有理数及其分类

【解析】【解答】解：A兀是无理数，不符合题意；

8.|是分数，不符合题意；

C.-3是负整数，符合题意；

D.三是分数，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据整数的定义对每个选项一一判断求解即可。

2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180。,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形

叫做中心对称图形。在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的

图形叫做轴对称图形。根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行求解即可。

3.北京故宫的占地面积约为720000“，将720000用科学记数法表示为（）.

A.72xl04B.7.2xl05C.7.2xl06D.0.72xl06

【答案】B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2x105.

故答案为：B.

【分析】科学记数法的应用：把一个数表示成a与10的n次基相乘的形式，（l<|a|<10,n为整数）。

4.下列说法正确的是（）

A.|x|<xB.若|x-1|+2取最小值，贝IJ%=0

C.若x>1>y>-1,则|x|<|y|D.若|x+1|W0,贝！］%=-1

【答案】D

【考点】绝对值及有理数的绝对值，绝对值的非负性

【解析】【解答】解：A.当x=0时，|x|=x,故该项不符合题意；

B.•••比一1|20,.•.当x=l时比一1|+2取最小值，故该项不符合题意；

C.x>1>y>-1,|x|>1,|y|<1,|x|>|y|,故该项不符合题意；

D.：|x+1|W0且|x+1|20,J.|x+1|=0,J.x=-1,故该项符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据绝对值的定义对每个选项一一判断即可。

5.已知b>a>0,则分式与言的大小关系是（）

DD+1

-Q_a+1-aa+1_aa+1、丁〃r•五1r

A.-<—B.-=-C.->—D.不能确定

bb+1bb+1bb+1

【答案】A

【考点】分式的加减法

【解析】【解答】解.："篙=%林泮=岛，

b>a>0,

aa+1a-b/八

.------=-----<0,

bb+1b(b+l)

bb+1

故答案为：A.

【分析】根据b>a>0比较大小即可。

6.已知反比例函数y=：,当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次的数y=-kx+k的图像经过

第（）

A.一,二，三象限

B.一，二，四象限

C.-,三，四象限

D.二，三，四象限

【答案】B

【考点】反比例函数的性质，一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：•••反比例函数y=-,当x<0时，y随X的增大而减小，

/X

k>0,

y=-kx+k的图像经过第一，二，四象限,

故答案为：B.

【分析】先求出k>0,再判断求解即可。

7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数

字表示在该位置的小正方块的个数，能符合题意表示该几何体的主视图的是（）

7JB图

【答案】B

【考点】简单几何体的三视图，由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由已知条件可知：主视图有3歹!],每列小正方形的数目分别为4,2,3,根据此可

画出图形如下：

故答案为：B.

【分析】先求出主视图有3歹IJ,每列小正方形的数目分别为4,2,3,再求解即可。

8.如图，F是线段CD上除端点外的一点，将XADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得

到△ABE.连接EF交AB于点H.下列结论正确的是（）

A.ZEAF=120°Q.AE-.EF=1：V3

C.AF2=EH-EFD.EB-.AD=EH:HF

【答案】D

【考点】正方形的性质，旋转的性质

【解析】【解答】解：根据旋转的性质知：NEAF=90。，故A选项不符合题意；

根据旋转的性质知：ZEAF=90°,EA=AF,则△EAF是等腰直角三角形，

EF=V2AE,即AE：EF=1：或，故8选项不符合题意；

若C选项符合题意，则AF2=AE2=EH>EF,即普=号，

EHEA

■:ZAEF=Z.HEA=45°,

△EAF〜△EHA,

：.ZEAH=ZEFA,

而NEFA=45°,ZEAH牛45°,

Z.EAH牛乙EFA,

••・假设不成立，故C选项不符合题意；

•••四边形A8CD是正方形，

CDIIAB,即BHIICF,AD=BC,

EB：BC=EH：HF,即EB：AD=EH：HF,故。选项符合题意；

故答案为：。

【分析】根据旋转的性质和正方形的性质对每个选项一一判断求解即可。

9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列

说法正确的是（）

A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了2%；

D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同.

【答案】A

【考点】扇形统计图

【解析】【解答】解：设2019年总支出为。元，则2020年总支出为1.2a元，

A.2019年教育总支出为0.3a,2020年教育总支出为1.2aX35%=0.42a,0.42a+0.3a=1.4,

故该项符合题意；

B.2019年衣食方面总支出为0.3。，2020年衣食方面总支出为1.2aX40%=0.48a,(0.48a-

0.3a)+0.3a弓53%,故该项不符合题意；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了20%,故该项不符合题意；

D.2020年其他方面的支出为1.2aX15%=0.18a,2019年娱乐方面的支出为0.15a,故该项不符合

题意；

故答案为：A.

【分析】根据扇形统计图中的数据对每个选项一一判断求解即可。

10.已知函数y=ax2-(a+l)x+1,则下列说法错误的个数是()

①若该函数图像与x轴只有一个交点，则a=l

②方程a/-(a+l)x+1=0至少有一个整数根

③若^<x<1,贝Uy=a/一®+l)x+1的函数值都是负数

④不存在实数a,使得aM一(0+I)》+13o对任意实数x都成立

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考点】二次函数丫=2*"2+6*+£：的性质，利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况

【解析】【解答】解：对于①：当a=0时，函数变为y=-x+l,与x只有一个交点，

当QHO时，4=(a+I)2—4a=(a—l)2=0,a=1,

故图像与x轴只有一个交点时，a=1或Q=0,①不符合题意；

对于②：当a=0时，方程变为—X+1=0,有一个整数根为x=l,

当“0时，方程a/-(a+l)x+1=0因式分解得到：(ax-1)(%-1)=0,其中有一个根为x=

1,故此时方程至少有一个整数根，故②符合题意；

对于③：由已知条件;<x<1得到”0,且。>1或a<0

当。>1时，y=a/-(a+l)x+l开口向上，对称轴为％=誓=#或，自变量离对称轴越远，其

对应的函数值越大，

把，

222a

x=；,x=l离对称轴的距离一样，将x=l代入得到y=0,此时函数最大值小于0；

当a<0时，y=a/—(a+l)x+l开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，

,x=9+5时，函数取得最大值为y=结但业=鼻纥1=一些支，

22az4a4a4a

*.1a<0,

最大值一位型>0,即有一部分实数X,其对应的函数值y>0,故③不符合题意；

4a

对于④：a=0时，原不等式变形为：-X+1M0对任意实数x不一定成立，故。=0不符合；

*0时，对于函数y=ax2—(a+l)x+1>

当a>0时开口向上，总有对应的函数值y>0,此时不存在a对aM-(a+l)x+1S0对任意实数x

都成立；

当。<0时开口向下，此时函数的最大值为4a-(a+l)：=-a2+2a-l=_空尘,

4a4a4a

a<0,

最大值-空空>0,即有一部分实数x,其对应的函数值y>0,

4a

此时不存在a对ax?_(a+l)x+1<0对任意实数x都成立；故④符合题意；

综上所述，②④符合题意，

故答案为：C.

【分析】根据函数y=ax2-(a+l)x+1的性质对每种说法一一判断即可。

二、填空题(共8题；共8分)

11.后型=

【答案】4

【考点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：尺》

—V2x2x2x2

=V16

=4

故答案是：4.

【分析】利用二次根式的性质化简求值即可。

12.已知3=40，则立仝=

234yz------------------

【答案】1

【考点】比例的性质

【解析】【解答】解：设彳=曰=:,

234

则x=2k,y=3k,z=4k,

/+孙_(2%)2+2/CX3〃_4欠2+612_101_5

yz3kx4k12k212k26'

故答案为：|.

o

【分析】先求出x=2匕y=3k,z=4k,再化简求值即可。

13.一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2.高是5cm.如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm

的圆锥，则这个圆锥的底面积是cm2

【答案】18

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：S/i=12x5=60cm2,

这个橡皮泥的一半体积为：1/=|x60=30cm2,

把它捏成高为5cm的圆锥，则圆锥的高为5cm

故30,

即»•5=30,

解得S=18(cm2),

故填：18.

【分析】先求出K=1X60=30cm2,再求出5=30,最后解方程求解即可。

14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20

条直线两两相交最多有个交点

【答案】190

【考点】探索数与式的规律，探索图形规律

【解析】【解答】解：2条直线相交有1个交点；

3条直线相交最多有1+2=3=：X3X2个交点；

4条直线相交最多有1+2+3=6=；X4X3个交点；

5条直线相交最多有1+2+3+4=10=：X5X4个交点;

20条直线相交最多有：x20x19=190.

故答案为：190.

【分析】结合图形，找出规律，计算求解即可。

15.三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取

值范围为

【答案】-3<a<-2

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解：・・,3,1-0,1一2。在数轴上从左到右依次排列，

3V1—QV1—2a,解得Q<—2,

・••这三个数为边长能构成三角形，

1—Q+3>1—2Q,解得Q>—3,

综上所述，a的取值范围为一3VQV—2,

故答案为：-3<a<—2.

【分析】先求出3<1-a<1-2a,再根据三角形的三边关系计算求解即可。

16.如图，作。。的任意一条直经FC,分别以F.C为圆心，以F0的长为半径作弧，与。。相交

于点E.A和D,B,顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,得到六边形ABCDEF,则。。的面积与阴

影区域的面积的比值为；

【答案】迺E

3

【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】解：连接0E,0D,OB,0A,

由题可得：EF=OF=0E=FA=0A=AB=OB=BC=0C=CD=OD

：.△EFOAOFA,&OABAOBCAOCD.AODE为边长相等的等边三角形

•••可将图中阴影部分的面积转化为4ODE和4OAB的面积之和，如图所示:

设。。的半径与等边三角形的边长为a,

•••OO的面积为S=nr2=na2

•••等边△OEO与等边AOAB的边长为a

_y/3a2

S^OED~S^OAB-—

_V3a2

S阴=$&OED+SAOAB__2~

Sna22\f3n

■■。。的面积与阴影部分的面积比为7；=匣=三一

故答案沏等.

【分析】先求出E尸=OF=0E=FA=0A=AB=OB=BC=OC=CD=0D,再求出0。的面积为

S=nr2=na2,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

17.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/

间.为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了

一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游

团住了三人间普通客房和双人间普通客房共间；

【答案】18

【考点】一元一次方程的实际应用-配套问题

【解析】【解答】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房一间，由题意，得：

150x0.5x+140x0.5x=1310,

2

解得:x=10,

所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间.

故答案为：18.

【分析】先求出150x0.5x+140x0.5x竺/=1310,再求出x=10,最后求解即可。

18.己知，如图1,若AD是&ABC中ZBAC的内角平分线，通过证明可得吃=称，同理，若AE

是△ABC中/BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，求解如下问题：如

图2,在4ABe中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长

I的取值范围是

图1图2

【答案】^<1<=；

【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，反向延长中线AE至F,使得AE=EF,连接CF,

vBD=2tCD=3tAD是2ABe的内角平分线,

AB2

AC=3

DE=EC

v{ZAEB=NCEF

AE=EF

・•.△ABE=△FEC(SAS)

・•.AB=CF

由三角形三边关系可知,

AC-CF<AF<AC+CF

1<4F<5

15

-<AE<-

22

故答案为：-</<-.

【分析】先求出△4BE三△FEC(SAS),再求出AC-CF<4F<4C+CF,最后求取值范围即可。

三、解答题(共10题；共93分)

19.计算|V2-2|+2sin45°-(-1)2

【答案】解：|&-2|+2sin45°-(-1)2

=2-V2+2x--1

2

=1

故答案是：1.

【考点】实数的运算

【解析】【分析】利用绝对值，特殊角的锐角三角函数和有理数的乘方计算求解即可。

20.先因式分解，再计算求值：2%3一8%,其中x=3.

【答案】解：2/—8%=2x(/—4)=2x(%+2)(%—2),

当％=3时，原式=2x3x5x1=30.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】先求出2x3—8x=2x(x2—4)=2x(x+2)(x—2)再将x=3代入计算求解即可。

【答案】解：方程变为：3-七=4，

2X—32X—3

方程两边乘以2x-3得：x-5=4(2x-3),

解得：x=l,

检验：把x=l代入2x-3x0,

・•.x=l是原方程的解.

即原方程的解是x=l.

【考点】解分式方程

【解析】【分析】先去分母化成整式方程，求出其解，然后再检验方程的根.

22.小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C

点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°

方向，求4c两点之间的距离.(结果保留oikm，参数数据V3«1.732)

/V

【答案】解：如下图所示，

0|方

a

由题意可知：ZEAC=75°,ZFAB=ZNBA=45°,ZCBN=45°,DB=2km,ZMDC=22.5°,

在^BCD中，ZCDB=900-ZMDC=90°-22.50=67.5o,

ZCBD=900-ZCBN=90°-45°=45°,

ZDCB=180°-ZCDB-ZCBD=180o-67.5°-45°=67.5°,

ZDCB=NCDB,△CDB为等腰三角形，

CB=DB=2,

在4CBA中，ZCBA=ZCBN+ZNBA=45°+45°=90°,

・•.△CBA为直角三角形，

又NCAB=ZCAG+ZGAB=(90°-ZEAC)+ZGAB=(90°-75°)+45°=60°,

CBA为30°,60°,90。直角三角形,

sin/CAB=sin60。=*当，代入CB=2，

•••AC=詈22.3(km),

故4c两点之间的距离为2.3km.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

23.如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中(圆柱形实心

铁块的下底面完全落在乙槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y(cm)

与注水时间x(min)之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

(1)图②中折线EDC表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示槽中

水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm-

(2)注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？(请写出必要的计算过程)

【答案】(1)乙；甲；16

(2)解:设甲槽中水的深度为y1=k1x+b1,把4(0,14),B(7,0)代入，可得

与。，解得/

甲槽中水的深度为yj=-2x+14,

根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，

设乙槽DE段水的深度为y2=k2x+b2,把E(0,4),0(4,16)代入，可得

｛明辕=6,解得

甲槽中水的深度为y2=3x+4,

甲、乙两个水槽中水的深度相同时，-2x+14=3x+4,解得%=2,

故注入2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同.

【考点】待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：（1）图②中折线EDC表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表

示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系：

铁块的高度为16•

【分析】（1）根据函数图象计算求解即可；

（2）利用待定系数法求出甲槽中水的深度为y1=-2x+14,甲槽中水的深度为y2=3x+4,

再求出—2x+14=3x+4,最后解方程求解即可。

24.如图，在平行四边形ABCD中，48=3,点E为线段AB的三等分点（靠近点A）,点F为线段CD

的三等分点（靠近点C,且CEJ.4B.将ABCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G,且DC=

DG.

（1）证明：四边形AECF为矩形；

（2）求四边形AECG的面积.

【答案】（1）证明：1,四边形ABCD是平行四边形，

.AB“CD,AB=CD,

.点E为线段AB的三等分点（靠近点A）,点F为线段CD的三等分点（靠近点C）

11

.AE=-AB,CF=-CD,

33

.AE=CF,

.四边形AECF为平行四边形，

,CE1AB,

.四边形AECF为矩形；

(2)解：=AB=3,点E为线段AB的三等分点(靠近点A),

,AE=1,BE=2,

,将ABCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G,

・BB'=2BE=4,NB=NB',

•DC=DG,

.NDGC=NDCG,

AB“CD,

"B'=NDCG,/B'AG=/D=/B=/B

ZB'AG=ZBf=/B'GA，

△B'4G是等边三角形，△B'BC是等边三角形,

作B'H±AG于H,

B'H=^.ABr=—,CE=—BC=2V3,

SAECG=S&CEB,~ShGAB'=^X2取X苧Xl=竽

【考点】平行四边形的性质，矩形的判定，几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】（1）先求出=,CF=^CD,再求出4E=CF,最后证明求解

即可；

（2）先求出AE=1,BE=2,再求出AB'AG是等边三角形，ZiB/BC是等边三角形，

最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

25.某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均

为整数，单位：分）如下：

甲：92,95,96,88,92,98,99,100

乙：100,87,92,93,9|,95,97,98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

（1）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）求事件"甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数"的概率；

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛.

甲成绩从小到大排列为:88,92,92,95,96,98,99,100,

甲成绩的中位数为：等=95.5；

（2）解：设乙成绩模糊不清的分数个位数为a,（a为0-9的整数）

100+87+92+93+90+a+95+97+98_752+a

当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即至等＜95,

解得Q<8,

a的值可以为。〜7这8个整数

，P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数)=卷=3;

(3)解：当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，弩=95,解得a=8,

O

此时乙的平均数也为95,

甲的方差为：sM=；[(92-95)2+(95-95)2+(96-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(98-

95)2+(99-95)2+(I。。-95)2]

=”9+0+1+49+9+9+16+25)=14.75；

8

乙的方差为：S：=:[(100-95)2+(87-95)2+(92-95)2+(93-95)2+(98-95)2+(95-95)2+

乙8

(97-95y+(98-95/]=1(25+64+9+4+9+1+4+9)=15.5,

8

•"s2<S?

■,甲、0乙>

••・甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛.

【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【分析】(1)利用平均数和中位数的定义计算求解即可；

(2)先求出等<95,再求出a的值可以为。〜7这8个整数,最后求概率即可；

(3)先求出a=8,再利用方差公式计算求解即可。

26.如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A,与反比例函数y=：的图像交于P.D

两点.以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△40B的面积

之比为1:4.

y

(1)求一次函数y-kx+b的表达式：

(2)求点P的坐标及4CPD外接圆半径的长.

【答案】(1)解：过D点作DE"y轴交x轴于H点，过A点作EFIIx轴交DE于E点，过B作BFIIy轴

交EF于F点，如下图所示：

•••4B0D与4A0B有公共的底边B0,其面积之比为1:4,

DH:OA=1:4,

设D(a,》(a>0),则DH=',。人=孩，0H=AE=a，

••1ABCD为正方形,

AB=AD,ZBAD=90°,

ZBAF+ZEAD=90°,

•・•ZBAF+ZFBA=90°,

ZFBA=ZEAD,

4=4=90。

在△ABF和△DAE中：｛2FBA_NKzW，

AB=AD

：.6AB峪ADAE(AAS),

BF=AE=OA=a

又M=今，

"1■~=a，解得a=4(负值舍去)，

4(0,4),0(4,1))代入y=kx+b中,

3

—，解得忆7，

一次函数的表达式为y=-1x+4；

3,4

y=—%+4

(2)解：联立一次函数与反比例函数解析式：｛\,

y♦

整理得到：3/-16x+16=0,

解得Xj=1,x2=4,

•・•点P的坐标为©,3)；D点的坐标为(4,1)

•••四边形ABCD为正方形，

2222

DC=AD=y/AE+DE=V44-3=5，

且PZ)2=(i-4)2+(3-l)2=i^,

在RtdPCD中，由勾股定理：PC?=+2。2=25+与=.,

PC=—,

3

又4CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，

△CPD外接圆的半径为源.

6

【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的综合

【解析】【分析】(1)先求出AABF2△DAE(AAS),再求出您=%最后利用待定系数法计算求解即

可；

(2)先求出3/-I6x+16=0再求出点P的坐标为G，3）；D点的坐标为（4,1）,最后利

用勾股定理计算求解即可。

27.如图，已知48是。。的直径.BC是O。的弦，弦ED垂直AB于点F,交BC于点G.过

点C作O。的切线交ED的延长线于点P

（1）求证：PC=PG；

（2）判断PG2=PDPE是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若G为BC中点，OG=>sinB=，，求DE的长.

【答案】（1）证明：如图：连接OC

△BOC为等腰三角形

NB=ZOCB

ED1AB,PC切00于点C

ZOCP=NBFG=90°

NOCB+ZPCG=90°,+/BGF=90°

/BGF=ZPCG

/BGF=ZPGC

ZPGC=ZPCG

PC=PG

（2）解：结论成立；理由如下；

如图：连接EC,CD,co并延长CQ交。。于点H,连接DH

-CH为。。的直径

・•・/HDC=90°

・・・PC切。。于点C

・•・/HCP=90°

••・NH+/HCD=90°,/PCD+/HCD=90°

・•・NH=/PCD

•:/H=NE

・•・NE=/PCD

・•・△PCDPEC

..上=空

PEPC

vPC=PG

■■■PG2=PD-PE

（3）解：如图：连接OD,OG,

•••G为BC中点

•••OG1BC

/BGO=90°

•••OG=V5,sinB=y

:.sinB=—=—=—

OBOB5

・•・OB=5

・•・OB=OD=5

■:ED1AB与点F

ED=2FD

•••ZOFG=90°•••NBOG+ZFGO=90°,+/BOG=90°

•••NB=NFGO

sin/G。=?=黑=,

OF=1

•••在Rt△OFD中有

OD2=OF2+FD2

52=I2+FD2

：.FD=2V6

DE=4V6

【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)先求出NB=NOCB,再求出NPGC=NPCG,最后求解即可；

(2)先求出NH=NPCD,再证明三角形相似，最后证明求解即可；

(3)先求出NBGO=90。，再求出OB=5,最后利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。

28.如图，抛物线y=aM+bx+c与x轴交于除原点。和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐

标为(2,1).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线y=ax?+