16.2 第2课时 二次根式的乘除 教学设计

人教版八下16.2.2二次根式的乘除（第2课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用二次根式除法法则及商的算术平方根、最简二次根式的概念是二次根式运算的重要基础．二次根式除法是二次根式乘法的逆运算，将二次根式除法转化为乘法是研究除法的常用方法．通过除法的学习，乘法就有了逆运算，使二次根式的运算体系逐渐完善．概念解析二次根式的除法法则是通过归纳得出，这便于学生理解除法法则．最简二次根式的概念是加减运算的基础，实际上也是对二次根式运算结果的一种要求．利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质对二次根式进行化简时，要求最后的运算结果满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含被开方数．思想方法本节主要内容是介绍二次根式的除法运算和最简二次根式的概念，除法法则的引入方式类似于乘法，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳给出除法法则的方式．体现“从概念到性质”、“从性质到运算”的抽象概括的思想方法．知识类型二次根式的除法运算属于原理与规则的知识．由知识类型所决定，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，教学中要突出除法运算的步骤，明确每一步的算理，反映运算法则和运算律是如何一步步归纳出来的，能逐步养成良好的运算习惯，把握运算过程，合理运用公式．教学目标解析教学目标1.利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；2.会进行简单的二次根式的除法运算；3.理解最简二次根式的概念．目标解析达成目标1的标志是能通过数的运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则．达成目标2的标志是能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算．达成目标3的标志是通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式．教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了二次根式的概念和性质、二次根式的乘法，具备了学习二次根式除法的必要基础．与本课目标的差距分析本节课将进一步研究二次根式的除法法则及最简二次根式，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力.存在的问题在学习二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误．在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行．对分母有理化、同类二次根式等概念采取淡化处理，只结合具体例子进行说明，但这并不意味着可以削弱分母有理化．应对策略二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中要引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向．教学时应当适当加强含有字母的二次根式的化简、四则运算．题目不能复杂化，不应过分关注运算技巧．运算法则是运算的依据，因此通过教材“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的除法法则．教学难点二次根式的除法法则及其应用.教学支持条件分析本节课是二次根式除法运算法则的探求，因此需要构建师生互动的教学环境．可以借助希沃授课助手等交互平台，在教学过程中，充分利用平台组织学生进行讨论，暴露学生的思维细节．教师针对学生思维中的问题，组织讲评，使学生真正理解二次根式的除法法则．在教学中可以用带CAS的运算工具，辅助运算，检查学生的运算结果，提高课堂教学的效率．教学过程设计课前检测1.

计算：（1）；（2）；（3）．2.

根据以上的二次根式乘法运算，你能说说二次根式乘法运算的法则吗？3.

简便计算：（1）.

；（2）．设计意图：检查学生对二次根式乘法的掌握程度，如果学生对于第1题做得不好，则需要在课前增加二次根式乘法的练习．第2个问题了解学生对二次根式乘法法则的理解程度，第3个问题是检查学生对二次根式化简的掌握情况，如果学生对于第3题做得不好，则需要在课前回顾乘法法则．复习提问1．复习提问，探究规律问题1：二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？师生互动设计：通过学生回答，复习回顾．设计意图：让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．观察思考典例精析2．观察思考，理解法则问题2：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？计算结果如何？有何规律？（1）=___________________，=____________________．（2）=__________________，=__________________．（3）=__________________，=__________________．师生互动设计：学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：设计意图：通过学生自主探究，获得二次根式的除法法则．问题3：对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？师生互动设计：学生思考，回答．学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了.设计意图：学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误.问题4：对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？师生互动设计：学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数.设计意图：让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算.问题5：对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？师生互动设计：学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即.利用该性质可以进行二次根式的化简.典例精析3．例题示范，学会应用【例题1】计算：（1）；（2）.分析：（1）；（2）.运算结果中应不含能开得尽的因数或因式.师生互动设计：例题采用先学生自主完成，然后统计分析并讲评.设计意图：通过二次根式除法公式的简单应用，掌握除法公式的应用.【例题2】化简：（1）；（2）.分析：（1）；（2）.师生互动设计：例题采用先学生自主完成，然后统计分析并讲评.设计意图：理解二次根式除法公式蕴含的商的平方根的性质，并用于二次根式的化简.【例题3】计算：（1）；（2）；（3）.师生互动设计：提问1：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？提问2：第（2）用什么方法计算更简捷？第（3）题根号下含字母在移出根号时应注意什么？分析：（1）；或者.（2）.（3）.二次根式的运算中，最后结果分母一般不含二次根式.师生互动设计：例题采用先学生自主完成，然后统计分析并讲评.设计意图：通过例题的分析，进一步熟悉二次根式除法运算法则的运用.问题6：你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？师生互动设计：学生总结，师生共同补充、完善．要总结出：（1）这些根式的被开方数都不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根号；设计意图：引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.【测评】计算：（1）；（2）.设计意图：让学生用总结出的结论进行二次根式的运算，并检测学生对于二次根式除法公式掌握的情况.实际应用4．巩固概念，学以致用【例题4】设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=，b=，求a.师生互动设计：教师引导学生分析问题，学生自主解决后，教师规范板书呈现解题过程．解：因为S=ab，所以.追问：在解题中有，为什么分子和分母同乘以？你是如何想到的？设计意图：通过以实际问题为背景的数学问题，在解决问题的过程中需要用到二次根式的除法，在除法运算中，化最简二次根式是重要的环节．【例题5】如果两个电视塔的高分别是，那么它们的传播半径之比是，试化简该式.分析：=.师生互动设计：要求学生独立完成章引言中的问题．设计意图：巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力．总结提升5．归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生