第11讲 解直角三角形（5大考点）（原卷版）

第11讲解直角三角形（5大考点）考点考点考向一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．考点考点精讲一．解直角三角形（共5小题）1．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（）A．d＝l•sinα B．d＝2l•cosα C．d＝2l•sinα D．d＝l•cosα2．（2022•海曙区校级一模）如图1，以Rt△ABC的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形EGHF与GDCH的面积之比是，则sin∠ABC的值是（）A． B． C． D．3．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．4．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．5．（2022•西湖区校级一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．二．解直角三角形的应用（共5小题）6．（2022•龙港市模拟）如图，某学校操场上有甲、乙两根木杆，若某一时刻太阳光线与地面的夹角为α（α为锐角），甲、乙杆在水平地面的影长分别为2米和1.5米．若甲杆比乙杆长m米，则m的值等于（）A．2tanα B． C． D．tanα7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米8．（2022•永嘉县三模）如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，BD∥CE，∠ABD＝α，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（）A．（2+15sinα）m B．（2+15tanα）m C．17tanαm D．17sinαm9．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）10．（2022秋•婺城区校级月考）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，且∠CDE＝60°．（1）求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；（2）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（3）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的度数为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）11．（2022•文成县一模）如图，小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度，测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°，并测得C点到电线杆的距离BC为5米，则拉线AC的长度为（）A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米12．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）13．（2022•舟山二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度．求点B到海面HC的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝co53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°＝，cos22°≈，tan22°≈）14．（2022•鹿城区一模）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点D与点A的水平距离DE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点A的高AE为（）A．（a﹣b）tanθ米 B．米 C．（a﹣b）sinθ米 D．（a﹣b）cosθ米四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题）15．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE＝2.7米，小明身高BF＝1.5米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域AB的长为（）米．A．tanα﹣tan2α B． C． D．16．（2022•镇海区校级模拟）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进12m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．则树PQ的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.117．（2022•苍南县一模）如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为α，图书馆底部A的俯角为β，若这两幢楼的距离AC＝32米，则图书馆楼高AB等于（）A．（32sinα+32sinβ）米 B．（32tanα+32tanβ）米 C．（+32tanβ）米 D．（32tanα+）米18．（2022秋•海曙区期中）如图，某中学无人机社团成员在操场放飞无人机，小华站在A点处操作无人机，当无人机飞行到小华的正前上方点E处悬停，此时小华从遥控器飞行数据中得到无人机距离地面的高度BE为35m．社团成员小亮在A处测得无人机的仰角为75°，教学楼最高点D的仰角为45°，其中点A，B，C，D，E在同一平面内，当无人机从E点开始沿正东方向飞行一段距离到达点F，此时小亮发现无人机恰好在视线AD上，求无人机飞行的距离EF的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）19．（2022•金华模拟）如图，在坡度（即tanα）为的山坡l上一点P处，观察对面山顶上的一座铁塔BC，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80m，点P的高度PE＝60m，图中的点O，B，C，A，P在同一平面内．（tan26.6°≈0.50，tan37°≈0.75）（1）求塔所在的山高OB．（2）求OA的长．五．解直角三角形的应用-方向角问题（共5小题）20．（2022•金东区一模）某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛北偏西30°方向上，距A岛120海里．有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛南偏东75°方向的C处．（1）求∠BCA的度数．（2）求BC的长．21．（2022秋•婺城区校级月考）如图，A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小明同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时小明同学一共走的距离为米．22．（2022•丽水二模）如图，从A点测得M村在北偏东30°方向，小明从A点沿北偏东60°方向步行800米达到C处，测得M村位于点C的北偏西75°方向，若在AC上找点N，使得MN最短，AN的长是米．23．（2022•上虞区模拟）如图，海岸线上有两座灯塔A，B，灯塔A位于灯塔B的正东方向，与灯塔B相距8km．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔B的北偏东30°方向，与灯塔B相距8km的C处；乙船位于灯塔A的北偏东15°方向，与灯塔A相距6km的D处．求：（1）甲船与灯塔A之间的距离；（2）两艘货船之间的距离．24．（2022•富阳区一模）如图，一艘货船以36海里/时的速度在海面上航行，当他行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，获准继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东60度方向．求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到0.01海里）．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（）A． B． C． D．2．（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，是河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（）A． B． C． D．3．（2021·浙江瑞安·九年级开学考试）如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（）m．A． B． C． D．4．（2021·浙江·翠苑中学二模）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（）A． B． C． D．5．（2021·浙江浙江·九年级月考）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（）A． B． C． D．6．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（）A． B． C． D．二、填空题7．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）一颗珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点，测得，米，，则这棵树的高约为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，，）8．（2021·浙江平阳·九年级期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离米，眼镜与底面的距离米，视线与水平线的夹角为，已知，则点D到底面的距离是_______米．9．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如（图1），一个可绕公共顶点A旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，两层抽屈形状大小都相同（图2），（图3）为上层抽屉旋转过程中的俯视图，下层抽屉的长AD＝30cm，宽AB＝20cm，MA＝10cm，当上层抽屉旋转至边B′C′恰好经过点D时如（图2），AD′与边MN平行，此时点D′到BC的距离为____cm；当上层抽屉旋转至AD′碰到边MN时如（图3），此时点D′到BC的距离为____cm．10．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面__cm，，11．（2021·浙江·诸暨牌头中学九年级）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则_______．12．（2021·浙江·诸暨市开放双语实验学校九年级期中）如图，已知点A（3，3），点B（0，），点A在二次函数y＝x2+x﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为_________．13．（2021·浙江龙游·九年级期末）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点O是三角形的重心，点D是边AC上一动点，连结并延长DO交AB于点E，将ADE沿DE进行翻折得到，与BC交于点F，连结．（1）当点D与点C重合时，则的长为___．（2）BF的最小值为___．14．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是AD上一个动点，把△CDE沿CE向矩形内部折叠，当点D的对应点D′恰好落在矩形的内角平分线上时（∠DCD'为锐角），则cos∠DCD'＝__________________．三、解答题15．（2021·浙江·杭州市公益中学九年级开学考试）如图，，，于点E，于点F．（1）求证：；（2）已知，求的值．16．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，某商场从一层到二层的楼梯由台阶AB，CD和一段水平平台BC构成，AB与CD互相平行并且与地面成31°角．已知台阶AB＝5.2米，CD＝2.8米，平台BC＝2.5米．求商场一层的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601．17．（2021·浙江浙江·九年级月考）如图，在中，．求的值．18．（2020·浙江衢江·九年级期末）某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）19．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）水亭门是衢州国家级儒学文化产业园核心区的重要组成部分，也是古城的中央休闲区和市政府倾力打造的5A级景区主景点．在课外实践活动中，我校九年级数学兴趣小组决定测量该水亭门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水亭门的方向前进22米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求水亭门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）20．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）已知厘米，厘米，厘米．（1）求点到的距离；（结果保留根号）（2）求、两点的距离．（结果保留根号）21．（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C，点A是抛物线对称轴左侧上一点，连结，以，为边构造平行四边形．（1）如图1，当轴时，①已知，点A的坐标是，求抛物线的解析式；②若，求b的值；（2）如图2，若，连结交y轴于点E，且，是否存在这样的b值，使四边形是菱形?若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．22．（2021·浙江·宁波市第七中学九年级月考）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们称该对角线为相似对角线．（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，AF=1，连结CE，CF，求证：EF为四边形AECF的相似对角线；（2）在四边形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3，AC=，AC平分∠BAD，且AC是四边形ABCD的相似对角线，求BD的长；（3）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是线段AB（不取端点A，B）上的一个动点，点F是射线AD上的一个动点，若EF是四边形AECF的相似对角线，请直接写出BE的长．23．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC，BC＝8，