第17讲 锐角三角函数的应用（4大考点）（解析版）

第17讲锐角三角函数的应用（4大考点）考点考点考向一、解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．三、仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．四、方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．五、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：考点考点精讲一．解直角三角形的应用（共9小题）1．（2022•娄底模拟）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（）A．4+米 B．4+米 C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米【分析】原来树的长度是（PB+PA）的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长．【解答】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4；∴PB＝PA÷sin40°＝；∴PA+PB＝4+．故选：B．【点评】此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．2．（2022•镇江一模）我们常用角（如图中的∠AOB）的大小来描述一段台阶的陡缓程度，已知图中的每一级台阶的高为15.5cm，宽为27cm，则∠AOB的大小接近于（）（参考数据：tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，tan35°≈0.70，，）A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°【分析】在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义可得tan∠AOB≈0.57，然后根据tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，即可解答．【解答】解：在Rt△AOB中，tan∠AOB＝≈0.57，∵tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，∴27.5°＜∠AOB＜32.5，∵tan30°＝≈0.58，∴∠AOB的大小接近于30°，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2022•太仓市模拟）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撑开时与支脚（OC）的夹角∠AOC＝105°，则点A离地面的距离AM为（5+5）分米．（结果保留根号）【分析】过点O作OQ⊥AM，垂足为M，过点O作OP⊥CD，垂足为P，根据题意可得QM＝OP，∠QOP＝90°，先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠COP＝30°，再在Rt△COP中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，然后在Rt△AOQ中，利用锐角三角函数的定义求出AQ的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点O作OQ⊥AM，垂足为M，过点O作OP⊥CD，垂足为P，则QM＝OP，∠QOP＝90°，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠COP＝∠COD＝30°，在Rt△COP中，OC＝10分米，∴OP＝OC•cos30°＝10×＝5（分米），∴QM＝OP＝5分米，∵∠AOC＝105°，∴∠AOQ＝∠AOC+∠COP﹣∠QOP＝45°，在Rt△AOQ中，AO＝10分米，∴AQ＝AO•sin45°＝10×＝5（分米），∴AM＝AQ+QM＝（5+5）分米，∴点A离地面的距离AM为（5+5）分米，故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022•宝应县一模）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，电梯最大通行高度BC为2.04m．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】根据题意可得∠CAB＝27°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．【解答】解：由题意得：∠CAB＝27°，在Rt△ABC中，AC＝4m，∴BC＝AC•tan27°≈4×0.51＝2.04（m），∴电梯最大通行高度BC为2.04m，故答案为：2.04．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．【分析】连接AC，交MN于点H，设直线l交MN于点Q，利用三角函数求出MH，再根据对称性求出MN即可．【解答】解：连接AC，交MN于点H，设直线l交MN于点Q，∵M是的中点，点E在MN上，∴∠AEM＝∠CEM＝∠AEC＝33°，在△AEC中，EA＝EC，∠AEH＝∠CEH，∴EH⊥AC，AH＝CH，∵直线l是对称轴，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥CD∥MN，∴AC⊥AB，∴AC＝42.9cm，AH＝CH＝cm，在Rt△AEH中，sin∠AEH＝，即＝，则AE＝39，tan∠AEH＝，即＝，则EH＝33，∴MH＝6cm，∵该图形为轴对称图形，∴MQ＝MH+HQ＝6+15＝21（cm），∴MN＝42（cm），即MN的长为42cm．【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键．6．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．7．（2022•鼓楼区校级二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD＝10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：≈1.73）【分析】设AB＝xcm，则DB＝xcm，根据CD＝BD﹣BC，构建方程求解即可．【解答】解：由题意得：∠DAB＝37.5°+7.5°＝45°．设AB＝xcm，则DB＝xcm，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∵tan∠CAB＝，∴BC＝AB•tan∠CAB＝x，∵CD＝BD﹣BC，∴x﹣x＝10，∴x≈23.65．因此，平面镜放置点与墙面的距离AB是23.65cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2022•沭阳县模拟）如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．【分析】利用三角函数求出BE的长，根据BE求出BD的长即可得出AC的长．【解答】解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．9．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共10小题）10．（2022•海陵区一模）一个斜坡的坡度是1：，则这个斜坡的坡角等于30°．【分析】根据坡角的正切＝坡度，列式可得结果．【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα＝1：＝，∴α＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．11．（2022•徐州二模）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m处有一座房屋．（参考数据；）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？【分析】（1）根据坡角的定义得出∠DAC的度数，进而得出∠DAB的度数；（2）根据AB的长度先求出AC的长，然后求出BC的长度，根据将背水坡改造成坡度为1：的斜坡AD，求出CD，然后求出BD的长度，判断房屋是否需要拆除．【解答】解：（1）∵坡度为的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角为45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×18＝9（m），∴tan30°＝＝＝，解得：DC＝9，故DB＝DC﹣BC＝9﹣9≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，利用三角函数求解．12．（2022•宜兴市校级二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（）A．6m B．12m C．6m D．6m【分析】根据坡度的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：2，∴＝，∴AC＝2BC＝12（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝6（米），故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．13．（2022•无锡模拟）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（）米 B．12米 C．（）米 D．10米【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．【解答】解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CEF＝30°，作CF⊥BD于F，在Rt△CEF中，∠CEF＝30°，CE＝4m，∴CF＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米），在Rt△CFD中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，即CF＝2（米），CF：DF＝1：2，∴DF＝4（米），∴BD＝BE+EF+FD＝8+2+4＝12+2（米）在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12+2）＝（+6）米．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．14．（2022春•江都区月考）如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高2m．【分析】过点B作BD⊥水平面于点D，根据坡度的概念得到AD＝2BD，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：过点B作BD⊥水平面于点D，∵斜坡AC的坡度i＝1：2，∴AD＝2BD，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（2BD）2+BD2＝102，解得：BD＝2，∴在这个过程中小明升高了2m，故答案为：2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．15．（2022•常州模拟）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为18m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABH中，∠ABH＝37°，AB＝30m，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB•sin∠ABH≈30×0.60＝18（m），故答案为：18．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2022•姜堰区二模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，即可得出DE．（2）由（1）得，DE＝0.4m，则GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°＝≈，sin53°＝≈，解得EF＝0.48，FG＝0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，解得DE＝0.4，∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．（2）由（1）得，DE＝0.4m，∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），∵EF∥AB，∴∠GEF＝∠EDB＝90°，在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，tan53°＝≈，sin53°＝≈，∴EF＝0.48，FG＝0.8，∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．17．（2022•丹阳市二模）已知一个不等臂跷跷板AB长4米，支撑柱OH垂直地面，如图1，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为；如图2，当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，则支撑柱OH的长为（）A．0.5米 B．0.6米 C．米 D．0.8米【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．【解答】解：在Rt△AOH中，sinA＝＝，∴OA＝2OH，同理可得：OB＝3OH，∵AB＝4米，∴2OH+3OH＝4，解得：OH＝0.8（米），故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．18．（2022春•崇川区校级月考）2022年北京第24届冬季奥运会刚刚圆满结束，很多学校都开展了冰雪项目学习，如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为（100+100）米（结果保留根号）•【分析】过点A作AD⊥水平面于点D，过点B作BF⊥水平面于点F，BE⊥AD于E，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE，根据正弦的定义求出BF，计算即可．【解答】解：过点A作AD⊥水平面于点D，过点B作BF⊥水平面于点F，BE⊥AD于E，则四边形BFDE为矩形，∴DE＝BF，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝200米，则AE＝AB＝100米，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BF＝BC＝100米，∴他下降的高度为：（100+100）米，故答案为：（100+100）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（2022•镇江模拟）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）【分析】（1）利用三角函数求得CD的长；（2）过E作AB的垂线，垂足为F，根据三角函数求得BD、AF的长，则FB的长就是点E到地面的距离．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，，∴≈6.7；（3分）（2）在Rt△BCD中，BC＝5，∴BD＝5tan40°＝4.2．（4分）过E作AB的垂线，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝1.6，∠EAF＝180°﹣120°＝60°，AF＝＝0.8（6分）∴FB＝AF+AD+BD＝0.8+2+4.20＝7米．（7分）答：钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．（8分）【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角的综合运用能力．三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共8小题）20．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为（1+10）m（结果保留根号）．【分析】在Rt△AED中，求出AE＝DE•tan60°，加上1即为AC的长．【解答】解：如图，设DE⊥AC于点E，在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°＝10×＝10，∴AC＝（1+10）（m）．故答案为：（1+10）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．（2022•通州区一模）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°．若CD＝EF＝1.9m，则旗杆AB的高度是16.1m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）【分析】延长CE，交AB于点G．则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.9m，设BG＝xm．先证CG＝BG＝xm，则GE＝（x﹣6）m．再由锐角三角函数定义，即可解决问题．【解答】解：延长CE，交AB于点G．如图所示：则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.9m，设BG＝xm．在Rt△BGC中，∠BCG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝xm，∵CE＝6m，∴GE＝（x﹣6）m．在Rt△BGE中，∠BEG＝60°，tan∠BEG＝＝tan60°＝，∴＝，解得：x＝9+3，∴AB＝BG+GA＝9+3+1.9≈16.1（m），故答案为：16.1．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°【分析】先结合三角形外角的性质与等腰三角形的判定证得DE＝EF，再根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，sin∠CED＝，∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．23．（2022•镇江模拟）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台AB、中部的大跳台腾空起点C、赛道CE、底部的看台区EF组成．为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），CE赛道可近似视作坡度为1：2.4的一段坡面，通过GPS高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即AH）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为37°．由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台AB水平位置D后，遥感测得AD之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则CE赛道长度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2【分析】根据题意可得四边形ADMH是矩形，再利用37°的正切可得DC的长度，根据坡度可得ME的长度，最后由勾股定理可得答案．【解答】解：由题意可得：四边形ADMH是矩形，∴DM＝AH＝160米，Rt△ADC中，∠DAC＝37°，∴DC＝AD•tan37°＝152×0.75＝114米，∴CM＝DM＝DC＝160﹣114＝46米，∵CE的坡度为1：2.4，∴CM：ME＝1：2.4，ME＝110.4，∴CE＝＝≈119.6米．故选：C．【点评】此题综合考查了仰角和坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．24．（2022•海门市二模）狼山位于江苏南通城南的狼山风景名胜区，高不过百余米，却与南岳衡山、中岳嵩山、江西庐山、北京香山等同列“中国佛教八小名山”，是江北著名的旅游佳地．如图，亮亮同学去狼山风景区旅游时，利用无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45°，测得狼山底部点C的俯角为60°，此时无人机与BC的水平距离AD长为40m，那么亮亮同学测得狼山的高度BC约为109m（结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，可得AD＝BD＝40m，在Rt△ACD中，tan60°＝，解得CD＝，根据BC＝BD+CD可得出答案．【解答】解：由题意得，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝40m，在Rt△ACD中，tan60°＝，解得CD＝，∴BC＝BD+CD≈109m．故答案为：109．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．25．（2022•如东县一模）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，若这栋楼的楼高BC＝100m，则热气球A与该楼的水平距离为m（结果保留根号）．【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，设AD＝xm，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，设AD＝xm，在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝x（m），在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝x（m），∵x+x＝100，解得x＝25．∴热气球A与该楼的水平距离为25m．故答案为：25．【点评】本题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．26．（2022春•邗江区校级月考）为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是4米．（结果保留根号）【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得：x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．故答案为：4米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．27．（2022•姑苏区校级一模）如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）【分析】（1）过点E作EF⊥地面DC，垂足为F，根据已知可得＝，然后在Rt△EFD中，利用锐角三角函数的定义可得∠EDF＝30°，从而可得EF＝ED＝2米，即可解答；（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，则EF＝GC＝2米，EG＝CF，利用（1）的结论可得DF＝2米，从而可得EG＝FC＝（2+6）米，然后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后根据AB＝AG+GC﹣BC，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点E作EF⊥地面DC，垂足为F，∵斜坡DE的坡度为i＝1：，∴＝＝，在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴EF＝ED＝2（米），∴E点到地面DC的距离为2米；（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，则EF＝GC＝2米，EG＝CF，∵＝，∴DF＝EF＝2（米），∵DC＝6米，∴EG＝FC＝DF+DC＝（2+6）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG•tan45°＝（2+6）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴BC＝CD•tan60°＝6（米），∴AB＝AG+GC﹣BC＝2+6+2﹣6＝（8﹣4）米，∴旗子的宽度AB为（8﹣4）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．四．解直角三角形的应用-方向角问题（共9小题）28．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出CD，再根据正弦的定义求出BC，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，在Rt△CAD中，∠CAD＝30°，AC＝60海里，则CD＝AC＝30海里，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，则BC＝CD＝30海里，∴救援艇到达C处所用的时间＝＝（小时），故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．29．（2022•淮阴区模拟）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.5小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】过点P、M分别作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D，交AB的延长线于点C、D．于是得到AB＝60×1.5＝90海里，根据矩形的性质得到PC＝MD，设PC＝x海里，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点P、M分别作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D，交AB的延长线于点C、D．由题意可知：AB＝60×1.5＝90海里，则四边形PCDM为矩形，∴PC＝MD，设PC＝x海里，在Rt△APC中，AC＝tan45°•PC＝x，在Rt△BPC中，BC＝tan22°•PC≈0.4x，∵AC﹣BC＝AB，∴x﹣0.4x＝90，解得：x＝150，∴MD＝150，在Rt△BMD中，BM＝＝＝250（海里），答：渔船离避风港的距离BM为250海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．合理构建直角三角形是解决此题的关键．30．（2022春•亭湖区校级月考）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（30+10）km．【分析】过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，证出∠ACB＝60°，由题意得∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，解直角三角形求出AE、CE的长，即可得到答案．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．31．（2022•徐州一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里．【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，AD＝AC＝30，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里．故答案为：（30+30）．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．32．（2022•东海县二模）如图轮船从岛M向岛N行驶，岛M位于码头A的正南方向80海里处，在M处测得码头B在M的北偏西45°方向上，轮船行驶60海里到达岛N，此时测得岛M在岛N的北偏东63°方向上，码头C在N的北偏西30°方向上，已知码头B，C都在码头A的正西方向，求码头B与码头C之间的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，≈1.73）【分析】证△ABM是等腰直角三角形，则AB＝AM＝80海里，过点N作ND⊥AC于D，过点M作ME⊥ND于E，再由锐角三角函数定义求出AD＝EM≈53.4（海里），EN≈27（海里），CD≈61.70（海里），即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABM中，∠AMB＝45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB＝AM＝80海里，过点N作ND⊥AC于D，过点M作ME⊥ND于E，如图所示：则四边形AMED为矩形，∴AD＝EM，DE＝AM＝80海里，在Rt△NEM中，sin63°＝＝≈0.89，cos63°＝＝≈0.45，∴AD＝EM≈60×0.89＝53.4（海里），EN≈60×0.45＝27（海里），在Rt△CDN中，DN＝DE+EN≈80+27＝107（海里），tan30°＝＝，∴CD＝DN≈×107≈61.70（海里），∴BC＝AC﹣AB＝CD+AD﹣AB≈61.70+53.4﹣80＝35.1（海里），答：码头B与码头C之间的距离约为35.1海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．33．（2022•东海县一模）如图，一艘渔船位于观测站A的北偏东53.2°方向的点B处，它沿着点B的正南方向航行，航行15海里后，观察站A测得该渔船位于南偏东63.4°方向的点D处．（1）求证：BD＝BA；（2）若渔船从点D处继续按着原方向航行海里后到达点C时突然发生事故，渔船马上向观测站A处的救援队求救，问救援队从A处出发沿着哪个方向航行到达事故地点C的航程最短？（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）【分析】（1）分别求出∠ADB和∠BAD的度数可得结论；（2）过点A作AH⊥BC于H，根据53.2°的正弦和余弦得到AH和BH的长度，再计算出CH的长度，根据特殊角的正切值可得答案．【解答】（1）证明：由题意得，∠ADB＝63.4°，∴∠BAD＝180°﹣63.4°﹣53.2°﹣63.4°，∴∠ADB＝∠BAD，∴BD＝BA；（2）解：过点A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠B＝53.2°，sin53.2°＝，cos53.2°＝，∴AH＝15×0.8≈12（海里），BH＝15×0.6≈9（海里），∴HD＝BD﹣BH＝15﹣9＝6（海里），∵CD＝（12﹣6）海里，∴HC＝（12﹣6）+6＝12（海里），∴tanC＝＝，即∠C＝30°，∴∠FAC＝∠C＝30°，答：救援队从A处出发沿着南偏东30°方向航行到达事故地点C的航程最短．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．34．（2022•兴化市二模）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东20°方向，然后向西走35米到达C点，测得点B在点C的北偏东45°方向．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度约为多少米．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1由题意得：∠BAE＝90°﹣20°＝70°，∠BCA＝90°﹣45°＝45°，再由三角形的外角性质即可得出答案；（2）过B作BD⊥CA于D，由锐角三角函数定义得≈，设BD＝11x米，则AD＝4x米，再由锐角三角函数定义得BD＝CD＝AC+AD，则11x≈35+4x，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，由题意得：∠BAE＝90°﹣20°＝70°，∠BCA＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBA＝∠BAD﹣∠BCA＝70°﹣45°＝25°；（2）过B作BD⊥CA于D，则∠BDA＝90°，∵，∴，即，设BD＝11x米，则AD＝4x米，∵tan∠BCA＝tan45°＝＝1，∴BD＝CD＝AC+AD，∴11x≈35+4x，解得：x≈5，∴BD＝11x＝11×5＝55（米），答：这段河的宽度约为55米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．35．（2022•惠山区校级二模）如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．【分析】（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由直角三角形的性质得CD＝BC＝60海里，由锐角三角函数的定义求出AC＝40海里即可；（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，证出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，证出A'C＝2A'N＝x，由题意得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则CD＝BC＝60海里，∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，即＝∴AC＝40（海里），即此时点A到军港C的距离为40海里；（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，∵A'E∥CD，∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，∴∠BA′A＝45°，∵∠BA'E＝75°，∴∠ABA'＝15°，∴∠2＝15°＝∠ABA'，即A′B平分∠CBA，∴A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，∴A'C＝2A'N＝x，∵A'C+AA'＝AC，∴x+x＝40，解得：x＝60﹣20，∴AA'＝（60﹣20）海里，即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．【点评】此题考查了解直角三角形的应用以及直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．36．（2022•鼓楼区校级一模）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）【分析】（1）根据题意得到∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，求得AD＝BD＝4，得到∠PBD＝60°，由BD＝4，求得，于是得到结论；（2）过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，求得∠PBE＝60°，得到BE＝4，，根据BC＝12，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，∵∠DAB＝45°，，∴AD＝BD＝4，∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，∴∠PBD＝60°，∵BD＝4，∴，∴PA＝（4+4）（km）；（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，∴PB＝8，过点P作PE⊥BC于E，∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，∴∠PBE＝60°，∵PB＝8，∴BE＝4，，∵BC＝12，∴CE＝8，∴PC＝＝4（km）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·江苏崇川·九年级期末）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（）A．h·sinα B．h·cosαC． D．【答案】D【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由，即可求出BC的长度．【详解】AC与BC互相垂直，，．在中，，．故选:D．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．65°【答案】B【分析】如图，标注字母，由题意得：证明再利用从而可得答案．【详解】解：如图，标注字母，由题意得：故选：【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；D不能表示tanB；故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．4．（2021·江苏·盐城市初级中学九年级期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=5，BC=3，则tanα的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG=90°，AB=5，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值．【详解】解：作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G，

由已知可得,

GE∥BF，CE=EF，

∴△CEG∽△CFB，

∴,∵

∴

∵BC=3,

∴GB=

∵∥

∴∠α=∠GAB，

∵四边形ABCD是矩形，AB=5，

∴∠ABG=90°，∴tan∠BAG==．

∴tanα的值为．

故选:A．【点睛】本题考查矩形的性质,解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021·江苏苏州·九年级专题练习）“大金鹰”雕塑雄居在重庆南山的鹞鹰岩上，水泥浇铸，外敷金箔，内没通道，游客可以直登鹰的头部，上设有观景台，凭栏远跳，重庆临江两岸景物尽收眼底．小南游览时对大金鹰雕塑“身高”突发兴趣，决定利用所学的三角函数的知识测量大金鹰的高度（即示意图中的线段长度）．他先在景区入口处观测到“大金鹰”顶部观景台的仰角是，然后他沿着水平步道前行23.8米后到达坡度的斜坡梯道起点处，拾级而上抵达处后，他一鼓作气直上登临观景台处，在观景台处俯视斜坡梯道起点时，发现此时俯角恰好是，图中点同一平面内，小南通过计算得出大金鹰雕塑“身高”约为（）米．（小南身高忽略不计，结果精确到1米，参考数据：．）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】先证AC=BC，设CN=3x米，则CM=4x米，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=CM=4x（米），由BM+CM=CB=AC，得23.8+4x=4x，即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：∠C=90°，∠AMC=60°，∠ABC=45°，BM=23.8米，则△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∵斜坡梯道MN的坡度i=3：4=CN：CM，∴设CN=3x米，则CM=4x米，在Rt△ACM中，∠MAC=90°-∠AMC=30°，∴AC=CM=4x（米），∵BM+CM=CB=AC，∴23.8+4x=4x，解得：x≈8.13，∴AN=23.8+4x-3x=23.8+x≈23.8+8.13≈32（米），故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏苏州·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（）A．cm B．cm C．27cm D．54cm【答案】D【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度．【详解】解：如图，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，∵点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，∴AE＝BF＝（64−10）÷2＝27（cm），Rt△ACE中，∠PCA＝30°，AC＝2AE＝27×2＝54（cm），故选：D．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．7．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C地表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至B地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达C地，则B，C两地的距离为（）．（结果保留根号，参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】先作BD⊥AC于D点，根据题意可在Rt△ABD中，设，则，以及，然后在Rt△CBD中，利用正切函数的定义建立方程求解并检验即可得出的值，从而得到BD的长度，同样在Rt△CBD中，利用余弦的定义即可求出BC的长度．【详解】解：如图所示，作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠CDB=90°，则由题意可知，∠A=60°，∠ABD=30°，∠CBD=53°，在Rt△ABD中，设，则，∴，在Rt△CBD中，，即：，解得：，经检验，是上述分式方程的解，∴，∵，∴，即：，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形，理解并熟练掌握三角函数的基本定义是解题关键．8．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学九年级月考）如图，在中，，点D为内一点，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F，则的长为（）．A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED=∠ADG=45，∠AFD=60，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，再通过计算，即可求出答案．【详解】解：过点A作AG⊥DE于点G，

由旋转知：AD=AE，∠DAE=90，∠CAE=∠BAD=15，∴∠AED=∠ADG=45，在中，∠AFD=∠AED+∠CAE=60，在中，，在中，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．9．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进16m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB＝CD即可求出建筑物AB的高度．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴tan∠ACB＝tan30°＝，∴BC＝＝AB，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴tan∠ADB＝tan45°＝，∴BD＝＝AB．∵CD＝BC﹣BD＝16，∴AB﹣AB＝16，解得：AB＝8（+1）m．故选：A．【点睛】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．二、填空题10．（2021·江苏通州·二模）如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100m，A，D，B三点在同一直线上，则A，B两点间的距离是____m．【答案】【分析】根据题意及解直角三角形可进行求解．【详解】解：由题意可得：∠A=30°，∠B=45°，∠CDB=∠CDA=90°，CD=100m，∴，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．11．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【答案】【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解．【详解】解：设BC=x，则AB=7x，由题意得：，解得：x=，故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．12．（2021·江苏连云港·模拟预测）如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C，并分别测，，又量得，则A、B两点之间距离为____．【答案】【分析】根据，代入数值直接计算即可．【详解】解：∵，，∴，即，AB=()故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是选择恰当的三角函数，直接代入数值求解．13．（2021·江苏如皋·二模）如图，热气球位于观测塔Р的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔Р的南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距____________km．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）【答案】128【分析】先在中，解直角三角形求出的长，再在中，解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：，，由两直线平行，内错角相等得：，在中，，在中，，即处与观测塔相距，故答案为：128．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．14．（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为______°【答案】30°【分析】根据坡度是坡角的正切值求解即可；【详解】设坡角为，∵水库的拦水坝斜坡的坡度为，∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了坡度的知识点，结合特殊角的三角函数值计算是解题的关键．15．（2021·江苏·高港实验学校二模）某人沿着坡度i＝1：的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为____米．【答案】50【分析】根据题意，作出图形，再根据坡度可以求得此为30°的直角三角形，根据性质即可求解．【详解】解：根据题意，如下图：由题意可知：，坡度i＝1：可知，∴∴故答案为50【点睛】此题考查了三角函数的应用，直角三角形的性质，解题的关键是理解坡度的概念，掌握特殊角三角函数的值．16．（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校九年级月考）如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，航程的值为__________（结果保留根号）．【答案】【分析】过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出、，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．【详解】解：过点作于，在中，，海里，∴（海里），在中，，，∴，∴海里，∴航程的值为，故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了__平方米．【答案】10【分析】根据坡度的概念分别求出CD、BC，进而求出BD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．三、解答题18．（2021·江苏·景山中学一模）小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现:我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小,楼房的影子会最长,如果这一天正午有太阳照射,那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层,层高3米,南､北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你,你将建议父母选择第几层以上？说明你的理由．（该市区所在纬度约是32.5°N,冬至日的正午太阳高度角为90°﹣32.5°﹣23.5°＝34°．sin34°≈0.6,cos34°≈0.8,tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y=－60(n－15)2＋16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元,请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．【答案】（1）建议选择10层楼以上;（2）建议购买1到7层【分析】（1）设AB与右边楼交于点F,过点B作,垂足为点E,得到,然后解直角三角形,得出EF的长,即可求出答案．（2）根据题意,列出不等式,求出n的取值范围,即可得到答案．【详解】（1）如图,设AB与右边楼交于点F,过点B作,垂足为点E,由题意可知:BE=30m,,在中,,即,解得EF=21m,则有,∴建议选择10层楼以上．（2）由题意可知,即,解得:（不合题意,舍去）或,又∵且为整数,∴n可以取1､2､3､4､5､6､7故建议购买1到7层．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际运用,用不等式解决实际问题,解题的关键是根据题意构造出直角三角形,列出相应的不等式．19．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？【答案】有危险，60度【分析】过点P作PB⊥AE，垂足为B，求出PB的长和16比较即可，作以点P为圆心，nmile为半径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，利用特殊角的三角函数值可求．【详解】解：过点P作PB⊥AE，垂足为B，由题意得：∠PAB＝30°，在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32，∴PB＝＝16，∵16＜，∴轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．作以点P为圆心，nmile为半径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，∵AQ切⊙P于点Q∴∠AQP＝90°∵PQ＝，AP＝32∴sin∠PAQ＝∴∠PAQ＝60°∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60°∴轮船自A处开始沿南偏东至多60度方向航行才能安全通过这一海域．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质等知识，解题关键是作出恰当辅助线，利用三角函数知识进行计算推理．20．（2021·江苏徐州·二模）如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（结果精确到0.1）；（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）【答案】（1）100.4米；（2）20080元【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝2x，在Rt△BDC中，表示出BD＝x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，设CD＝x，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，∴tan27°＝，即≈0.5，∴AD＝2x，在Rt△BDC中，∠B＝31°，∵tan31°＝，即0.6≈，∴BD＝x，∵AB＝AD+BD．∴2x+x＝368，∴x＝100.4，∴CD＝100.4（米）；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，∴费用：90×AC＝90×≈90×＝20080（元），答：斜拉链条AC上灯带的总造价是20080元．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的应用、直角三角形的有关性质．21．（2021·江苏连云港·二模）如图，甲船向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船南偏西75°方向的点B处，且乙船从B处按北偏东15°的方向航行，当甲船到达点D处时，乙船航行到甲船南偏西60°方向的点C处，此时两船相距15海里．（1）求的度数；（2）若甲船在D处停止不动，乙船沿着原路线继续航行至甲船的正北方E处，试求此时甲船和乙船之间的距离．（，结果精确到0.1海里）【答案】（1）；（2）41.0海里【分析】（1）根据角的和差以及平行线的性质得出答案；（2）过点E作的延长线于点F，设DF=x海里，利用解直角三角形得出方程，求得x的值，从而确定海里．【详解】（1）如图，由题意可知∠BAG=75°，∠CBH=15°．因为，所以．所以．（2）过点E作交CD的延长线于点F．设DF=x海里，因为CD=15海里，所以海里．因为，所以∠DEF=30°．在Rt△EDF中，海里．因为AE∥BH，所以∠GEB=15°．所以．所以在Rt△EDF中，EF=CF，即．所以．所以海里．答：此时甲船和乙船之间的距离为41.0海里．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握方向角的概念与三角函数的应用．22．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：三角函数锐角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．【详解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，则∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．23．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的长，从而可得CF的长；在Rt△DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求得山顶D的高度．【详解】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m则BF=(m)∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m∴(m)∵四边形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山顶D的高度为114m．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角等概念，要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决．24．（2021·江苏盐都·二模）吾悦广场准备在地下停车场北侧建设一个供小型货车进出的专用入口，如图，入口设计示意图中，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝300cm，一楼到地平线的距离BC＝90cm．经调查，送货的小型货车高度都低于268cm，为了保证货物安全，入口处货车顶部要留有不少于20cm的安全距离．为尽量减少施工量，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡AD的施工？【答案】应在地面上距点B720cm的A处开始斜坡AD的施工【分析】根据勾股定理可以求得DH的长，然后根据锐角三角函数，即可求得AB的长，本题得以解决．【详解】解：过点C作CH⊥AD于H，则∠CDH＋∠DCH＝90°