第24章 圆（原卷版）

2022-2023学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练第24章《圆》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角

1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O，另一个端点A所形成的，叫做圆.

(2)圆是到

细节剖析：

①圆心确定圆的，半径确定圆的；确定一个圆应先确定，再确定，二者缺一不可；

②圆是一条.2．圆的性质

(1)旋转：圆是，绕圆心旋转任一角度都和原来图形；圆是图形，对称中心是

在中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是，都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.

②平分弦(不是直径)的直径于弦，并且平分弦所对的.

③弦的垂直平分线过，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且此弦.

⑤相等.

细节剖析：

在垂经定理及其推论中：所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质

(1)两个圆是一个形，对称轴是

(2)相交两圆的连心线公共弦，相切两圆的连心线经过4．与圆有关的角

(1)圆心角：叫圆心角.

圆心角的性质：等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它

②所对的圆周角相等；在中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为；半圆或直径所对的圆周角为.

④如果三角形，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的互补；外角等于它的

细节剖析：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在；②角的两边都和圆(2)圆周角定理成立的前提条件是在中.

知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.

细节剖析：

点和圆的和点到圆心的距离的是相对应的，即知道位置关系就可以确定；知道数量关系也可以确定.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①是圆的切线.

②是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的经过切点.

③经过作切线的垂线经过.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作，它们的切线长相等，平分两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

.

(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含

(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.

(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.

(5)和有两个公共点相交.

知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是细节剖析：

(1)任何一个三角形都内切圆，但任意一个圆都有外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角，外角等于(2)叫圆外切四边形，圆相等.

知识点04：圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.细节剖析：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

考点提优练考点提优练考点01：垂径定理1．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（）A．36 B．24 C．18 D．722．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为．3．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为．4．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．5．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．6．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．7．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A． B．2m C． D．3m考点02：圆周角定理8．（2022•梁子湖区二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AO⊥BC于点E，若∠BDC＝150°，AE长为2+，则弦BC的长为（）A．2 B． C．2 D．49．（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26° B．38° C．52° D．64°10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝．11．（2022•宜兴市校级二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点C（x，y）为平面内一动点，以AC为直径作⊙E，若过点且平行于x轴的直线被⊙E所截的弦GH长为．则y与x之间的函数关系式是；经过点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）与点C运动形成的图象交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图象的最高点，若△ADF的面积是△ABF面积的3倍，则k＝．12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，AB为半圆O的直径，CD＝AB＝2，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，求EF的长．13．（2022•西安模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC．（1）求证：BF∥CD．（2）当AD+CD＝5时，求线段BD的长．考点03：切线的判定与性质14．（2022•社旗县一模）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A． B．或 C． D．或15．（2022•新河县二模）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（）秒时相切．A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.516．（2021秋•海州区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．6﹣ B．4 C．5 D．317．（2022•晋江市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为．18．（2022•宜兴市一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为．19．（2021秋•南皮县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是边BC上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．（1）当BP＝3时，点C在⊙P；（填“上“内“或“外“）（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．20．（2022•五华区校级模拟）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．21．（2022•金水区校级模拟）如图，AE是半圆O的直径，D是半圆O上不同于A，E的一点，作∠FAD＝∠DAE，过点D作DC⊥AF于点C，CD的延长线与AE的延长线相交于点B．（1）求证：CD是半圆O所在圆的切线；（2）若，AC＝4，求⊙O的半径．22．（2022•河南模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E是AC的中点，连接ED．点F在上．且FO⊥AB，连接BF并延长交AC的延长线于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，试说明AF、BG的数量关系．考点04：切线长定理23．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．2024．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．π B．2π C．4π D．0.5π25．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．626．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化27．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．28．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为．29．（2013•西藏模拟）如图，AD、AE、CB都是⊙O的切线，切点分别为D、E、F，AD＝4cm，则△ABC的周长是．30．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为．31．（2011秋•海淀区期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝．32．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．33．（2018秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．34．（2012秋•姜堰市校级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．35．（2008秋•恩平市校级期中）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．考点05：正多边形和圆36．（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（）A．18° B．25° C．30° D．45°37．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（）A．6 B． C． D．838．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．39．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为．40．（2022•咸安区模拟）如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥y轴，将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2024时，顶点A的坐标为．41．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．（1）求点Q的运动总长度；（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．42．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．43．（2019秋•垦利区期中）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°．（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝度，并说明